Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Елементи комбінаторики

Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення.

Позначення: (елемент належить множині A); (елемент не належить множині A); — порожня множина, яка не містить жодного елемента.

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Якщо множина B складається з деяких елементів множини A (і тільки з них), то множина B називається підмножиною множиниA.

Позначення: .

Перерізом множинA і B називається множина C, яка складається з усіх тих, і тільки тих елементів, які належать кожній із даних множин.

Позначення: .

Об’єднанням (або сумою) двох множин A і B називається така множина C, яка складається з усіх елементів множин A і B, і тільки з них.

Позначення: .

Різницею двох множин A і B називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини A, які не належать множині B.

Позначення: .

На рисунку зображено переріз, об’єднання та різницю двох множин за допомогою діаграм Ейлера — Вена:

У випадку, коли , різниця називається доповненням множини B щодо множиниA.

Скінченні множини, для яких установлений порядок елементів, називають упорядкованими.

Указати порядок розташування елементів у скінченній множині з n елементів означає поставити у відповідність кожному елементу множини певне натуральне число від 1 до n.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Число перестановок з n елементів позначається . . — це добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно.

Розміщенням з m елементів поn називається будь-яка впорядкована множина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де .

Позначення: .

;

.

Комбінацією з m елементів поn називається будь-яка підмножина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де .

Позначення: .

; .

Властивості числа комбінацій:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

Біном (двочлен) — вираз вигляду .

Формулабінома Ньютона:

.

Права частина цієї формули називається розкладом бінома.

Властивості розкладу бінома Ньютона:

1.  Кількість членів розкладу бінома на одиницю більша, ніж показник степеня бінома.

2.  Усі члени розкладу мають один і той самий степінь n як суму показників степенів x і a.

Кожний рядок цього трикутника — набір біноміальних коефіцієнтів для розкладу відповідного степеня.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити