АСТРОНОМІЯ - Навчальний посібник для профільної школи 2017

Частина 2. Основи астрономії

Розділ ІІ. Елементи астрофізики

Тема 2.1. Фізика тіл Сонячної системи

§ 12. Закони Кеплера та їх застосування

Вступ

Закони руху планет, які на підставі результатів спостережень Марса, виконаних Тіхо Браге, встановив Й. Кеплер не лише відкрили новий етап в розвитку астрономії, але й стали прологом до закону всесвітнього тяжіння.

Цілі вивчення § 12

Вивчивши матеріал цього параграфа, Ви будете:

• знати й розуміти закони Кеплера; елементи планетних орбіт; практичне застосування законів Кеплера; принцип використання горизонтального паралаксу для визначення відстаней у Сонячній системі;

• уміти розв’язувати задачі на використання законів Кеплера;

• оцінювати важливість законів Кеплера для небесної механіки та космонавтики.

Актуалізація раніше набутих знань / компетентностей

Треба повторити з курсу фізики питання, що стосуються руху по колу та закон всесвітнього тяжіння. З курсу астрономії 10 класу — питання горизонтального паралаксу.

Методичні поради щодо опанування навчального матеріалу

Зверніть увагу, Й. Кеплер встановив закони руху планет, скориставшись даними спостережень Марса, які виконав Т. Браге. Тобто ці закони встановлено емпіричним шляхом. Їх теоретичне пояснення випливає із закону всесвітнього тяжіння (1687), який відкрив видатний фізик І. Ньютон. Ці відкриття започаткували новий розділ астрономії — небесну механіку, що вивчає рух небесних тіл під дією їх взаємного тяжіння. Небесна механіка дозволяє визначати не лише орбіти природних небесних об’єктів, але й космічних апаратів.

Пояснювальний текст

Видимий рух семи яскравих світил на сфері нерухомих зір був загадкою для стародавніх астрономів, а надто дивували їхні мало не містичні петлеподібні переміщення. Цю особливість К. Птолемей пояснив комбінацією рівномірних колових рухів. Після цього рівномірний рух планети по коловій орбіті став аксіомою (в цьому не сумнівався навіть М. Коперник).

1. Закони Кеплера. Геліоцентрична система світу, яку розробив М. Коперник, правильно відображає принцип будови Сонячної системи, проте не дозволяє нічого сказати про закони руху планет. Встановив ці закони Йоган Кеплер на підставі точних спостережень планети Марс, які впродовж багатьох років виконував відомий данський астроном Т. Браге (Й. Кеплер був помічником Т. Браге в останні роки його життя). Тривалі, виснажливі пошуки впродовж 1600— 1609 рр. дали йому змогу встановити три закони руху планет.

Перший закон Кеплера. Кожна з планет рухається навколо Сонця по еліпсу, в одному з фокусів якого міститься Сонце.

Еліпс (рис. 12.1) — це замкнена крива, сума відстаней до кожної точки якої від фокусів F1 і F2 рівна його великій осі, тобто 2а, де a — велика піввісь еліпса.

Рис. 12.1. Орбіта планети Сонячної системи — еліпс.

Орбіти планет у Сонячній системі дуже мало відмінні від колових. Найближчу до Сонця точку планетної орбіти П називають перигелієм, найвіддаленішу точку орбіти А — афелієм.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові інтервали часу описує рівновеликі площі.

З цього закону випливає важливий висновок: раз площі 1 і 2 (рис. 12.2) рівні, то по дузі P1P2 планета рухається з більшою швидкістю, ніж по дузі P3P4, тобто швидкість планети найбільша в перигелії П і найменша в афелії А.

Рис. 12.2. Ілюстрація другого закону Кеплера.

Третій закон Кеплера. Квадрати сидеричних періодів обертання планет відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт.

Якщо сидеричні періоди обертання двох планет позначити Т1 і Т2, а великі півосі еліпсів — відповідно a1 і a2, то третій закон Кеплера має вигляд:

Пропорцію (12.1) можна, переставивши члени, записати так:

Ця формула показує, що частка від ділення куба великої півосі на квадрат періоду обертання планети навколо Сонця є сталою величиною й однакова для всіх планет Сонячної системи; тому її досить обчислити для однієї якої-небудь планети. Числова величина цієї сталої залежить від того, в яких одиницях ми виражаємо відстань і період обертання планети. Якщо за одиницю взяти зоряний рік і астрономічну одиницю, то С = 1, і отже, опускаючи індекси, а3 = Т або Т = а3/2.

Частіше за одиницю часу беруть середню добу. Тоді для Землі а = 1, Т = 365,26 доби, і формула (12.2) дає для сталої

Ця формула дає період обертання планети в добах.

Третій закон Кеплера, як і два інших, справедливий не лише для планет, а й для інших небесних тіл, наприклад, для супутників планет та штучних супутників. Тільки стала третього закону, застосованого до якої-небудь планети і її супутників, матиме інше числове значення.

2. Елементи планетних орбіт. Рух планети у просторі повністю визначають значення шести величин, які називаються елементами орбіти (рис. 12.3).

Рис. 12.3. Елементи орбіти планети.

Величини ці такі:

1. Кут між площинами орбіти Землі й орбіти планети називають нахилом орбіти і. Точніше, нахилом орбіти називають кут між перпендикулярами до площин земної орбіти й орбіти планети, з вершин яких рух Землі і планети відбувається проти стрілки годинника. Якщо 0 < і < 90°, планета обертається навколо Сонця в тому ж напрямі, що й Земля (прямий рух); якщо 90° < і < 180°, то в протилежному (зворотний рух). Зворотний рух мають тільки деякі комети, а всі планети і більшість комет мають прямий рух.

2. Лінію перетину площин орбіти планети й орбіти Землі називають лінією вузлів. Довготу вузла, в якому планета переходить з південної півкулі неба в північну, називають довготою висхідного вузла <. Довгота висхідного вузла < і нахил і визначають положення площини орбіти у просторі.

3. Кут між висхідним вузлом і перигелієм, який відлічують у площині орбіти, називають кутовою відстанню перигелія ω. Іноді замість ω вживають довготу перигелія π = < + ω. Кут π відлічують у двох площинах: у площині орбіти Землі (<) і в площині орбіти планети (ω).

Кутова відстань перигелія ω визначає положення орбіти в її площині.

4. Велика піввісь еліпса а.

5. Ексцентриситет орбіти е = (V а2 - Ь2)/а, де а і b — півосі еліпса орбіти. Велика піввісь а і ексцентриситет е визначають розміри і форму орбіти.

6. Момент проходження через перигелій Т0.

Знаючи шість елементів і, <, ω, е, а, Т0, можна за формулами Кеплера обчислити положення планети на будь-який момент часу у як завгодно довгому періоді: роки, століття, тисячоліття. Обчислені наперед положення планет називають ефемеридами (від грец. έφημερίς — щоденний) і подають їх у вигляді таблиць, де положення планети подано на кожний день на багато років уперед.

Значно важче вирішити обернену задачу: з видимого руху планети обчислити всі шість елементів орбіти. Кеплер розв’язав і цю задачу, але тільки для планет, для яких, є велика кількість спостережень.

Уперше задача про визначення орбіти небесного тіла з небагатьох спостережень постала тоді, коли потрібно було визначити орбіти комет. Задачу цю можна сформулювати так: є ряд спостережень положень тіла Сонячної системи, що рухається під дією сили всесвітнього тяжіння. Необхідно визначити елементи еліпса (або параболи), якими рухається це тіло.

Такий метод визначення параболічних орбіт для комет створив Ньютон, який уперше обчислив елементи орбіти комети 1680 р. Згодом визначення орбіт з небагатьох спостережень стали потрібні для обчислення орбіт малих планет, перша з яких — Церера— була відкрита в 1801 р.

Орбіту планети повністю визначають шість елементів і, <, ω, е, а, Т0, параболічну орбіту комети — лише п’ять елементів, бо ексцентриситет параболи дорівнює одиниці. Головна проблема у визначенні орбіти полягає в тому, що координати планети або комети, які можна знайти зі спостережень, виражаються через елементи орбіти дуже складними рівняннями. Тому доводиться вдаватися до обхідного шляху: спочатку зі спостережень визначають геоцентричні відстані світила, а потім, знаючи ці відстані, обчислюють елементи орбіти. Такий спосіб

визначення елементів орбіти, розроблений французьким математиком і механіком Лагранжем та німецьким математиком Ґауссом, без істотних змін використовують дотепер.

Кожне спостереження дає нам у момент t значення екваторіальних координат α, δ. Три спостереження дають нам дев’ять незалежних величин (три моменти і шість значень координат), що дає можливість обчислити три геоцентричні відстані в момент спостереження r1, r2, r3, а потім шість елементів орбіти.

Найважча проблема в задачі визначення орбіти — це визначення геоцентричних відстаней. Як тільки вони обчислені, визначити елементи за відомими відстанями вже не важко. Проте можливо, що розвиток радіолокації дасть змогу визначати геоцентричні відстані з прямих спостережень.

3. Основи визначення відстаней у Сонячній системі. Вимірюючи відстані в Сонячній системі, як базис беруть середню відстань Землі від Сонця, яку називають астрономічною одиницею. Такі виміри вперше зробив Коперник. Але всі одержані при цьому числа будуть лише відносними, вираженими в астрономічних одиницях. Щоб визначити їх величину в кілометрах, потрібно виміряти в кілометрах сам базис, тобто відстань Землі від Сонця.

Визначення цієї відстані було одним з найважливіших завдань в астрономії й водночас дуже складним. Паралакс Сонця дуже малий — менший за 9". Точне вимірювання його в такий самий спосіб, як для Місяця, тобто спостерігаючи паралактичне зміщення з двох віддалених точок земної поверхні, неможливе, бо сонячне тепло розладнує установку інструментів. Тому для вимірювання сонячного паралакса вживають різні посередні способи. Здебільшого вони ґрунтуються на тому, що ми можемо обчислити відносні відстані планет від Сонця й однієї від другої. Після цього досить виміряти одну відстань, щоб можна було обчислити всі. Щоб виміряти відстань у лінійних мірах, або, що те ж саме, горизонтальний паралакс, вибирають планету, що підходить до Землі ближче, ніж Сонце, і яку спостерігати зручніше.

Рис. 12.4. Визначення паралакса Сонця.

Для визначення сонячного паралакса часто використовували спостереження Марса. Планета Марс, перебуває від Сонця далі, ніж Земля, і кожні два роки підходить до Землі на відстань у середньому вдвічі меншу, ніж відстань від Сонця. Це буває під час так званих протистоянь із Сонцем, коли Сонце S, Земля T і Марс M лежать приблизно на одній прямій (рис. 12.4). У цей час паралакс Марса можна виміряти з великою точністю. Спостереження полягає в тому, що астрономи, які перебувають у різних точках Землі, вимірюють положення планети відносно навколишніх зір. Порівняння одночасних вимірів різних спостерігачів покаже, що, положення планети на небесній сфері у двох спостереженнях не збігаються. З однієї точки земної поверхні планету видно в дещо іншому напрямку, ніж з іншої. Різницю в положеннях, виміряну в кутовій мірі, називають паралактичним зміщенням. Визначивши величину цього зміщення, можна обчислити горизонтальний паралакс Марса (§ 3, ч. 1). Перехід від паралакса Марса до паралакса Сонця здійснюється так (рис. 12.4):

Нехай а і р позначають відповідно середню відстань і паралакс Сонця, р — паралакс Марса, а1 — його середню відстань від Сонця, R — радіус Землі. Припустімо, що всі три тіла лежать на одній прямій і на своїх середніх відстанях від Сонця, і тоді матимемо з рис. 12.4:

Прирівнюючи праві частини і заміняючи синуси малих дуг самими дугами р і р, матимемо ар = (а1 — а)р; звідси знаходимо

Відношення а1/а — визначають з теорії руху планети за третім законом Кеплера (див. п. 1 цього параграфа).

Для визначення паралакса Сонця також використовували спостереженння окремих астероїдів. Після появи радіоастрономії відстані до тіл Сонячної системи стали визначати з допомогою радіолокації.

4. Визначення мас небесних тіл. На підставі закону всесвітнього тяжіння (F = Gm1m2/r2) Ньютон створив новий напрямок в астрономії — небесну механіку, завданням якої є дослідження руху небесних тіл під дією їх взаємного тяжіння. І першим успіхом тут було узагальнення ним же третього закону Кеплера. Виявилося, що якщо дві маси m1 і m2, обертаються навколо свого центра мас з періодом Т на відстані а одна від одної, то завжди виконується залежність

За умови, що m1 >> m2 (маса одного тіла значно більша, ніж другого) формулу (12.2) можна записати так:

Цей вираз дозволяє визначати масу центрального тіла, навколо якого обертається супутник з періодом Т і велика піввісь орбіти якого має значення а. Тобто стало можливим визначати маси далеких небесних тіл.

Нехай, наприклад, m, m і m — маси Сонця, Землі і Місяця, T і T — періоди обертання Землі навколо Сонця і Місяця навколо Землі, а· і а — великі півосі земної і місячної орбіт. Запишемо співзалежність (12.2) спочатку для системи Сонце — Земля, потім — для системи Земля — Місяць і прирівняємо їх ліві частини. Далі, нехтуючи масою супутника в порівнянні з масою центрального тіла, знайдемо значення маси Сонця, виражене в масах Землі

Точно так, порівнюючи дані про систему Земля — Місяць і систему «планета — її супутник», визначаємо масу будь-якої планети.

Обертаючись навколо Сонця, кожна з планет відчуває гравітаційний вплив з боку інших своїх сусідів. Внаслідок цього відбуваються відхилення (інакше збурення) в русі планет від кеплеровських орбіт, які також вивчає небесна механіка. Наприклад, після відкриття в 1781 р. англійським астрономом Вільямом Гершелем (1738—1822) планети Уран незабаром виявилося, що в її русі є відхилення від кеплеровської орбіти. Вважаючи, що вони спричинені тяжінням ще невідомої планети, яка лежить за Ураном, англійський астроном Джон Адамс (1819—1892) і французький учений Урбен Левер’є (1811—1877) незалежно один від одного провели складні розрахунки і визначили положення цієї планети серед зір. На прохання Левер’є астроном Берлінської обсерваторії Йоганн Галле (1812—1910) відразу ж після отримання листа 23 вересня 1846 р. виявив нову планету — Нептун. Це був перший в історії астрономії випадок, коли існування нової планети передбачили на підставі теорії, обчислили її координати, а вже потім відкрили зі спостережень. Відкриття Нептуна «на кінчику пера» показало можливості небесної механіки.

Маси планет, які не мають супутників, визначають з аналізу збурень, які вони викликають у русі інших тіл Сонячної системи. Масу Меркурія визначено за збуреннями руху комети Енке; масу Венери — за збуреннями руху Місяця.

Місяць має значну масу і нехтувати нею, визначаючи масу Землі, не можна.

Земля і Місяць, внаслідок дії взаємного тяжіння, як показав Л. Ейлер, рухаються навколо спільного центра мас по еліпсах, причому розміри земного еліпса невеликі. Центр мас системи, своєю чергою, рухається по орбіті навколо Сонця. Отже, орбітальний рух Землі ускладнюється: протягом однієї половини синодичного місяця вона опиняється ближче до Сонця, ніж спільний центр, а протягом другої половини — навпаки. Крім того, вона трохи відхиляється то на схід, то на захід. Внаслідок цього довготи Сонця і близьких світил періодично змінюються на певну величину. З точних спостережень довгот Сонця і їх аналізу виведено, що центр мас системи Місяць — Земля лежить на відстані х = 4635 км від центра земної кулі. Зі спостережень малої планети Ерос цю величину було виведено точніше.

