Геометрія - Великий довідник школяра - 2019

Комбінації геометричних тіл
Описана піраміда

Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі — точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи.

У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди.

Точки дотику кулі й бічних граней лежать на висотах бічних граней, а точка дотику вписаної кулі й основи є центром кола, вписаного в основу.

Під час розв’язування задач на кулю, що вписана в піраміду, доцільно розглянути певні трикутники. На рисунку, наведеному нижче, такими трикутниками є ; ; .

O —  центр кола, яке вписане в основу;

P —  центр вписаної в піраміду кулі;

SO —  висота піраміди;

SD —  висота бічної грані.

— лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані CSB і площиною основи;

DP — бісектриса ;

;

N — точка дотику кулі й бічної грані;

O — точка дотику кулі й основи;

— радіус кулі;

OD — радіус кола, вписаного в основу, — rосн.

1. Розглянемо .

За властивістю бісектриси трикутника

   або , де l — довжина апофеми.

2. ;

або .

3. Розглянемо .