Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Функції та графіки
Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду , де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому .

Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння .

Теорема. Якщо і — корені квадратного тричлена , то

.

Приклади

1)  ,

    ,

    ; .

     або

    .

2)  Скоротити дріб.

  а)  ;

б)  ;

в)  

, ; .

Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду , де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому .

Графіки функцій і — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.

Будь-яку функцію можна представити у вигляді , де m і , n — деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції .

Приклад

  ;

  

  .

Отже, щоб дістати графік функції , треба зробити з графіком функції такі перетворення:

1)  відобразити симетрично осі Ox;

2)  зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;

3)  зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.

Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції :

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.

1.  Координати вершини параболи :

xв= ; yв= або yв= y(xв).

Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.

2.  Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими:

Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді , .

Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння .

Якщо це рівняння має два різних корені і , графік перетинає вісь Ox у точках , .

Якщо це рівняння має один корінь (тобто ), то цей корінь .

Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати .

Якщо це рівняння не має коренів , парабола не перетинає вісь Ox.

3.  Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.

Якщо , вітки параболи напрямлені вгору.

Якщо , вітки параболи напрямлені вниз.

4.  Парабола є симетричною відносно прямої .

На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.

1)  ; ;

; ;

; xв.

2)  ; ;

x1 = x2 = xв=

= ;

.

3)  ; ;

    xв> 0; .

4)  ; ;

;

, ;

    xв= .

5)  ; ;

;

x1= x2= xв= <0.

6)  ; ;

;

    xв= .

Приклад

Побудувати графік функції . — вітки параболи напрямлені вниз.

xв= ; xв= ;

yв= , yв= .

Вершина: (3; 1).

Точка перетину з віссю :

; (0; –8).

Точки перетину з віссю Ox:

  ; ;

  ; , .

  (2; 0); (4; 0).

На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.

1.  .

2.  ; — множина значень функції, тобто множина всіх значень y.

3.   при і при .

4.  Точки перетину графіка з осями коор­динат.

    (0; -8); (2; 0); (4; 0).

5.   при ; при .

6.  Функція зростає при , функція спадає при .

7.  Найбільше значення функції — , найменшого значення функції немає.

8.  Графік функції — парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі , вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої .

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду , де , b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають квадратною не­рівністю.

Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних ­функцій.

Для цього треба:

1)  знайти корені тричлена або з’ясувати, що їх немає;

2)  зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;

3)  знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

Приклади

1)  , , ,

, .

  

На ескізі графіка функції (див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких .

Відповідь: .

2)  ,

  ,

, .

Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).

Відповідь: (0; 0,9).

3)  ,

,

— коренів немає.  

Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).

Відповідь: .

4)  ,

, .

Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).

Відповідь: .

5)  .

  Відповідь: .

6)  .

  Відповідь: .

7)  .

  Відповідь: .

Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями».

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду , де , називається біквадратним.

Для його розв’язання вводять нову змінну:

, .

Приклади

1)  .

Нехай , .

. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:

,    .

,    ,

,    ,

, .    ; .

Відповідь: , , , .

2)  .

Нехай , .

    ,

    , не задовольняє умову .

    ,

    , .

Відповідь: , .

3)  .

Нехай , .

    ,

    ; .

t1 і t2 не задовольняють умову .

Відповідь: коренів немає.

Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види ­рівнянь.

Приклади

1.  .

Нехай , .

    ,

    , не задовольняє умову .

    ,

    ,

    ,

    .

Відповідь: , .

2.  .

Нехай .

Тоді ,

,

,

Відповідь: , .

а)  .

,

    ,

  Відповідь: , .

б)  .

    , ,

    ; .

Відповідь: , , , .





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити