КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина III

ЕЛЕМЕНТИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ І ДИНАМІКИ КОСМІЧНИХ ПОЛЬОТІВ

Розділ 6

ОСНОВИ НЕБЕСНОЇ МЕХАНІКИ

6.4. Задача трьох і більше тіл

Якщо говорити про планети Сонячної системи, то кожна з них зазнає притягання не лише з боку Сонця, а й з боку інших планет. Найбільшою з них є Юпітер. Його маса у 314 разів більша від маси Землі. Неважко обчислити, що у протистоянні з Сонцем сила притягання, яка діє з боку цієї планети на Землю, у 17 000 разів менша від сили притягання з боку Сонця.

Інакшою є ситуація в системі Земля-Місяць-Сонце, якщо це стосується Місяця. Хоч Місяць обертається навколо Землі, однак, як неважко обчислити, Сонце притягує його удвічі сильніше, ніж Земля (Fʘ /F = 2,18). Проте на рух Місяця навколо Землі впливає не сила притягання його Сонцем, а різниця притягання Сонцем Землі і Місяця. Справді, нехай g3M = GM /r23M і gCM = GMʘ/r2СМ — прискорення, якого надають Місяцеві відповідно Земля і Сонце; gC3 = GMʘ/r2СЗ — прискорення, що його Сонце надає Землі. У момент, коли Місяць перебуває між Землею і Сонцем і, відповідно, з іншого боку від Землі, його відстань від Сонця rCM = а ± r ≈ а, а різниця прискорень gCM — gC3 набуває вигляду:

image23

Звідси випливає, що:

image24

або ∆g3M ≈ 1/90. Це значення ще менше, коли Місяць знаходиться поза лінією Земля-Сонце. Тому середнє значення гравітаційного впливу Сонця на Місяць близьке до 1/360 від дії Землі на нього. Взаємний вплив Землі і Місяця описаний у 6.7.

З огляду на чималу кількість ефектів взаємного впливу система Сонце-Земля-Місяць не є типовою у задачі трьох тіл. Задача трьох тіл — це проблема з'ясування руху трьох тіл, які взаємно притягуються з силою, обернено пропорційною квадратам відстаней між ними. При цьому звичайно вважають, що ці маси є точковими.

Ще в 1887 р. доведено, що загальний розв'язок цієї задачі не можна отримати у вигляді певного алгебраїчного виразу. І все ж у 1912 р. фінський математик Карл Зундман (1873—1949) знайшов теоретичний розв'язок у вигляді нескінченних рядів, які, однак, збігаються настільки повільно, що для забезпечення потрібної для астрономії точності довелося б узяти 1080 000 членів, тому формули Зундмана поки що практичного значення не мають.

Слід зауважити: ще у 1772 р. французький математик Жозеф Луї де Лагранж (1736—1813) з'ясував, що у двох випадках задача трьох тіл все ж має точний розв'язок: 1) якщо всі три тіла знаходяться на одній прямій, причому третє тіло перебуває в точці L1, L2 або L3 (рис. 6.2), і 2) якщо всі три тіла утворюють рівносторонній трикутник (рис. 6.3).

image25

Рис. 6.2. Розв'язок задачі трьох тіл, якщо усі тіла перебувають на одній прямій, причому третє (пробна частинка) — в одній з трьох колінеарних точок лібрації L1 , L2або L3

image26

Рис. 6.3. Матеріальні точки M3 M2 і M3 розташовані у вершинах рівностороннього трикутника, зберігають форму фігури при взаємному русі по еліптичних орбітах навколо спільного центра мас

Згадані п'ять точок називаються центрами лібрації, або точками Лагранжа. Перші три — колінеарні, наступні дві — тригональні точки лібрації. У другому випадку, якщо в одну з точок Лагранжа помістити (з певною швидкістю руху!) третє тіло, то всі три тіла М1 М2 і М3 будуть рухатись в площині, в якій вони перебувають, причому відношення між їхніми взаємними відстанями завжди будуть однаковими. А якщо маса другого тіла не перевищує 0,04М1 а масою М3 можна знехтувати, то під час руху їх навколо спільного центра мас вони цілком зберігають своє розташування одне відносно одного.

Цей останній варіант зустрічається в природі, мабуть, досить часто. Наприклад, разом з Юпітером на його орбіті на 60° попереду і на 60° позаду нього навколо Сонця обертаються дві групи невеликих небесних тіл (астероїдів, див. розділ 13.1) — «греки» і «троянці» (рис. 6.4). У 1961 р. польський астроном К. Кордилевський виявив, що разом з Місяцем навколо Землі рухаються дві розріджені пилові хмари. Тригональні точки лібрації системи Земля-Місяць показані на рис. 6.5 (точки L4 і L5). Якщо r — велика піввісь місячної орбіти (r = 384 400 км), то відстань точки L1 від Місяця rLl = 0,15r = 57 600 км, відстань точки L2 від Місяця rL2 = 0,17r = 65 300 км, відстань точки L3 від Землі rL3 = 0,99r= 380 000 км. Перебування матеріальної точки m у будь-якій з них можливе лише за умови, що вона має цілком конкретну швидкість. Якщо V = 1,02 км/с — середня орбітальна швидкість Місяця, то відповідні швидкості третього тіла такі: V L1 = 0,85 V, VL2 = 1,17 V і VL3 = 0,99 V. Зауважимо, що положення тіла у цих колінеарних точках лібрації нестійке, тоді як у тригональних точках L4 і L5 воно є стійким.

image27

Рис. 6.4. «Греки» і «троянці» в системі Сонце-Юпітер

Під нестійкістю положення розуміють наступне. Система трьох тіл обертається навколо спільного центра мас. Якщо лише швидкість третього тіла за значенням або за напрямом дещо відхиляється від конкретної для даної системи, то конфігурація останньої порушується. При цьому третє тіло (матеріальна точка m) зміщується по поверхні однакового потенціалу. Тригональні точки лібрації є точками найменшого (за абсолютним значенням) потенціалу, своєрідною потенціальною ямою, куди й може потрапити матеріальна частинка m.

image28

Рис. 6.5. Точки лібрації в системі Земля-Місяць

При збільшенні відстані від кожної з мас при певних rх та r2 поверхні однакового потенціалу (відповідно φ1= GM/r і φ2= GM2/r2), що їх можна описати навколо кожної маси, стикаються в точці лібрації L1. Створюється деяка спільна поверхня (має вигляд пісочного годинника), яка в перерізі площиною, що проходить через центр мас, нагадує цифру вісім. Точка лібрації L1 називається внутрішньою точкою Лагранжа. Пробна матеріальна частинка m, виведена на цю поверхню біля одної маси, з відповідною швидкістю Vкрпройде через точку L1 та опиниться у полі тяжіння іншої маси, описуючи «вісімки» як завгодно довго.

Ця спільна еквіпотенціальна поверхня називається критичною поверхнею Роша, а охоплений нею простір — порожниною Роша. Назва походить від імені французького астронома Едуарда А. Роша (1820—1883), який одним з перших дослідив особливості такого руху. Як побачимо далі (див. розділ 21), під час свого розвитку зоря, що входить до подвійної системи, на певному еволюційному етапі розширюється і заповнює свою порожнину Роша, після чого починається перетікання зоряної речовини від неї до її супутника.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.