Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

МАТЕМАТИКА Й МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА - Золота колекція рефератів - 2018

БУЛЕВА АЛГЕБРА

ВСТУП

У цьому рефераті розглядаються деякі аспекти булевої алгебри. Математична логіка є сучасною формою так званої формальної логіки, що застосовує математичні методи для дослідження свого предмета (інші її назви: символічна логіка, теоретична логіка, логістика). У формальній логіці й, відповідно, у математичній логіці, зібрані результати законів структури правильних висновків. Висновок є таким розумовим процесом, у результаті якого з’являються нові відкриття на підставі вже наявних (які визнаються правильними) без практичних досліджень. Насправді нове відкриття, здійснене в результаті висновку (так званий остаточний висновок), у прихованої формі знаходиться в попередньо наявних знаннях, у так званих передумовах.

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА, ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ

Найпростіші закономірності висновків відкривалися людством емпіричним шляхом у ході суспільного виробництва (наприклад, найпростіші співвідношення арифметики й геометрії). Відкриття складніших законів пов’язане з результатами такої науки, як формальна логіка. Перше велике узагальнення формальної логіки належить Аристотелю. У формальній логіці з самого початку застосовувалися (в одиничних випадках) математичні методи, але розвиток логіки не встигав за застосуванням таких методів у порівнянні з іншими галузями математики. Тому формальна логіка не вдовольняла потреб науки (насамперед, вимог математики); відставання виявилося особливо очевидним у нову еру. Головні недоліки формальної логіки можна сформулювати так:

1. Вона не зуміла привести закони висновків до невеликої кількості надійних логічних законів, тому підтвердила правильність деяких висновків на основі експериментів, які пізніше були спростовані прикладами, що доводять зворотне.

2. Вона була нездатна аналізувати значну частину висновків, що використовувалися у повсякденному й науковому житті; довести правильність або неправильність таких висновків (наприклад, не могла довести, що з правильності речення «Кожна трапеція є чотирикутником» випливає правильність речення «Хто малює трапецію, той малює чотирикутник»).

Завдання математизації формальної логіки було поставлене й здійснене Лейбніцем. Його роботу продовжили математики XIX ст. На рубежі сторіччя з відкриттям протиріч у теорії множин розвиток математичної логіки набув широкого розмаху. Сьогодні результати математичної логіки використовуються в усіх традиційних галузях формальної логіки; відкриті абсолютно нові галузі. Зараз «традиційна» формальна логіка в порівнянні з математичною логікою має значення тільки для історії науки.

Математична логіка не претендує на відкриття законів мислення взагалі та здійснення аналізу філософських проблем, пов’язаних з людським мисленням. Ці питання більше стосуються логіки (у загальнішому значенні слова) і філософії. (Надалі під словом «логіка» матимемо на увазі математичну логіку.)

ЩО ТАКЕ ВИСНОВОК?

Для точнішого визначення предмета математичної логіки варто було б уточнити значення терміну «логічно правильний висновок». Щоб сформулювати хоча б одне тимчасове визначення, розглянемо приклад висновку:

(Передумови) Якщо буде роздача премії, то ми викопали план.

Буде роздача премії.

(Остаточний висновок) Ми виконали план.

Якщо прийняти правильність передумови, то варто прийняти й правильність остаточного висновку. Інший аналогічний приклад:

Якщо мені випаде туз, то я йду ва-банк.

Мені випав туз.

Я йду ва-банк.

Зазвичай замість речень (Мені випав туз) і (Я йду ва-банк) можуть бути записані будь-які такі дійсні речення, значення яких може бути правильним або хибним; варто залишити незмінним тільки розташування слів «якщо» і «то» і розташування припущень, тобто структуру висновку.

Нехай А і В позначають будь-які замінні речення. Під визначенням, що схема являє собою (логічно правильну) схему висновків, мається на увазі ось що. Якщо замість А і В підставити такі речення, що передумови, отримані в результаті заміни, будуть правильними, то й остаточний висновок буде правильним. Будь-яка людина, що розуміє значення союзів «якщо... то», зрозуміє, що це правильна схема висновку. У схемі висновку фігурує кілька слів з постійним значенням, далі кілька символів (літер) зі змінним значенням. Символи зі змінним значенням можуть бути змінними величинами різних типів. Відповідно до їх типу замість символів можуть бути підставлені різні граматичні формації (наприклад, дійсні речення, слова, що виражають властивості, назви предметів тощо). У попередньому прикладі змінні А і В заміняються тільки дійсними реченнями. Па основі регулярної заміни змінних якоїсь (правильної) схеми висновку повинен виникати правильний висновок.

