КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина III

ЕЛЕМЕНТИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ І ДИНАМІКИ КОСМІЧНИХ ПОЛЬОТІВ

У цій частині пояснено особливості руху і взаємодії небесних тіл під дією сили гравітації, зокрема планет Сонячної системи та їхніх супутників, що випливають з закону всесвітнього тяжіння. Нагадаємо, що цю задачу Ісаак Ньютон розв'язав шляхом громіздких геометричних побудов. Загальноприйнятою тепер мовою диференціального та інтегрального числення результати Ньютона описав Леонард Ейлер (1707—1783) у праці «Механіка» (1736р.) через 49років після виходу в світ «Математичних основ природознавства» Ньютона.

Розділ 6

ОСНОВИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ

6.1. Закон всесвітнього тяжіння

Як згадувалося, Коперник висловив припущення, за яким тяжіння властиве усім небесним світилам. Галілей, виявивши супутники Юпітера, переконливо довів, що в навколишньому Всесвіті, крім Землі, є й інші центри тяжіння. Кеплер, визначивши кінематику Сонячної системи, вперше спробував з'ясувати причину рухів планет. Він припустив, що від Сонця до планет простягається певна рушійна сила, подібна до променів світла і тепла, яка і втягує планету в рух навколо Сонця. Її напрям мав би бути перпендикулярним до напряму «Сонце — планета». Це співпадало з поглядами Арістотеля та його послідовників: рух триває доти, поки діє сила, що спричиняє цей рух. Щоб пояснити рух планет по еліптичних орбітах, Кеплер припускав, що всі планети є магнітами, сили яких складаються з дією Сонця.

Після того як Галілей встановив закон інерції, стало очевидним таке: у русі планет треба шукати силу, що змінює їхній прямолінійний шлях на криволінійний. Мова, отже, йде про силу, що утримує планету на її орбіті. Невдовзі голландський фізик Хрістіан Гюйгенс (1629—1695) дослідив коловий рух, увів поняття доцентрової сили й отримав формулу, опубліковану в книжці «Маятникові годинники» (1673 р.): під час руху матеріальної частинки (планети) навколо силового центра (Сонце) на неї діє відцентрова сила:

image10

де m — маса частинки; V — швидкість її руху по колу радіусом r. З цього часу стало ясно, що планета рухається навколо Сонця по еліптичній (майже коловій) орбіті під дією двох сил: відцентрової Fb і певної доцентрової сили F, залежність якої від відстані ще була невідома.

Щоправда, в 1645 р. французький учений Ісмаїл Буйо (1605—1694) стверджував, що сила, яка діє на планету і спрямована до центра світу, змінюється обернено квадрату відстані. У 1666 р. італійський математик Джованні Бореллі (1608—1679) визначив, що на планету, крім сили притягання, діє ще й відцентрова сила, значення якої зумовлене швидкістю руху планети. Ряд важливих думок про закономірність руху планет висловив англійський вчений Роберт Гук (1635—1703). Ніхто однак не зауважив, що принаймні для колового руху планети залежність доцентрової сили від відстані можна визначити з третього закону Кеплера (4.3) та співвідношення (6.1).

Справді, якщо Т — період обертання планети навколо Сонця, то її колова швидкість V = 2πr/T. З третього закону Кеплера випливає, що для кожної з планет Т23 = const = A. Замінивши а на r, знаходимо, що V 2 = 4πr/Ar. Оскільки виконується рівність Fв = Fд, то з формули (6.1) отримуємо, що Fa = 4π 2m/Ar2: сила обернено пропорційна квадрату відстані до силового центра — Сонця.

Як знаємо, Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння шляхом певних геометричних міркувань, розглядаючи спочатку відхилення тіла від прямолінійного шляху та використовуючи другий закон Кеплера. Це в сукупності дало змогу вилучити з подальшого розгляду час і звести все до розв'язування трикутників і співвідношень між їхніми сторонами. У підсумку він сформулював таку теорему: «Сили, з якими планети постійно відхиляються від прямолінійного руху й утримуються на своїх орбітах, спрямовані до Сонця й обернено пропорційні квадратам відстаней від його центра; усі тіла тяжіють одне до одного... пропорційно кількості матерії кожного з них». Цей закон всесвітнього тяжіння записують у такому вигляді:

image11

де G — гравітаційна стала; М: і M 2 — маси тіл; r — відстань між ними.

Ньютон довів, що сила, яка керує рухом планет, є тією ж силою тяжіння, яка змушує тіла падати на Землю. Припустивши, що ця сила поширюється до орбіти Місяця, Ньютон отримав числове підтвердження ідентичності обох сил. Справді, якщо g =9,8 м/с2 — прискорення сили тяжіння на поверхні Землі (при r = R0), а g1 — прискорення сили тяжіння на відстані r = 60 R , що дорівнює радіусу орбіти Місяця, то, очевидно, g1 = g/602або g1 = 0,27 см/с2.

З іншого боку, неважко обчислити відцентрове прискорення, яке діє на Місяць під час його руху по коловій орбіті з кутовою швидкістю ω:

image12

Підставивши числові значення, отримуємо, що g1 = 0,27 см/с2.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.