Рух штучних небесних тіл — супутників по орбіті й космічних апаратів у просторі описують ті самі закони небесної механіки, що й рух природних небесних тіл. Не вдаючись до формул, наведемо деякі особливості руху штучних супутників Землі. У найпростішому випадку колової орбіти, якщо висота супутника над поверхнею Землі — 220, 562 і 1674 км, період його обертання становитиме 89, 96 і 120 хв відповідно. Дуже цікавим є випадок, коли супутник рухається на висоті 35 800 км. Тоді його період обертання становить 23 год 56 хв 04 с. А це час, за який Земля здійснює оберт навколо власної осі. Тому, якщо орбіта такого супутника лежить у площині земного екватора і він рухається в напрямку обертання Землі, то супутник увесь час перебуватиме «нерухомо» над певною точкою земного екватора. Таку орбіту називають геостаці онарною.

Найбільша відстань, на якій супутник все ще буде обертатися навколо Землі, — 1,5 млн км. Якщо ж супутник опинитися на більшій відстані, то тяжіння з боку Сонця збурюватиме його рух або повертаючи на менші висоти, або перетворюючи в штучну планету.

Щодо запуску космічних апаратів до інших небесних тіл, траєкторію і тривалість їх польоту також визначають за законами Кеплера. Розрахунки показують, що, наприклад, політ до Венери триває 146 діб, до Марса — 259 діб. При цьому на момент старту КА з Землі Венера має перебувати на орбіті на кутовий відстані 54° позаду Землі, а Марс — на 44° попереду неї. Коли КА опинитися біля Венери, Земля перебуватиме на 36° позаду неї, а в момент зустрічі з Марсом Земля перебуватиме на 75° попереду нього.

Ці два останні числа використовують для розв’язання задачі тривалості очікування КА біля Венери чи Марса. Його повернення на Землю може розпочатися лише за таких умов: від Венери — коли Земля перебуватиме на кутовий відстані 36° попереду неї; від Марса — коли Земля перебуватиме на 75° позаду нього. З обчислень випливає, що очікування сприятливого положення планет Венери і Землі триває 480 діб, Марса і Землі — 438 діб. У підсумку експедиція до Венери триватиме 770 діб, а до Марса — 956 діб.

Типова задача

Користуючись 3-м законом Кеплера, знайдіть сидеричний період обертання тіла з великою піввіссю орбіти 4 а.о.

Розв’язання: Дано: а2 = 4 а.о. Знайти Т2. Теретій закон Кеплера: Т2212 = a23/a13 . Припустимо, що першим тілом є Земля. Для неї а1 = 1 а.о., Т1 = 1 рік. Тоді з виразу для третього закону Кеплера отримуємо співзалежність

Відповідь: Т2 = 8 років.

Навчальні завдання

• Визначити масу Юпітера m, якщо відомо, що його супутник Ганімед обертається навколо планети на відстані а = 1070000 км з періодом Т = 7,2 доби.

Розв’язання: З формули (12.3) m = 4u2/G а3/Г,2 підставляючи числові значення, знаходимо m = 5,9 1011 кг с23 · (1,07 109 м)3/(6,22 105 с)2H 1,9 1027 кг.

Відповідь: Маса Юпітера становить майже 2 1027 кг.

• Накресліть дві орбіти, на одній з яких тіло має більший період обертання навколо Сонця, але може ближче підходити до нього, ніж на іншій.

Висновки

Три закони руху планет встановив Йоган Кеплер. Ці закони справедливі не лише для планет, але й для їх супутників, як природних, так і штучних. Узагальнений третій закон Кеплера дозволяє визначати маси небесних тіл.

Запитання для самоперевірки

1. На підставі яких спостережень було встановлено закони руху планет?

2. Для яких небесних тіл, окрім планет, справедливі Закони Кеплера?

3. Сформулюйте закони Кеплера.

4. Поясніть, що визначають елементи орбіти планети.

5. Поясніть, із чого випливає, що швидкість планети найбільша в перигелії і найменша в афелії.

• Пункт «Сонячна система» розділу «Науково-популярні статті» Українського астрономічного порталу. (http://www.astrosvit.in.ua/statti/soniachna-systema)

За результатами вивчення § 12 Ви маєте:

знати й розуміти

закони Кеплера; елементи планетних орбіт; практичне застосування законів Кеплера; принцип використання горизонтального паралаксу для визначення відстаней у Сонячній системі.

уміти

розв’язувати задачі на використання законів Кеплера.

оцінювати

важливість законів Кеплера для небесної механіки та космонавтики.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.