Математика - Алгебра

Степенева функція

Показникові рівняння

Показниковими рівняннями називають такі рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах.
Розв’язування показникових рівнянь
1. Розв’язування зведенням до спільної основи
,
,
,
,
, x = ±2.
Відповідь: x1 = 2; x2 = -2.
2. Показникові рівняння, що мають показники з однаковою буквеною частиною
Очевидно, що , де C — const, .
1) .
Винесемо за дужки спільний множник лівої частини :
,
,
,
,
.
Відповідь: 1.
2) .
Зведемо всі степені до спільної основи 2.
,
,
,
,
,
,
,
.
Відповідь: 1,75.
3. Показникові рівняння, що зводяться до квадратних
,
.
Нехай , .
;
. .
; ;
. .
Відповідь: ; .
4. Однорідні показникові рівняння
.
Зверніть увагу, що , , . Отже, .
Усі члени лівої частини цього рівняння мають степінь 2х, тобто рівняння однорідне. Поділимо обидві частини його на :
.
Нехай , .
;
; не задовольняє умову .
; .
Відповідь: 0.
5. Рівняння, які одночасно містять і .
.
Помножимо обидві частини рівняння на :
.
Нехай , .
;
. .
; ;
. .
Відповідь: 2; 0.
6. Показникові рівняння, які містять обернені вирази
Зверніть увагу: в рівняннях можна зустріти вирази, добуток яких дорівнює 1, наприклад: і ; і і т. д.
.
Нехай , .
,
, отже, на y можна помножити обидві частини рівняння.
,
,
, .
1) , .
2) ,
,
; .
Відповідь: 2; -2.
7. Для розв’язування деяких рівнянь зручно використовувати монотонність показникової функції
1) .
Очевидно, що є коренем рівняння. Функція є зростаючою, а функція — спадна. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.
Відповідь: 1.
2) ; .
Функція є сумою двох зростаючих функцій, тобто є зростаючою на R. Права частина рівняння 1 — стала величина. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.
є коренем рівняння.
Відповідь: 2.
Розв’язування показниковостепеневих рівнянь
Показниково-степенева функція має вигляд . Її область визначення знаходимо, розглядаючи три випадки:
1) ; — будь-яке число;
2) ; — ціле число;
3) ; — ціле додатне число.
Приклад
Розв’язати рівняння:
а) .
Розглянемо випадки:
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; , .
Перевіркою переконуємося, що всі знайдені корені задовольняють рівняння.
Відповідь: –4; –6; –5; 2; –1.
б) .
1) , .
2) , .
3) ; , .
Перевірка
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; не має змісту.
Відповідь: –7; –9; –1.
Розв’язування показникових нерівностей
В основі розв’язування показникових нерівностей лежить монотонність показникової функції, яка залежить від значення основи. Способи розв’язування аналогічні способам розв’язування показникових рівнянь, але часто приводять до системи нерівностей, бо треба врахувати умову
Приклади
1) .
Нехай , .
; .
Дістанемо систему нерівностей:

; .
Показникова функція з основою є зростаючою на R.
Отже, .
Відповідь: .
2) ;
.
Показникова функція з основою є спадною на R, тому дістанемо:
, ,
.
Відповідь: .





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.