Але визначення «регулярна заміна» означає не тільки дотримання граматичних правил. У попередній схемі А і В можуть означати тільки такі дійсні речення, правильність або хибність яких може бути визначена однозначно. Такі дійсні речення будемо називати висловленнями.

На основі будь-якої схеми висновку може бути отриманий правильний висновок тільки при дотриманні умов подібного характеру. Шляхом зміни умов можуть бути побудовані різні теорії логіки.

Найважливішими розділами математичної логіки є калькуляція висловлень і калькуляція предикатів. У рамках цих розділів може бути досліджена схема висновку в найзагальнішому випадку при найменшій кількості умов.

В інших розділах логіки розглядаються спеціальні схеми висновку, що є менш загальними.

КАЛЬКУЛЯЦІЯ ВИСЛОВЛЕНЬ

Висловлення

Предметом калькуляції висловлень є аналіз таких схем висновку, коли при заміні змінних висловленнями виходять правильні висновки.

Під терміном «висловлення» мається на увазі таке дійсне речення, що є однозначно або правильним, або хибним. Отже:

а) воно не може одночасно бути й правильним, і хибним (принцип несуперечності);

б) виключено, щоб воно було й неправильним, і безхибним (принцип виключення третьої можливості).

Властивості «правильне» і «хибне» розуміються в їх звичайному значенні; вони не потребують подальшого аналізу.

За цих обставин наведені вище дійсні речення задовольняють цим двом умовам, тому їх можна вважати висловленнями. Відповідно логіка, побудована на цих двох умовах, може одержати досить широке застосування. Природно, існують такі обставини, за яких деякі дійсні речення не можна вважати висловленнями (наприклад, якщо дано речення: «Іван прокидається», навряд чи можна сумніватися в правильності або хибності речення «Іван спить»). Математичні терміни визначаються таким чином, що речення, які виражають співвідношення між ними, завжди вважаються висловленнями; таке положення існує в усіх точних науках.

Поняття «висловлення» іноді позначається словами «твердження», «судження».

У висновках можуть фігурувати висловлення (або у вигляді передумов, або як остаточний висновок), що виникли з одного або декількох висловлень шляхом застосування деякого граматичного методу; вони називаються складними висловленнями. У багатьох випадках правильність висновку залежить від виду формування складного висловлення. Тому необхідно займатися вивченням видів формування складних висловлень деяких типів.

Під терміном «калькуляція висловлень» мається на увазі такий метод, за допомогою я кого з одного або декількох висловлень (членів операції калькуляції висловлень) отримують таке висловлення (результат операції), правильність або хибність якого однозначно визначається правильністю або хибністю членів.

ЗАПЕРЕЧЕННЯ Й КОН’ЮНКЦІЯ

Двома найпростішими прикладами вищенаведеної операції є заперечення й кон’юнкція (операція й результат операції тут мають одну й ту саму назву).

Під запереченням висловлення А мається на увазі висловлення «Неправильно, що А» (або деяка граматично перетворена форма цього висловлення).

За значенням виразу «неправильно» заперечення А правильне тоді й тільки тоді, коли А є неправильне; отже, заперечення справді є операцією калькуляції висловлень (відповідно до вищенаведеного визначення).

Приклад: запереченням речення «Мотор працює» є речення «Неправда, що мотор працює» або інакше: «Мотор не працює».

Заперечення є одночленною операцією. Заперечення «А» позначається символом «-А» (читається: «не А»). Застосовуються також і позначення «-А», «# А», «Â».

Під кон’юнкцією двох висловлень А і В мається на увазі висловлення «А і В» (або деяка граматично змінена форма цього висловлення). Зазначенням сполучника «і» кон’юнкція є правильною тоді й тільки тоді, коли обидва її члени правильні.

Таким чином, кон’юнкція також є операцією калькуляції висловлень. Операція кон’юнкції «А і В» являє собою двочленну операцію; її позначають «А & В», «АВ». При виникненні кон’юнкції сполучник «і» іноді заміняється іншим сполучником (наприклад, «Анатолій тут, але Бориса немає» або «Анатолій тут, хоча Борис пішов» і т. д.). Це не впливає на правильність або хибність результату, має тільки емоційне значення. Іноді сполучник узагалі пропускається. Якщо присудки двох речень, зв’язаних між собою шляхом кон'юнкції, збігаються, то спільний присудок представлений тільки в одному з речень. Наприклад, кон’юнкція «Я харчуюся хлібом і харчуюся водою» після перетворення має такий вигляд: «Я харчуюся хлібом і водою».

