КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина VI

ФІЗИКА ЗІР І ТУМАННОСТЕЙ

Розділ 14

НОРМАЛЬНІ ЗОРІ

14.6. Фізичні умови у надрах зір. Моделі зір

Фізичні умови в надрах зір та їхню внутрішню будову в цілому вивчає розділ астрофізики, що називається теорією внутрішньої будови зір. Вона визначає природу джерел енергії зорі, механізми перенесення цієї енергії до поверхні і на цій основі будує модель зорі, тобто дає картину розподілу тиску, густини, світності, температури і хімічного складу від центра зорі до її поверхні. Основою тут є уявлення про гідродинамічну і теплову рівновагу на кожній відстані r від центра зоряної конфігурації.

Рівняння гідростатичної рівноваги вже було записано у формі (11.4). На його основі проведено оцінку температури в центрі зорі (формула (11.9)).

З'ясовано, що зоря перебуває у стані рівноваги упродовж тривалого часу тому, що вага її верхніх шарів — у кожній точці з радіусом-вектором r — компенсується спрямованою назовні силою, що обумовлена градієнтом тиску, значення якого зростає з глибиною. Усі ж конкретні обчислення проводять за такою схемою.

У рівнянні (11.4) справа m(r) — маса тієї частини зорі, яка є всередині сфери радіуса r. Масу ж dm тонкого сферичного шару товщиною dr визначають як:

image17

де 4πr2 — площа поверхні згаданого шару; dr — його товщина; 4πr2dr — об'єм; ρ — густина речовини в цьому шарі. Отже, приріст маси на одиничний інтервал відстані від центра:

image15

У свою чергу маса, що знаходиться всередині сфери радіуса r:

image16

Можна, звичайно, підставити m(r) зі співвідношення (14.8) у рівняння гідростатичної рівноваги (11.4) і отримати інтегро-диференціальне рівняння. Його, однак, розв'язати неможливо, оскільки під інтегралом є густина, залежність якої від r потребує з'ясування. Є інший шлях об'єднати рівняння (11.4) і (14.8): перше з них домножити на r2/ρ(r) і диференціювати по r, після чого в його праву частину підставити співвідношення (14.8). Так отримуємо рівняння:

image18

Для його розв'язування треба задати зв'язок між тиском р і густиною ρ. Рівняння стану (8.35) тут не підходить, оскільки воно привносить інший параметр — температуру Т, розподіл якої уздовж радіуса зорі також невідомий. На початку XX ст., коли якраз розробляли основні уявлення про структуру зоряних надр, вважали, що енергія від центра зорі до її поверхні переноситься конвекцією. У цьому випадку тиск р і густина ρ пов'язані між собою законом адіабатичних змін р = Kργ (γ — показник адіабати), і задачу можна звести до диференціального рівняння другого порядку для одної невідомої ρ(r).

Степеневу залежність тиску від густини можна поширити і на зорі, які перебувають у стані променистої рівноваги (енергія переноситься випромінюванням). Рівняння, яке дає зв'язок тиску і густини, почали записувати у вигляді:

image19

де К — параметр адіабати, n — індекс політропи. Модель зорі (зміна густини в надрах зорі з радіусом), побудовану за умови (14.11) і (14.12), названо політропною моделлю. Індекс n = 1 описує внутрішню будову твердого тіла (наприклад, планети). Для зір, які складаються з газу, підходить, наприклад, n = 3 за умови, що зоря перебуває в стані променистої рівноваги.

Як згодом виявилося, реальну зорю, строго кажучи, не можна розглядати як політропу одного індексу. Навпаки, окремі зони зорі побудовані за різними законами. Зокрема, для Сонця зовнішня, конвективна оболонка описується розв'язком, що відповідає політропі n = 1,5, його внутрішня частина близька до політропи індексу 3.

Для визначення точної структури зорі рівняння (11.4) і (14.9) треба доповнити іншими двома рівняннями, які визначають зміну світності і температури з поточним радіусом:

image20

image21

де ε(r) — темп виділення енергії, розрахований на грам зоряної речовини, а f(r) — коефіцієнт теплопровідності. Саме цей коефіцієнт визначає конкретний механізм перенесення тепла (у даному випадку — це коефіцієнт променистої теплопровідності).

Якщо енергія переноситься конвекцією, замість (14.14) потрібно записати:

image22

У нормальних зорях перенесення енергії від центра до поверхні здійснюється завдяки одному із двох можливих процесів: перевипромінюванню квантів або конвекції. Домінування того чи іншого механізму залежить від конкретних локальних умов (температура газу, його густина і непрозорість). При розв'язанні системи рівнянь, яка описує структуру зорі від центра до поверхні, для кожного значення r перевіряють умову

image23де — структурний градієнт температури, який задається рівнянням (14.14), аimage25— адіабатичний градієнт температури з (14.15). Якщо ця умова виконана, розрахунок у даній точці r проводять з градієнтом (14.15), якщо ні — з градієнтом (14.14).

Рівняння (11.4), (14.9), (14.13), (14.14) та (14.15) цілком визначають структуру зорі. Для моделювання цієї структури, однак, необхідна додаткова інформація про розподіл ρ(r), f(r) та ε(r).

Для того, щоб позбутися значення ρ в наведених вище рівняннях, необхідно визначити зв'язок між густиною і термодинамічними характеристиками газу. Для зір нормального складу (не дуже великі густини, відсутність виродження газу) можна використати рівняння стану для ідеального газу:

image26

де μ — середня молекулярна маса речовини, — універсальна газова стала.

Для практичного використання (14.16) необхідно знати значення μ, яке залежить від хімічного складу зоряного газу. Наприклад, у випадку повної іонізації зоряної речовини, масова частина водню в якій складає X = 0,70, гелію Y = 0,28 та більш важких елементів Z = 0,02, середня молекулярна маса становить μ = 0,62 (див. підрозділ 8.8).

Для більшості зір нормальної будови основним механізмом передавання енергії із більш нагрітих в менш нагріті шари є промениста теплопровідність, коли передача енергії здійснюється квантами електромагнітного поля. В цьому випадку коефіцієнт променистої теплопровідності дорівнює:

image27

Тут к( r) є коефіцієнт поглинання зоряної речовини в розрахунку на одиницю маси (см2/г). В найпростішому випадку теорія дає такий вираз:

image28

Для визначення невідомої ε(φ нижче коротко розглянемо енерговиділення у деяких термоядерних реакціях, які, як вважається, мають найважливіше значення для зір головної послідовності.

Тривалі дослідження внутрішньої будови зір дозволили сформулювати таке положення: основне джерело енергії зір — термоядерні реакції, в яких відбувається об'єднання легких атомних ядер з утворенням важчих ядер. Енергія, що виділяється при цьому, рівна енергії зв'язку утвореної частинки. Якщо нормувати енергію зв'язку ядра на число нуклонів у ядрі, то результуюча характеристика є мірою стабільності ядра. Виявляється, що максимальну енергію зв'язку в розрахунку на один нуклон має ядро заліза. Неважко зрозуміти, що ядерні сили, які утримують нуклони в ядрах, послаблюються дією кулонівського відштовхування між протонами. Цей механізм є ефективним у легких ядрах. При збільшенні числа нуклонів в ядрі, воно набуває достатньо великих розмірів, тому для периферійних нуклонів, які входять до складу важких ядер, через їх взаємну віддаленість, сили ядерної взаємодії виявляються менш ефективними (відомо, що ядерні взаємодії — короткодіючі). Це також призводить до зменшення енергії зв'язку, тобто — до зменшення стабільності ядра. Існує проміжний випадок максимальної енергії зв'язку на нуклон (ядро заліза). Отже, легшим ядрам енергетично вигідно об'єднуватися з утворенням важчого ядра з більшою енергією зв'язку на один нуклон (глибша потенціальна яма). Це — термоядерні реакції синтезу. І навпаки, ядрам, важчим за ядра заліза, енергетично вигідніше «розвалитися» з утворенням ядер, що мають більшу величину енергії зв'язку на один нуклон. Такі реакції є реакціями радіоактивного розпаду. Термоядерні реакції та реакції розпаду ідуть з виділенням енергії.

В зоряних надрах найбільш імовірні реакції з участю легких елементів (водень, гелій і т. д.). Спочатку ми розглянемо основні цикли «горіння» легких елементів, а потім звернемось до кількісних характеристик відповідних реакцій.

Дуже калорійне паливо — водень. Водень «згорає» з утворенням гелію. Перша реакція в ланцюжку «горіння» водню — злиття двох протонів:

image29

Як наслідок, утворюється ядро дейтерію, позитрон і нейтрино. Ядро дейтерію дуже швидко захоплює ще один протон, формуючи у такій засіб ядро ізотопу гелію та високоенергійний γ-квант:

image30

Далі ядро 3Не може реагувати або з такою ж частинкою (69% випадків), або з ядром 4He (31% випадків). При реалізації більш імовірного каналу:

image31

Цією реакцією завершується процес перебудови чотирьох протонів в одну α-частинку 4He. Якщо реалізується менш імовірний канал, то:

image32

а реакції подальшого синтезу такі:

image33

image34

Імовірність такої реалізації становить 99,7%. У 0,3% випадків відбувається надто рідкісна реакція:

image35

image36

image37

В (14.19з) утворюється ядро ізотопу берилію у збудженому стані (позначене зірочкою), яке дуже швидко розвалюється (реакція (14.19i)) на дві α-частинки.

Реакції (14.19а—i) визначають процес термоядерного синтезу гелію з водню. їх об'єднують під однією назвою: рр-цикл (протон-протонний) «горіння» водню.

Існує й інший цикл «горіння» водню — з участю ядер-каталізаторів. Він протікає при більш високих температурах. Як каталізатор можуть виступати ядра 12С:

image38

image39

В останній реакції розпад ядра 13N супроводжується народженням ядра ізотопу 13С, позитрона і нейтрино. Далі:

image40

image41

Ядро 150 нестабільне і розпадається за такою схемою:

image42

Нарешті:

image43

Бачимо, що 4 протони «згоріли» з виникненням однієї α-частинки. Цикл «горіння» водню з участю ядер каталізаторів (вуглецю, азоту і кисню) зветься CNO-циклом.

У загальному випадку «горіння» водню у CNO-циклі не вичерпується тільки реакціями (14.20а—е). Інколи можуть виникати відгалуження від проміжних реакцій, які приводять до формування таких ізотопів, як 16О,

17о, 18О, 17f, 18f, 19f

Водень може «горіти» і в інших циклах. Серед них, наприклад, неоново-натрієвий і магнієво-алюмінієвий цикли. Тут у якості ядер каталізаторів виступають ядра неону, натрію, магнію і алюмінію.

Ефективність перебігу реакцій того чи іншого циклу залежить від термодинамічних характеристик речовини в надрах зорі. Аналіз виявляє, що при низьких температурах (менше 1,5 · 107 К) найбільше енерговиділення забезпечує рр-цикл. При вищих температурах, навпаки, домінує CNO-цикл (якщо є достатня кількість ядер-каталізаторів). Якщо температура в надрах зорі перевищує 2· 108 К, на перший план виступають NeNa-цикл або MgAl-цикл (ці цикли звуться гарячими).

До моменту, коли водневе пальне практично вичерпане у ядрі зорі, а концентрація 4He значно збільшилася, можуть виникнути придатні умови для «горіння» гелію. При поєднанні двох α-частинок утворюються нестійкі ядра 8Be. Якщо ядро 8Be встигає захопити ще одну α-частинку перш ніж воно розпадеться, то формується ядро вуглецю 12С. Результуючий процес може бути записаний так (3α-реакція):

image44

Щоб реакція (14.21а) відбувалася, тобто, щоб подолати потужне кулонівське відштовхування, яке діє між додатньо зарядженими частинками, α-частинки при зближенні повинні мати достатньо велику кінетичну енергію. З цієї причини «горіння» гелію починається за умови, що температура у надрах зорі, збагачених гелієм, досягає декількох сотень мільйонів градусів.

Гелій може «горіти» і при таких реакціях:

image45

image46

image47

Вичерпання запасів гелію внаслідок (14.21а—г) і синтез ядер 12С та 16O поступово приводять до утворення в зоряних надрах умов, необхідних для «загорання» вуглецю (це трапляється, якщо температура в зоряному ядрі досягає одного мільярда кельвінів) та кисню (якщо температура перевищує 2·109 К). Схематично ці реакції виглядають таким чином:

image48

image49

image50

image51

image52

image53

Можливі також реакції типу:

image54

які є постачальниками вільних нейтронів у плазмі зоряних надр.

Роль кожної з перелічених термоядерних реакцій на різних етапах зоряної еволюції неоднакова. Найважливішими в дослідженні нормальних зір є реакції рр- та CNO-циклу. Саме вони є типовими для переважної більшості зір, які мають значні запаси водневого палива. Розглянемо докладніше питання про швидкість виділення енергії в цих двох циклах.

В теорії внутрішньої будови зір використовується величина:

image55

яка є швидкістю виділення енергії в реакції в розрахунку на одиницю маси (розмірність [ерг/(с-г)]). Р12 є швидкість реакції між ядрами 1-го виду та 2-го виду (розмірність Р12 є кількість реакцій в одиниці об'єму за одиницю часу); Q — енергія, яка виділяється при взаємодії.

Головні труднощі спричиняє визначення величини Р12 для різних реакцій. Із загальних міркувань ясно, що швидкість реакції пропорційна добутку концентрацій реагуючих частинок на відносну швидкість їх руху ($) та переріз реакції (σ):

image56

δ12 = 0, якщо n1 та n2 — концентрації частинок різного сорту та δ12 = 1, якщо n1 = n2 (частинки одного сорту).

Прості оцінки показують, що при температурах, типових для зоряних надр, навіть ядра з мінімальним зарядом (окремі протони) не мають достатньої кінетичної енергії, щоб при зіткненні подолати кулонівський бар'єр і прореагувати. Імовірність проходження крізь бар'єр експоненційно збільшується при зростанні кінетичної енергії частинки. Однак, навіть у випадку, коли енергія частинки мала порівняно з висотою кулонівського потенційного бар'єра, існує відмінна від нуля імовірність проникнення частинки крізь бар'єр. Процеси такого типу звуться тунельними. Імовірність тунельного, тобто підбар'єрного переходу:

image57

де h = h/2π, M — маса реагуючих частинок, U, R, R0 та E — висота і межі енергетичного бар'єра та кінетична енергія частинки відповідно.

В загальному випадку переріз реакції σ є добуток імовірності підбар'єрного переходу Ψ на імовірність подальшої реакції ядер, що зблизилися. Для того, щоб оцінити переріз ядерної реакції, необхідно, крім всього, ще знати структуру ядра (характеристики його енергетичних рівнів). Після того, як зібрана вся необхідна інформація, можна записати вираз для перерізу конкретної реакції. Наприклад, для реакції (14.19а):

image58

тут Е прийнято у 103 еВ. Аналогічний вираз отримують для кожної із розглянутих вище реакцій.

Щоб визначити швидкість енерговиділення у циклі, необхідно передусім обчислити повну кількість енергії, яка виділяється на всіх етапах циклу. Ця кількість енергії Q не враховує частку енергії, яку виносять нейтрино і яка з цієї причини не передається навколишньому газу (нейтрино, які мають кінетичну енергію, не більшу від МеВ, майже не взаємодіють зі звичайною речовиною, тому вільно покидають зоряні надра). Сумарне виділення енергії в кожному рр-циклі, якщо здійснюється ланцюжок реакцій (14.19а—в), складає Qpp · 26·106 еВ; для CNO-циклу QCNO = 25·106 еВ. Звичайно, що в гелієвому циклі ця величина буде меншою. Вона становить Q3α = 7,3· 106 еВ.

У якості швидкості реакції в (14.25) повинна виступати швидкість найповільнішої реакції циклу, яка лімітує темп «вигорання» палива. Для рр-циклу (14.19а—і) самою повільною виявляється реакція (14.19а) злиття двох протонів. Дотепер експериментальних даних про її швидкість немає. Існують тільки теоретичні розрахунки величини Р12 для (14.19а). Згідно з такими розрахунками, характерний час цієї реакції τ (величина, обернено пропорційна швидкості реакції, яка дорівнює часу, протягом якого число реагуючих частинок в одиниці об'єму зменшується приблизно у 2.7 разів) становить біля 1010 років. Характерний час інших реакцій рр-циклу на багато порядків менший порівняно з реакцією (14.19а), тож з огляду на реакцію (14.19а) всі інші етапи циклу (14.19 б—і) відбуваються практично миттєво. На перший погляд може здаватися, що рр-цикл має дуже низьку ефективність енерговиділення (внаслідок того, що мала імовірність протікання першої реакції циклу). Насправді зорі вміщують велику кількість протонів, і ця обставина з надлишком компенсує низьке значення швидкості реакцій між ними.

Для CNO-циклу найповільнішою є реакція (14.20г). Її характерний час τрр = 107 років (порівняйте з τрр ). Інші реакції CNO-циклу перебігають достатньо швидко.

Як видно, швидкість «вигоряння» водню в CNO-циклі набагато вища, ніж у рр-циклі, і ця обставина відіграє дуже важливу роль у з'ясуванні шляхів зоряної еволюції.

Наближений вираз для швидкості енерговиділення в розрахунку на одиницю маси для рр-циклу, при n1n2 ~ X2p2 (X — масова частина водню) має вигляд:

image59

тут Т6 — температура в мільйонах (106) К. Це співвідношення справедливе в інтервалі температур Т6 від 16 до 20.

У свою чергу, швидкість виділення енергії в реакціях CNO-циклу:

image60

В (14.30) з'являється множник XCNO — масова частина елементів C, N та О, ядра яких відіграють роль каталізаторів реакцій. Очевидно, що n1 ~ Хρ, а n2 (в цьому випадку — концентрація ядер вуглецю, азоту та кисню) є пропорційною XCNOρ. Звертає на себе увагу дуже великий показник степеня при температурі в (14.30). Це зрозуміло із загальних міркувань: для того щоб успішно подолати кулонівський бар'єр, реагуючі ядра (протони та ядра C, N або О, заряд ядра Z = 6, 7 та 8 відповідно) повинні мати велику кінетичну енергію, яка може бути наслідком високої температури. Апроксимацій- не співвідношення (14.30) справедливе в інтервалі Т6 від 20 до 30.

Зауважимо, що внаслідок локального вичерпування конкретного типу термоядерного палива, змінюється залежність величин X, Y і Z від радіуса зорі на кожному етапі її еволюції.

Після того, як усі необхідні величини, що входять до (14.16), (14.17) і (14.25), визначені, можна розв'язати систему рівнянь (11.4), (14.9), (14.13), (14.14) або (14.15), яка й описує структуру зорі головної послідовності. При цьому використовують ефективні різницеві методи: зорю уявно розбивають на m сферичних шарів (зон), у кожному з яких параметри газу вважають сталими. В якості незалежної змінної замість r часто вибирають m — масу, яка міститься у шарі радіуса r. У цьому випадку систему наведених вище диференціальних рівнянь треба перевизначити, враховуючи те, що image62(див. рівняння (14.9)). Вихідну систему диференціальних рівнянь переписують у вигляді різниць параметрів (і + 1)-го та і-го шарів. Оскільки зорю розбивають на m шарів, а диференціальних рівнянь чотири, то всього отримують 4m звичайних алгебраїчних рівнянь для 4mневідомих. Об'єм пам'яті сучасних ЕОМ дає змогу розбивати зорю на декілька сотень шарів і, отже, отримувати точні результати. Внаслідок таких обчислень отримують модель зорі. Як приклад, на рис. 14.8 показано зміну температури, густини, тиску і світності в залежності від відстані до центра зорі головної послідовності — Сонця (M = 1Мʘ).

image61

Рис. 14.8. Модель внутрішньої будови Сонця. Температура, густина і газовий тиск виражені у К, г/см3 і дин/см2 (=10-6 атм.) відповідно






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.