Математика - Алгебра

Початки теорії імовірностей

Основні поняття теорії імовірностей

Подія — це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається.
Подія відбувається внаслідок випробування. Події позначають великими буквами латинського алфавіту .
Випадковою подією називається подія, яка може відбутися чи не відбутися під час здійснення певного випробування. Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов і які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.
Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Множина подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна із цих подій напевно відбудеться.
Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.
Вірогідною називається подія, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а неможливою — подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.
Імовірність — числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.
Імовірністю випадкової події називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, і кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.
Позначення: , де n — загальна кількість рівноможливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m — число елементарних подій, які сприяють події A.
Сумою подійA і B називається подія C, яка полягає у здійсненні під час одиночного випробування або події A, або події B, або обох разом.
Позначення: , або .
Теорема 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто .
Наслідки
1. Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1.
2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тобто .
Дві події називаються протилежними, якщо одна, і тільки одна, з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.
Добутком двох подійA і B називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події A, і події B.
Позначення: , або .
Подія А називається незалежною відподії B, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія B.
Теорема 2. Імовірність добутку двох незалежних подій A і B дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто .
Теорема 3. Якщо події , , ... , — взаємно незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через імовірність цих подій за формулою
.
Наслідок.
Якщо , то .
Взаємно незалежними називаються такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.
Формула Бернуллі
Якщо виконується n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A відбувається з імовірністю p, то ймовірність того, що подія A настане m разів, визначається за формулою
;
.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.