Вивчення інших операцій калькуляції висловлень уточнюється її полегшується за допомогою наступного міркування.

Нехай властивості висловлень «правильне» й «хибне» називаються логічними значеннями й позначаються знаками П і X. Правильність (або хибність) деякого висловлення А виражається також у такій формі, що логічним значенням висловлення А є n (або х).

Якщо задаються логічні значення окремих членів у деякій операції калькуляції висловлень, то цією операцією логічне значення результату визначається однозначно. Це дозволяє здійснювати визначення таких операцій для логічних значень (крім вищенаведеного визначення для висловлень) у такий спосіб: на місце і членів, і результату підставляються логічні значення; причому замість результату підставляється логічне значення висловлення, що утворюється цією операцією з висловлень із відповідними членам логічними значеннями.

Наприклад, заперечення логічних значень визначаються так:

— оскільки заперечення правильного висловлення є хибним;

— оскільки заперечення хибного висловлення є правильним.

А кон’юнкції логічних значень так:

— оскільки кон’юнкція двох правильних висловлень є правильною;

— оскільки одне або обидва з двох висловлень є хибними, то й їх кон’юнкція буде хибною.

На основі вищенаведеного міркування вивчення операцій, проведених на висловленнях, може бути замінене вивченням операцій, проведених на логічних значеннях. Цього досить для дослідження висновків (на рівні калькуляції висловлень).

АЛГЕБРА ЛОГІЧНИХ ЗНАЧЕНЬ

Операції, які проводяться па логічних значеннях, називаються логічними операціями. Для вираження будь-яких логічних значень уводяться логічні змінні. Вони позначаються символами р, q, г, .... р, р, ... Отже, логічні змінні мажуть приймати два «значення»: n або x.

При використанні декількох операцій послідовно порядок виконання окремих операцій позначається дужками, наприклад: ~(р) A q) (іноді дужки опускаються). Наприклад, замість виразу (7р) ^ qпишеться 7р^q при попередньому поясненні, що у випадку появи виразу без дужок знак відноситься тільки до наступного знака.

У загальному значенні слова n-членною логічною операцією називається кожна така функція, областю існування якої є впорядкована множина всіх виразів, утворених із логічних значень з довжиною виразу позначенням її є одне з двох логічних значень n і х.

Будь-яка логічна операція може бути виражена через операції заперечення й кон’юнкції.

ДЕЯКІ ІНШІ ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ

У галузі логічних операцій, крім заперечення й кон’юнкції, виявляються корисними також деякі інші.

У галузі одномірних логічних операцій фактичний інтерес становить тільки заперечення.

Диз’юнкція

Операція називається диз’юнкцією й позначається символом «p ν q» (інакше її називають альтернацією, ад’юнкцією, логічним додаванням) або «р + q». Диз’юнкція виражається за допомогою операцій кон’юнкції й заперечення.

Зв’язок, створений між двома висловленнями за допомогою допустового союзу «або», є такою операцією, якій в області логічних значень відповідає операція диз'юнкції: висловлення є хибним тоді й тільки годі, коли обидва висловлення хибні. Сполучник «або» в такому випадку застосовується в значенні допущення, якщо допускається правильність обох висловлень. Наприклад: «Пройшов дощ або полили парк». Тому таке з’єднання двох висловлень також називається диз'юнкцією (символ «ν» читається також як «або»).

Операція кон’юнкції виражається за допомогою операцій диз’юнкції.

Імплікація

Операція «р зумовлює q» називається імплікацією (з попереднім членом р і з наступним членом q).

Допустимо, що р = n, тоді значення висловлення «р зумовлює q» буде або п, або х, залежно від того, чи є значення q n або х. Аналогічно висловлення типу «якщо А, то В», в якому перший член А є правильним, увижається або правильним, або хибним залежно від того, правильний або хибний другий його член В. Тому вислову типу «якщо А, то В» відповідає імплікація в області логічних значень. Але одночасно при хибному висловленні А речення типу «якщо А, то В» може взагалі не вважатися висловленням. Наприклад: «Якщо горить лампочка, то ліфт працює».

