КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина IV

ОСНОВИ ТЕОРЕТИЧНОЇ ТА ПРАКТИЧНОЇ АСТРОФІЗИКИ

Розділ 8

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРЕТИЧНОЇ АСТРОФІЗИКИ

8.8. Газові закони

При вивченні зір і туманностей використовують співвідношення фізики, які описують газоподібний стан речовини, тобто рівняння стану, рівняння Максвелла тощо.

Рівняння стану. Для дослідження атмосфер більшості зір і міжзоряного середовища використовують рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона-Менделєєва). Ідеальним називається газ, для якого енергія взаємодії між частинками нехтовно мала у порівнянні з їх кінетичною енергією. У рівнянні стану ідеального газу тиск р, температура Т і густина ρ зв'язані між собою наступним чином:

image40

де — універсальна газова стала (8,31 Дж/(моль-К)), μ — середня молекулярна маса речовини.

Для практичного використання (8.35) необхідно знати значення μ, яке залежить від хімічного складу зоряного газу. Повне число частинок газу в одиниці об'єму дорівнює сумі чисел ядер атомів різних хімічних елементів та числа електронів. Якщо позначити масову частку елемента з атомним номером і через xi, ступінь j-кратної іонізації i-го елемента через уij , масу ядра атома з номером і через mi (mi ≈ Aimp , де Ai — атомна маса у а. о. м., mp — маса протона), то можна записати вираз для концентрації іонів і-го хімічного елементу в j-ій стадії іонізації:

image41

Для концентрації електронів, що виникають при іонізації різних атомів, будемо мати:

image42

Повна концентрація частинок газу:

image43

За визначенням, молекулярна маса дорівнює відношенню кількості важких частинок (нуклонів) в одиниці об'єму до повної концентрації частинок газу (з урахуванням електронів, якщо газ частково, або повністю іонізований):

image44

Розглянемо приклад. Плазма складається з водню (x1 = X), гелію (x2 = Y) та інших атомів з масою, більшою ніж у гелію (x3 = Z). У випадку повної іонізації атомів кожний атом водню втрачає один електрон, кожний атом гелію — два електрони. Число електронів, що їх втрачають важчі атоми при їх повній іонізації, приблизно у два рази менше їхньої атомної маси (наприклад, маса атома вуглецю A = 12 а.о., а число електронів в оболонці дорівнює 6; для важчих атомів це відношення може дещо відрізнятися від двох). Тоді:

image45

Як правило, за високих температур, що є в надрах зір, речовина виявляється повністю іонізованою, і формула (8.40) дає цілком задовільну оцінку μ. При досить низьких температурах, які типові для зоряних атмосфер, іонізація є неповною, і розрахунок середньої молекулярної маси для складної суміші атомів та іонів всіляких хімічних елементів значно ускладнюється.

Для Сонця вміст водню за масою X = 0,70, гелію Y = 0,28 та Z = 0,02. Відповідно з цим для сонячних надр μ = 0,62.

Якщо взаємодія частинок газу істотно впливає на його фізичні властивості, то такий газ є виродженим. Тиск виродженого газу не залежить від його температури. Ця обставина відіграє важливу роль на заключних етапах еволюції зір, коли збільшення густини в їх надрах перетворює ідеальний газ електронів на вироджений. Для опису нерелятивістського виродженого електронного газу використовують таке рівняння стану:

image46

а для релятивістського —

image47

де μe— середня молекулярна маса в розрахунку на один електрон (μ е = A/Z), тут Z — заряд ядра. Саме тиск виродженого електронного газу і підтримує стабільність зір білих карликів, в яких густина сягає значення 106 г/см3. При ще більшій густині процес виродження охоплює більш важкі частинки газу, наприклад, нейтрони. З вироджених нейтронів складаються нейтронні зорі.

Розподіл частинок за швидкостями. Як видно з рівняння (8.31), частота кванта світла, випроміненого, наприклад, у бальмерівському континуумі при рекомбінації електрона на другий енергетичний рівень, залежить від попереднього значення швидкості цього електрона у вільному стані. Аналіз показує, що частинки газу, який при заданій температурі Т перебуває в стані статистичної рівноваги, мають різні швидкості V, які розподілені від нуля до дуже значних. Сам розподіл частинок газу за швидкостями описується формулою Максвелла:

image48

де N — загальна кількість частинок в одиниці об'єму; m — маса частинки; dN — кількість частинок, що мають швидкість в інтервалі від V до V + dV. З рис. 8.5 видно, що розподіл частинок за швидкостями істотно залежить від температури. Найбільше частинок рухається зі швидкістю V *, що відповідає максимуму кривої розподілу. Ця швидкість називається найімовірнішою. Її числове значення знаходять за формулою:

image49

Маса частинки m = μmн, причому маса атома водню mн = 1,67· 10-27 кг. Для нейтрального водню при μ = 1 і Т = 6000 К знайдемо V* = 10 км/с.

Статистичний розподіл Максвелла встановлюється внаслідок співударів частинок, в яких довжина вільного пробігу l ≈ 1/(Νσ), де σ — ефективний переріз взаємодії двох частинок (для грубої оцінки його можна прийняти рівним площі перерізу частинки). Типовий час пробігу частинки між зіткненнями t ≈ l/V* ≈ 1/(NV*σ).

Зокрема, в умовах сонячної атмосфери при N = 1016 см-3 і Т = 5770 К для атомів водню l ≈ 1 см і t ≈ 10-6 с. В умовах міжзоряного середовища N ≈ 1 см-3, Т ≈ 60 К, l ≈ 1016 см і t≈ 3000 років.

image50

Рис. 8.5. Розподіл атомів аргону за швидкостями при температурах 293 К і 10 000 К; по осі абсцис відкладено швидкості частинок газу, по осі ординат — кількість частинок, що мають певну швидкість при заданій температурі, нормовану на повну кількість частинок аргону

Формула Больцмана. У зоряних атмосферах упродовж багатьох мільйонів років підтримується певна динамічна рівновага між кількістю збуджених і незбуджених, іонізованих і нейтральних атомів. За кожну одиницю часу відбувається збудження на вищі рівні та іонізація певної кількості атомів і стільки ж за цей же час здійснюється рекомбінацій і переходів з вищих рівнів на нижчі. Відносна кількість атомів в одиниці об'єму, що перебувають в енергетичному стані n і m, визначається формулою Больцмана:

image51

У цій формулі gn і gm — статистична вага атома у відповідному енергетичному стані, εmn — різниця енергій для рівнів n і m.

У найпростішому випадку для атома водню ця формула має вигляд:

image52

де N — кількість атомів, що перебувають на основному, першому рівні.

Тут враховано, що статистична вага для атома водню визначається номером енергетичного рівня: gn = 2n2. Зокрема, при температурі Т = 5770 К, типовій для сонячної атмосфери, N2 ≈ 6·10-9Ν1, тобто відносна кількість збуджених атомів водню нехтовно мала; атоми водню практично цілковито перебувають в основному стані.

Формула Саха. Кількість атомів певного хімічного елемента, що перебувають у стані іонізації при заданій температурі Т і концентрації частинок газу N, визначають за формулою Саха. Ця формула пов'язує між собою концентрацію атомів, які знаходяться у сусідніх j-ій і (j + 1)-ій стадіях іонізації, і електронну концентрацію Neз температурою:

image53

У цій формулі m — маса електрона, k і h — сталі Больцмана і Планка відповідно, χj — потенціал іонізації атома, який перебуває у j-ій стадії іонізації (зауважимо, що для нейтрального атома приймають j = 0; для іона j = 1, 2, 3 і т. д.), U. і Uj+1 — так звані суми по станах для атомів у j-ій і (j + 1)-ій стадіях іонізації відповідно. Для розрахунку суми по станах використовують наступну формулу:

image54

де εn — потенціал збудження n-го енергетичного рівня атома у j-ій стадії іонізації, gn — статистична вага рівня, а сама сума береться по усіх енергетичних рівнях.

Для чисто водневої плазми, яка перебуває у стані термодинамічної рівноваги, формула Саха набуває вигляду:

image55

де х = Ne/N — ступінь іонізації водню; N = Nh + Nр— повна кількість частинок водню в одиниці об'єму; Nh — кількість неіонізованих атомів водню, а Nр — кількість іонів. Враховано також, що для водню кількість вільних електронів Ne дорівнює кількості іонізованих атомів — протонів.

Для сонячної атмосфери при Т = 5770 К і типовому значенні концентрації атомів N = 1016 см-3 одержимо Nр = 0,0004N. Отже, у цьому випадку водень практично неіонізований. Однак у вищих, більш розріджених шарах атмосфери, кількість іонізованих атомів значно зростає.

В астрофізиці прийнято позначати атоми римською цифрою: нейтральні — І, однократно іонізовані — II, двократно іонізовані — III і т. д. Наприклад, HI — це нейтральний водень, HII — іонізований водень, CIV — трикратно іонізований атом вуглецю (з атомної оболонки відірвано 3 електрони), FeXXIV — атом заліза, від якого відірвано 23 електрони.

Для атомів певного хімічного елемента найвища стадія іонізації визначається максимальною кількістю електронів в атомній оболонці. Наприклад, для атома водню — це стадія II, для гелію — III, літію — IV, і т. д.

Температура, що є у формулі (8.43), називається кінетичною температурою частинок Т = Тк, а якщо під частинками розуміють електрони, то електронною температурою Т. Температура в рівнянні Больцмана і Саха називається відповідно температурою збудження Тз і температурою іонізації Ті, а параметр Т у формулі Планка — температурою випромінювання Тв. У кожному зі згаданих тут рівнянь вона є параметром, який треба визначити зі спостережень.

Стан, при якому Тк = Тз = Ті = Тв, називано повною термодинамічною рівновагою. Якщо однакові лише перші три значення, то говоримо про локальну термодинамічну рівновагу.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.