Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Тригонометричні функції
Поняття про обернену функцію

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має розв’язок, причому єдиний.

Оберненою до даної оборотної функції називається така функція , яка кожному із множини значень функції ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Якщо аргумент і функцію в записі позначити звичайним способом, отримаємо .

Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої .

Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою (або спадною).

Наведемо деякі приклади обернених функцій.

1.  На проміжку функція є оборотною. Оберненою до неї на цьому проміжку є функція .

На рисунку зображені функція і обернена до неї функція :

2.  y = arcsin x— функція, обернена до , якщо .

Отже, запис означає, що ; .

Зверніть увагу: у деяких випадках не можна назвати точного значення . Наприклад, , але для можемо знайти тільки наближене значення.

Властивості функції:

1)  область визначення ;

2)  область значень ;

3)  функція непарна, бо — симетрична відносно 0; .

  Отже, графік симетричний відносно початку координат;

4)  функція не є періодичною;

5)  ;

6)  функція зростаюча;

7)   при ,

при ;

8)  найбільше значення — , якщо , найменше — , якщо .

Графік функції зображений на рисунку:

Зверніть увагу на рівності:

;;

; .

Зверніть увагу:

3.  y = arccos x — функція, обернена до , якщо .

  Отже, запис означає, що ; .

Властивості функціїy = arccosx:

1)  ;

2)  ;

3)  функція не є ні парною, ні непарною;

4)  функція не є періодичною;

5)  , ;

6)  функція спадна;

7)  функція додатна на всій області визначення;

8)  найбільше значення — , якщо , найменше — 0, якщо .

Графік функції зображений на рисунку:

; ;

; .

.

4.   — функція, обернена до , якщо .

Запис b = arctg(a) означає: .

Властивості функціїy = arctgx:

1)  ;

2)  ;

3)  функція непарна. симетрична відносно 0, .

    Графік симетричний відносно початку координат;

4)  функція не є періодичною;

5)  ;

6)  функція зростаюча;

7)  , якщо ,

, якщо ;

8)  функція не набуває найбільшого і найменшого значень.

, якщо ;

, якщо ;

.

Графік функції зображений на рисунку:

5.   — функція, обернена до , якщо .

Запис означає, що ; .

Властивості функціїy = arcctgx:

1)  ;

2)  ;

3)  функція не є ні парною, ні непарною;

4)  функція не є періодичною;

5)  ,

при жодному значенні х;

6)  функція спадна;

7)  додатна на всій області визначень;

8)  функція не набуває найбільшого і найменшого значень.

Графік функції зображений на рисунку:

, ,

, ,

, .





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити