Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Тригонометричні функції
Тригонометричні функції числового аргументу

Розглянемо одиничне (тригонометричне) коло, центр якого розташований у точці і радіус якого дорівнює 1 (див. рисунок).

Нехай точка P0 — це точка (1; 0). Кожну іншу точку кола можна дістати поворотом P0 навколо початку координат. Будемо вважати від’ємним напрямок повороту за годинниковою стрілкою, додатним — проти.

Точку, яку дістанемо поворотом P0 навколо початку координат на кут , назвемо . Очевидно, що значення можуть бути від до , причому кути, міри яких відрізняються на , , дають на колі одну й ту саму точку. Наприклад:

, .

Введемо означення:

; ;

; .

Значення , , , залежить тільки від кута .

Для ці означення дають той самий результат, що й означення за допомогою елементів прямокутного трикутника.

Якщо означення , , , уведені таким чином, то очевидно, що ми дістали числові функції. Дійсно, кожному значенню відповідає єдине значення і . Також кожному дійсному значенню , , відповідає єдине значення і кожному значенню ,, відповідає єдине значення .

Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці (див. рисунок нижче). Вона називається лінією тангенсів, тому що ордината точки перетину прямої із прямою t дорівнює тангенсу кута

.

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці (див. рисунок на с. 73). Для довільного числа ,, абсциса точки перетину прямої з прямою q дорівнює котангенсу кута . Тому пряма q називається лінією котангенсів.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  .

Основою для виведення решти формул є формули додавання:

;

;

;

;

;

.

Формули зведення

Формули зведення допомагають виразити значення тригонометричних функцій кутів вигляду , ,, через функції кута (табл. 1). Відповідні формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами:

1)  якщо аргумент функції має вигляд або , назва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд , , назва функції не змінюється;

2)  перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо — кут у І чверті.

Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

;

;

;

;

;

.

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму

;

;

.

Формули подвійного аргументу

;

;

;

;

.

Формули половинного аргументу

;  ;

;  .

Формули перетворення синуса і косинуса кута через тангенс половини цього кута

; ;

.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити