КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина III

ЕЛЕМЕНТИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ І ДИНАМІКИ КОСМІЧНИХ ПОЛЬОТІВ

Розділ 6

ОСНОВИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ

6.2. Задача двох тіл

Задачу про рух двох небесних тіл, що притягують одне одного відповідно до закону всесвітнього тяжіння, прийнято називати задачею двох тіл. Її частковий розв'язок визначається рівнянням Кеплера, оскільки рух по еліптичній траєкторії не є єдино можливим. Залежно від початкових умов (швидкості V0 у певній точці орбіти r0) тіло може рухатися по коловій, еліптичній, параболічній або гіперболічній орбіті.

Маси тіл М1 і М2 можуть, звичайно, бути довільними, а якщо мова йде про дві зорі, що обертаються навколо спільного центра мас, то і співмірними. Розглянемо випадок, коли М2 << Мр тобто коли маса силового центра (Сонця) значно перевищує масу супутника (планети): m << М. Для спрощення припустимо, що тіло М є нерухомим. Нехай також у початковий момент часу t0 тіло m займає положення П на відстані r від центра О маси М (рис. 6.1).

image13

Рис. 6.1. Типи траєкторій у задачі гравітаційної взаємодії двох тіл: 1 — коло; 2 — еліпс; 3 — парабола; 4 — гіпербола.

Нагадаємо, що з рівнянь руху, які описують зміщення маси m у полі тяжіння маси М, випливає один із розв'язків, що називається інтегралом енергії:

image14

де перший доданок — кінетична енергія частинки; другий — потенціальна енергія в розрахунку на одиницю маси; K — стала:

image15

де a — велика піввісь орбіти. З (6.4) і (6.5) знайдемо швидкість тіла як функцію маси силового центра, положення тіла на орбіті і значення її великої півосі:

image19

В окремому випадку колової орбіти (r = а) маємо вираз для колової або першої космічної швидкості:

image16

При а = ∞ з формули (6.6) випливає формула для параболічної, або другої космічної швидкості:

image17

Якщо ж швидкість тіла відносно силового центра V > Vп, то рухатися воно буде по гіперболічній орбіті.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити