Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Тригонометричні функції
Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь

1.  Рівняння, що зводяться до квадратних

.

легко виразити через за допомогою основної тригонометричної тотожності :

.

Отже, ;

.

Нехай , .

;

;  .

1)  ; , k Є Z.

2)  ; , k Є Z.

Відповідь: , k Є Z;

, k Є Z.

2.  Спосіб розкладання на множники

;

;

;

Відповідь: n Є Z;

k Є Z.

Якщо під час розв’язування одержуємо сукупність кількох серій розв’язків, доцільно перевірити, чи не можна їх описати загальною формулою. Для цього рекомендується використовувати тригонометричне коло:

Наприклад, позначивши на колі дві серії:

бачимo, що відповідь можна записати у вигляді k Є Z.

3.  Однорідні рівняння

У загальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:

, де .

Значення x, при яких , не є розв’язком рівняння. Дійсно, якщо , рівняння набуде вигляду , звідки . Але і не можуть перетворитися на 0 одночасно.

Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на не може відбутися втрата коренів.

Отримуємо: .

Введемо нову змінну і дістанемо алгебраїчне рівняння: .

Зверніть увагу: якщо у лівій частині рівняння можна винести за дужки, то ділення на веде до втрати коренів.

Приклади

1)  ;

;

;

.

Нехай .

;

; .

а) ; , n Є Z;

б) ; , n Є Z.

Відповідь: , n Є Z;

, n Є Z.

2)  ;

;

;

Відповідь: , n Є Z, , n Є Z.

4.  Спосіб введення допоміжного аргументу

    Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь виду asinx ++ bcosx = c.

Поділимо обидві частини рівняння на . Дістанемо:

.

Очевидно: ,

.

Із цього випливає, що можна ввести до розгляду кут .

Тоді ; , і рівняння набуде вигляду:

або .

Можна прийняти:

, .

Тоді дістанемо .

Рівняння виду можна розв’язувати і в інший спосіб:

.

Використавши тотожність , дістанемо однорідне рівняння.

5.  Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів

Ці рівняння зводять до вигляду , а потім розв’язують систему

Приклад

Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.

Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду , n Є Z.

Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд , k Є Z (див. рисунок нижче).

Відповідь: , n Є Z.

6.  Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки

Приклад. Скільки розв’язків рівняння належать проміжку ?

;

;

;

;

;

Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків належить проміжку

I cпосіб. Розглянемо нерівності:

1)  ;  2)  ;

  ;    ;

  .    .

  n = 0; 1; 2; 3,    ,

  оскільки n Є Z.оскільки n Є Z.

Таким чином, проміжку належать п’ять розв’язків рівняння.

ІІ спосіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити