Логарифмічні нерівності

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, спираються на такі твердження.
1. Якщо , то нерівність рівносильна подвійній нерівності .
Це твердження можна записати у вигляді:

або
2. Якщо , то нерівність рівносильна подвійній нерівності .
Це твердження можна записати у вигляді:

або
Зверніть увагу: при розв’язуванні логарифмічної нерівності немає сенсу окремо виписувати ОДЗ, оскільки все одно буде необхідно розв’язувати систему нерівностей, яка включає й ОДЗ.
Приклади
1) .
Логарифмічна функція з основою спадна, отже, дана нерівність рівносильна системі


Відповідь: (або у вигляді .
2) .
Нехай .
, , .


Відповідь: або
3) .
Розглянемо два випадки.
.
.
Об’єднуючи ці проміжки, одержимо відповідь.
Відповідь: .
4) .
; основою логарифма може бути тільки додатне число, яке не дорівнює 1. Виходячи з цього, отримуємо, що дана нерівність рівносильна системі:

Якщо , то ; .
Якщо , то ; .
Відповідь: .