КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина III

ЕЛЕМЕНТИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ І ДИНАМІКИ КОСМІЧНИХ ПОЛЬОТІВ

Розділ 6

ОСНОВИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ

6.3. Узагальнений закон Кеплера. Визначення мас небесних тіл

Вище було прийнято, що маса силового центра значно більша від маси пробної частинки (m << M). У цьому випадку центр інерції системи співпадає з центром маси M. Насправді ж центральне тіло M має прискорення gM = Gm/r2 у напрямі до маси m, тоді як пробна маса — прискорення gm = GM/r2 у напрямі до маси M. Значення прискорень обернено пропорційні масам: gM/gm = m/M. Якщо сумістити початок відліку координат з центром маси M, то відносно нього повне прискорення g = gM + gm. Тому в рівняннях руху та їхніх розв'язках стоїть сума мас M + m. Зокрема, третій, узагальнений Ньютоном, закон Кеплера має вигляд:

image18

Це співвідношення дає змогу визначати маси планет, якщо в них є супутники, маси подвійних зір, якщо відомі періоди їхнього обертання і великі півосі їхніх орбіт. Фактично розв'язком тут є співвідношення:

image20

Знаючи період обертання зір у подвійній системі Т та велику піввісь а, з нього можна визначити суму мас її компонентів. Проте числове значення сталої гравітації G обчислено лише у 1798 р. Генрі Кавендішом (1731—1810). Ньютон його не знав. Тому масу Сонця, Юпітера і Сатурна він визначив, зіставляючи дані про обертання супутників навколо Землі, Юпітера і Сатурна, а також Венери навколо Сонця. Масу Місяця він обчислив за висотою припливних горбів (див. підрозділ 6.7), применшивши її удвічі.

Масу Сонця в одиницях маси Землі M можна визначити так. Нехай T і ТM — зоряний рік і сидеричний місяць; a i і аM — відповідно велика піввісь орбіти Землі й орбіти Місяця; Mʘ, M та МM — маси Сонця, Землі і Місяця. Записавши рівняння (6.10) спочатку для системи Земля-Сонце, а потім для системи Місяць-Земля та виключаючи з них праву сталу частину, отримуємо, що:

image21

image22

При T = 365,256 доби, ТM = 27,32 доби, a i = 149,6· 106 км, аM = 384 400 км отримуємо Мʘ = 332 958 M , або наближено 330 000 M .

Масу Землі обчислюють, зокрема, і за значенням прискорення сили тяжіння на її поверхні: g = GM/R . При відомому радіусі Землі R і гравітаційній сталій G знаходимо M = 5,98· 1024 кг. Тоді Mʘ = 2·1030 кг.

До речі, центр маси системи Земля-Місяць розташований на відстані 4635 км від центра Землі.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.