РОЗДІЛ 8

МАСИ ГАЛАКТИК

8.2.Теорема про віріал

Теорему про віріал вивів Р. Клаузіус (1870).

Тензор інерції системи N тіл має вигляд

Розглянемо момент інерції галактики відносно її центру, тобто слід тензора інерції:

Продиференціюємо цей вираз двічі за часом:

Перший доданок у (8.4) — кінетична енергія, помножена на фактор 4, другий — віріал Клаузіуса. Якщо система самогравітуюча з потенціальною енергією

то з рівнянь руху

випливає, що

Тут використано теорему Ейлера про однорідну функцію: потенціальна енергія Р є однорідною функцією степеня (-1). Усереднимо цей вираз за достатньо великий час:

Припустимо, що система скінченна у розмірах, і її компоненти мають скінченні швидкості. Тоді (8.8)

прямує до нуля:

Вважаючи систему ергодичною, заміняємо середні за часом середніми за ансамблем станів системи. Тоді й отримуємо теорему про віріал:

Нагадаємо, що H = T + P — повна енергія системи, умова H < 0 є ознакою стійкості. Якщо система задовольняє теорему про віріал, то кажуть, що вона віріалізована. Така система є стійкою, оскільки H = -T < 0 .

Маса системи тіл, що визначається за теоремою про віріал, називається віріальною масою. Ця теорема широко використовується у дослідженні динаміки галактик. За теоремою про віріал оцінюють також маси груп та скупчень галактик.