Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Степенева функція
Узагальнення поняття степеня

Основнi означення

1.  Якщо n Є N, , то , де a — довільне число.

2.  , де а — довільне число.

3.   для . не має змісту.

4.  , n Є N, .

5.  , n Є N, m Є Z, .

Властивості степеня з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  Якщо , то для ; для .

7.  Якщо , то для ; для .

Поняття степеня з ірраціональним показником

Нехай a — будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1, — будь-яке ірраціональне число.

Розглянемо три випадки.

1.  , .

Наприклад, ; . Степінь означає таке число, яке більше від усякого степеня , але менше від усякого степеня , де — будь-яке раціональне наближення числа , взяте з недостачею, а — будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.

2.  , .

Наприклад, . Тоді під степенем розуміють число, яке менше від будь-якого степеня , але більше від будь-якого степеня .

3.  a — довільне число, крім 1, .

Наприклад, , . Тоді вважають .

Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.

Степенева функція

Функцію , де x — змінна, а p — стале дійсне число, називають степеневою функцією.

Властивості степеневої функції залежать від значення p.

1.  p Є N. Тоді ; ;

Якщо p — непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p — парне, для всіх значень x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо, функція зростає.

2.  p Є Z; . Тоді .

Графік складається з двох віток; .

Якщо p — непарне, то для всіх значень знак функції збігається зі знаком аргументу.

Функція непарна, спадна на кожному з проміжків і .

Якщо p — парне, для всіх x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо , функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:

Показникова функція

Функція , де і , називається показниковою (з основою а).

Властивості показникової функції

:

1.  .    1. .

2.  .    2. .

3.  Функція не є ні парною, ні непарною.

4.  Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь у точці (0; 1), вісь є для нього асимптотою.

5.  Функція зростає   5. Функція спа на R.     дає на R.

6.  Якщо , то .

7.  Якщо , то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому (Тобто рівняння завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо , , .)

На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції при ; на рисунку 1 — при .

Рис. 1

Рис. 2





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити