Позагалактична астрономія - Юрій Кудря 2016
РОЗДІЛ 8
МАСИ ГАЛАКТИК
8.2.Теорема про віріал
Теорему про віріал вивів Р. Клаузіус (1870).
Тензор інерції системи N тіл має вигляд
Розглянемо момент інерції галактики відносно її центру, тобто слід тензора інерції:
Продиференціюємо цей вираз двічі за часом:
Перший доданок у (8.4) — кінетична енергія, помножена на фактор 4, другий — віріал Клаузіуса. Якщо система самогравітуюча з потенціальною енергією
то з рівнянь руху
випливає, що
Тут використано теорему Ейлера про однорідну функцію: потенціальна енергія Р є однорідною функцією степеня (-1). Усереднимо цей вираз за достатньо великий час:
Припустимо, що система скінченна у розмірах, і її компоненти мають скінченні швидкості. Тоді (8.8)
прямує до нуля:
Вважаючи систему ергодичною, заміняємо середні за часом середніми за ансамблем станів системи. Тоді й отримуємо теорему про віріал:
Нагадаємо, що H = T + P — повна енергія системи, умова H < 0 є ознакою стійкості. Якщо система задовольняє теорему про віріал, то кажуть, що вона віріалізована. Така система є стійкою, оскільки H = -T < 0 .
Маса системи тіл, що визначається за теоремою про віріал, називається віріальною масою. Ця теорема широко використовується у дослідженні динаміки галактик. За теоремою про віріал оцінюють також маси груп та скупчень галактик.