Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

МАТЕМАТИКА Й МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА - Золота колекція рефератів - 2018

ТЕОРЕМА ПІФАГОРА І СПОСОБИ ЇЇ ДОКАЗУ

Важко знайти людину, у якої ім’я Піфагора не асоціювалося 6 з однойменною теоремою. Напевно, навіть ті, хто у своєму житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають спогади про «піфагорові штани». Причина такої популярності теореми Піфагора триєдина: це простота, краса, значимість. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це сполучення двох суперечливих начал і надає їй особливої притягальної сили, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має величезне значення: вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці, і той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних і т. д.) свідчить про гігантську кількість її конкретних реалізацій. Відкриття теореми Піфагором оточене ореолом цікавих легенд. Прокл, коментуючи останнє речення першої книги «Начал» Евкліда, пише: «Якщо послухати тих, хто любить повторювати давні легенди, то доведеться сказати, що ця теорема сягає Піфагора; розповідають, що вінyпа честь цього відкриття приніс у жертву бика». Утім, щедріші розповідачі казок одного бика перетворили па одну гекатомбу, а це вже ціла сотня. І хоча ще Цицерон зауважив, що будь-яке пролиття крові було чужим статуту піфагорейського ордена, легенда ця міцно зрослася з теоремою Піфагора й через дві тисячі років продовжувала викликати гарячі відгуки. Так, оптиміст Михайло Ломоносов (1711-1765) писав: «Піфагор за винахід одного геометричного правила Зевсові приніс у жертву сто волів. Але коли б за знайдені в нинішні часи вправними математиками правила за його забобонним прикладом чинити, то навряд чи в цілому світі стільки рогатої худоби знайшлося». А ось іронічний Генріх Гейне (1797-1856) бачив розвиток тієї ж ситуації трохи інакше: «Хто знає! Хто знає! Можливо, душа Піфагора переселилася в бідолаху кандидата, який не зміг довести теорему Піфагора її провалився через це на іспитах, толі як у його екзаменаторах живуть душі тих биків, яких Піфагор, утішений відкриттям своєї теореми, приніс у жертву безсмертним богам». Сьогодні теорема Піфагора виявлена в різних окремих завданнях і кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета Першого (бл. 2000 р. до п. е.), і у вавилонських клинописних табличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н. е.), і в давньоіндійському геометрично-теологічному трактаті VII-V ст. до н. е. «Сульва сутра» («Правила мотузки»), У найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-Бі суань цзннь», час створення якого точно не відомий, стверджується, що в XII ст. до н. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до н. е. — і загальний вид теореми. Незважаючи на все не, ім’я Піфагора настільки міцно поєдналося з теоремою Піфагора, що зараз просто неможливо уявити, то це словосполучення розпадеться. Те ж саме стосується легенди про заклання биків Піфагором. Та й навряд чи потрібно препарувати історико-математичним скальпелем давні перекази. Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ теореми, який носить його ім’я. На жаль, від цього доказу також не збереглося ніяких слідів.

Нижче наведені деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Розглянути їх корисно ще й тому, що в сучасних шкільних підручниках дається алгебраїчний доказ теореми. При цьому повністю зникає первозданна геометрична аура теореми, втрачається та нитка Аріадни, що вела давніх мудреців до істини, і шлях цей майже завжди виявлявся найкоротшим.

Біографія Піфагора. Великий учений Піфагор народився близько 570 р. до н. с. на острові Самосі. Батьком Піфагора був Мнесарх, різьбяр на дорогоцінних каменях. Ім’я ж матері Піфагора не відоме. За численними античними свідченнями, хлопчик був казково гарним, а незабаром виявив і свої неабиякі здібності. Серед учителів юного Піфагора традиція називає імена старця Гермодаманта й Ферекіда Сиросського (хоча й немає твердої впевненості в тому, що саме вони були першими вчителями Піфагора). Цілі дні проводив юний Піфагор біля ніг старця Гермодаманта, слухаючи мелодії кіфари й гекзаметри Гомера. Пристрасть до музики й поезії великого Гомера Піфагор зберіг на все життя. І, будучи вже визнаним мудрецем, оточеним юрбою учнів, Піфагор починав день зі співу однієї з пісень Гомера. Натомість Ферекід був філософом і вважався засновником італійської ніколи філософії. Таким чином, якщо Гермодамант увів юного Піфагора в коло муз, то Ферекід звернув його розум до логосу. Ферекід направив погляд Піфагора до природи й у ній одній радив бачити свого першого й головного вчителя. Але як би там не було, невгамовній уяві юного Піфагора дуже швидко стало тісно на маленькому Самосі, і вій вирушає до Мілета, де зустрічається з іншим ученим — Фалесом. Фалес радить йому вирушити за знаннями в Єгипет, що Піфагор і зробив.

У 548 р. до н. с. Піфагор прибув у Навкратіс — самосську колонію. Вивчивши мову й релігію єгиптян, він їде до Мемфіса. Незважаючи на рекомендаційний лист фараона, хитромудрі жерці не поспішали розкривати Піфагорові свої таємниці, пропонуючи йому складні випробування. Але ваблений спрагою до знань Піфагор подолав їх усі, хоча, за даними розкопок, єгипетські жерці не багато чому могли його навчити, тому що в той час єгипетська геометрія була чисто прикладною наукою (задовольняла потребу того часу в лічбі й вимірюванні земельних ділянок). Тому, навчившись всьому, перейнявши всі знання жерців, він утік віл них і рушив на батьківщину до Еллади. Однак, подолавши частину шляху, Піфагор зважується на сухопутну подорож, під час якої потрапляє в полон до Камбіза, царя Вавилона, який прямував додому. Не варто драматизувати життя Піфагора у Вавилоні, тому що великий володар Кір терпимо ставився до всіх бранців. Вавилонська математика була, безперечно, більш розвиненою (прикладом цьому може слугувати позиційна система числення), ніж єгипетська, і Піфагорові було чому повчитися. Але в 530 р. до н. е. Кір рушив у похід проти племен у Середній Азії. І, користуючись переполохом у місті, Піфагор утік па батьківщину. Але на Самосі в той час царював тиран Полікрат. Звичайно ж, Піфагора не влаштовувало життя придворного напівраба, і він пішов у печери па околицях Самоса. Після декількох місяців утисків з боку Полікрата Піфагор переселяється в Кротон. У Кротоні він заснував щось подібне до релігійно-етичного братства або таємного чернечого ордена («піфагорійці»), члени якого зобов'язуватися вести так званий піфагорійський спосіб життя. Це був одночасно й релігійний союз, і політичний клуб, і наукове товариство. Треба сказати, що деякі з проповідуваних Піфагором принципів гідні наслідування й зараз.

...Минуло 20 років. Слава про братство рознеслася по всьому світі. Одного разу до Піфагора прийшов Кілон, людина багата, але зла, і заявив, що хоче вступити в братство. Одержавши відмову, Кілон починає боротьбу з Піфагором, організувавши підпал його будинку. При пожежі піфагорійці врятували життя своєму вчителеві, після чого Піфагор незабаром покінчив життя самогубством.

Знаменита теорема

Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, є рівновеликим сумі квадратів, побудованих на його катетах.

Найпростіший доказ теореми отримуємо в найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього й починалася теорема. Справді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедреник прямокутних трикутників (мал. 1), щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для ABC: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, — по два. Теорема доведена!

Давньокитайський доказ

Математичні трактати Давнього Китаю дійшли до нас у редакції II ст. до н. е.

Справа в тому, що в 213 р. до н. е. китайський імператор Ші Хуан-Ді, прагнучи знищити колишні традиції, наказав спалити всі давні книги. У II ст. до н. е. у Китаї був винайдений папір і одночасно почалося відтворення давніх книг. Так виникла «Математика в дев’яти книгах» — головний зі збережених математико-астрономічних творів, у якому поміщене креслення (мал. 2.а), що доводить теорему Піфагора.

а

Мал. 2

Ключ до цього доказу підібрати неважко. Справді, на давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами а, b і гіпотенузою с покладені так, що їхній зовнішній контур утворює квадрат зі стороною а + b, а внутрішній — квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі (мал. 2.б). Якщо квадрат зі стороною с вирізати й 4 трикутники, що залишилися, помістити у два прямокутники (мал. 2.в), то зрозуміло, що порожнеча, яка утворилася, з одного боку, дорівнює с2, а з іншого боку — а2 + b2, тобто с2 = а2 + b2. Теорема доведена.

Зауважимо, що при такому доказі не використовуються побудови усередині квадрата на гіпотенузі, які ми бачимо на давньокитайському кресленні (мал. 2.а). Очевидно, давньокитайські математики мали інший доказ. Якщо у квадраті зі стороною с два трикутники Відрізати й прикласти гіпотенузами до двох інших гіпотенуз (мал. 2.г), то легко виявити, що отримана фігура, яку іноді називають «кріслом нареченої», складається з двох квадратів зі сторонами а й b, тобто с2 = а2 + b2.

Давньоіндійський доказ

Математики Давньої Індії помітили, що для доказу теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частину давньокитайського креслення.

У написаному на пальмових листах трактаті «Сіддхаyта широмані» («Вінець знання») найбільшого індійського математика XII ст. Бхаскари поміщене креслення (мал. 3.а) з характерним для індійських доказів словом «дивися!». Як бачимо, прямокутні трикутники покладені тут гіпотенузою назовні й с2 перетворюється в «крісло нареченої» а2 - b2 (мал. 3.б). Зауважимо, що часткові докази теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого вдвічі більша площі цього квадрата) зустрічаються в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» (VII-V ст. до н. е.).

Доказ Евкліда наведений у реченні 47 першої книги «Начал». На гіпотенузі й катетах прямокутного трикутника ABC будуються відповідні квадрати (мал. 4) і доводиться, що прямокутник BJLDрівновеликий квадрату ABFH, а прямокутник JCEL — квадрату ACKG. Тоді сума квадратів на катетах дорівнює квадрату па гіпотенузі.

Справді, затушовані на малюнку трикутники ABD і BFC рівні за двома сторонами і кутом між ними: FB = AB, BC=BD і РFBC = d + РABC = РABD (де d — діагональ квадрата ABFH). Але SABD = 1/2 SABFH, тому що в трикутника ABD і прямокутника BJLD спільна основа BD і спільна висота LD. Аналогічно SFBD = 1/2 SABFH (ВР — спільна основа, АВ — спільна висота). Звідси, з огляду на те, що SABD = SFBС, маємо SBJLD = SABFH. Аналогічно, використовуючи рівність трикутників ВСК і АСЕ, доводиться, що SJCEL = SASKG. Отже, SABFH + SASKG = SBJLD + SJCEL = SRCED й було по потрібно довести.

Доведення Евкліда в порівнянні з давньокитайским або давньоіндійським є складним. Через це його нерідко називали «ходульним» і «надуманим». Але така думка є поверховою. Теорема Піфагора в Евкліда є заключною ланкою в ланцюзі речень 1-ої книги «Начал». Для того щоб логічно бездоганно побудувати цей ланцюг, щоб кожний крок доказу грунтувався на раніше доведених реченнях, Евкліду потрібний був саме обраний ним шлях.

Уже давно була винайдена головоломка, яка називається сьогодні «Піфагор». Не важко переконатися в тому, що в основі семи частин головоломки лежать рівпобедрений прямокутний трикутник і квадрати, побудовані па його катетах, або, інакше кажучи, фігури, які складені з 16 однакових рівнобедрених прямокутних трикутників і поміщаються в квадрат. Не лише незначна частина багатств, схованих у перлині античної математики — теоремі Піфагора. Далі розглянемо кілька алгебраїчних доказів теореми.

Доведення теореми Піфагора

Доведення 1

Нехай Т — прямокутний трикутник з катетами а, b і гіпотенузою с (мал. 5.а). Доведемо, що с 2 = а2 + b2.

Мал. 5

Побудуємо квадрат Q зі стороною а + b (мал. 5.б). На сторонах квадрата Q візьмемо точки А, В, С, D так, щоб відрізки АВ, ВС, CD, DA відтинали від квадрата Q прямокутні трикутники Т1, Т2, Т3, Т4з катетами а і b. Чотирикутник ABCD позначимо буквою Р. Покажемо, що Р — квадрат зі стороною с.

Усі трикутники Т1, Т2, Т3, Т4 дорівнюють трикутнику Т (за двом и катетами). Тому їхні гіпотенузи дорівнюють гіпотенузі трикутника Т, тобто відрізку с. Доведемо, що всі кути цього чотирикутника прямі.

Нехай α і β — величини гострих кутів трикутника Т. Тоді, як вам відомо, α + β = 90°. Кут γ при першині А чотирикутника Р разом з кутами, що дорівнюють α і β, складає розгорнутий кут. Тому α + β + γ = 180°. І оскільки α + β = 90°, то γ = 90°. Так само доводиться, що й інші кути чотирикутника Р прямі. Отже, чотирикутник Р— квадрат зі стороною с.

Квадрат Q зі стороною а + b складається з квадрата Р зі стороною с і чотирьох трикутників, що дорівнюють трикутнику Т. Тому для їхніх площ виконується рівність S(Q) = S(P) + 4S(T).

Оскільки S(Q) = (а + b)2; S(P) = с2 і S(T) = 1/2(аb), то, підставляючи ці вирази в S(Q) = S (P) + 4S(T), одержуємо рівність (а + b)2 = с2 + 4(1/2)аb.

Оскільки (а + b)2 = а2 + b2 + 2ab, то рівність (а + b)2 = с2 + 4(1/2)аb можна записати так: а2 + b2 + 2ab = с2 + 2ab.

З рівності а2 + b2 + 2аb = с2 + 2аb випливає, що с2 = а2 + b2. Що й було потрібно довести.

Доведення 2

Нехай ABC — даний прямокутний трикутник із прямим кутом С. Проведемо висоту CD з вершини прямого кута С (мал. 6).

Мал. 6

За визначенням косинуса кута (косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи) cosА = AD/AC = АС/АВ. Звідси

АВ · AD = AC2.

Аналогічно cosB = BD/BC = ВС/АВ. Звідси АВ · BD = ВС2. Складаючи отримані рівності почленно й зауважуючи, що АD + DB = АВ, одержимо: АС2 + ВС2 = AB(AD + DB) = АВ2. Теорема доведена.

Значення цієї теореми полягає насамперед у тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Па жаль, неможливо навести тут всі або навіть найкрасивіші докази теореми, однак хочеться сподіватися, що наведені приклади переконливо свідчать про величезний інтерес до теореми Піфагора як у сивій давнині, так і сьогодні.









загрузка...