Якщо висловлення «Горить лампочка» правильне, то правильністю висловлення «Ліфт працює» однозначно вирішується правильність вищенаведеного речення. Ллє якщо висловлення «Горить лампочка» хибне, то нічого не можна сказати про правильність висловлення «Ліфт працює». Можна сказати: треба почекати, поки лампочка загориться. Наведемо приклад, в якому не буде навіть можливості «почекати»:

«Якщо 2 х 2 = 5, то Дунай є європейською рікою». Якщо прийняти те, що сполука типу «якщо... то» відповідає операції імплікації, при дотриманні останньої тотожності висловлення «якщо А, то В» виражалося б за допомогою операції! кон’юнкції й заперечення в такому вигляді: «неправильно, що: А і не В» (тут присутній вираз «не В» замість виразу «неправильно, що В»; таким чином, зрозуміло, що вираз «неправильно, що», розташований на початку висловлення, стосується не тільки А, але й виразу «А і не В»). Відповідно до цього наведені вище речення можуть бути нереформульовані в такий спосіб:

а) «Неправильно, що горить лампочка й ліфт не працює».

б) «Неправильно, що 2 х 2 = 5 і Дунай не є європейською рікою».

Якщо вислів «горить лампочка» хибний, то хибним є також вислів «лампочка горить і ліфт не працює», а заперечення його — за а) — є правильним. Висловлення «2 х 2 = 5» хибне, хибним є також вираз «Дунай не є європейською рікою»; їх кон’юнкція — також хибна, а заперечення цієї кон’юнкції — за б) — є правильним. Тут немає протиріччя в порівнянні зі звичайним розумінням речей, тому що зазвичай не звертають уваги на правильність складного речення типу «якщо... то» у тому випадку, коли перший член сполуки є хибним.

Висловлення виду «якщо А, то В» можна вважати синонімами виразів виду «неправильно, що: «А і не В». Вони називаються імплікаціями (з попереднім членом А, з наступним членом В); для їхнього позначення застосовується символ .«А зумовлює В».

Представлене в області логічних значень поняття імплікації типу «р зумовлює q» відповідає поняттю вищенаведеної операції висловлення.

Операції з висловленнями, що виражаються за допомогою сполучників і часток, сформульовані недостатньо точно; у більшості випадків вони певною мірою двозначні. Цілком ймовірно, розпізнавання операцій кон'юнкції й заперечення є найменш проблематичним в їхній граматичній формі представлення. Тому велике значення має можливість вираження будь-якої логічної операції через операції кон’юнкції й заперечення. Як було показано вище, це дозволило нам витлумачити утворення складного речення виду «якщо... то» як операцію.

Існують ще деякі граматичні синоніми операції «А зумовлює В»: «В, якщо тільки А». «Тільки тоді А, якщо В», «Достатньою умовою В є А», «Необхідною умовою А є В», «В, якщо не А».

І кон’юнкція, і диз’юнкція виражаються за допомогою операцій імплікації й заперечення.

Тому будь-яка логічна операція може бути виражена за допомогою операцій заперечення й імплікації.

Еквівалентність

Останній вид — висловлення операції еквівалентності.

Оскільки висловлення р еквівалентне q = n тоді й тільки годі, коли р = q, то ця логічна операція відповідає утворенню складного речення виду «А тоді й тільки тоді, коли В». Розуміння й логічне значення речення такого характеру, утвореного з двох будь-яких висловлені), іноді є важким для сприйняття людини, як і розуміння речення виду «якщо ... то». Наприклад, «2 < 3 тоді й тільки тоді, коли світить сонце».

Тому це речення розуміється операцією калькуляції висловлень лише тому випадку, якщо вважати його синонімом висловлень виду «неправильно, що А і не В», і «неправильно, що не А і В». Тоді операція «А зумовлює В» називається еквівалентністю.

Часто зустрічаються такі синоніми цієї операції: «Для А необхідно й досить В», «А саме тоді, коли В».

ВИСНОВОК

Булеву алгебру утворюють усі підмножини деякої множини. Те, що вони утворюють гратчасту структуру, очевидно. Неважко довести також виконання дистрибутивності. Нульовим елементом є порожня множина, а одиничним — вся основна множина. Для кожної підмножини існує додатковий елемент — доповнення до множини в теоретико-множинному змісті. Булева алгебра знаходить застосування переважно в теорії множин, математичній логіці, теорії ймовірності і функціональному аналізі.









загрузка...