Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Початки теорії імовірностей
Основні поняття теорії імовірностей

Подія — це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається.

Подія відбувається внаслідок випробування. Події позначають великими буквами латинського алфавіту .

Випадковою подією називається подія, яка може відбутися чи не відбутися під час здійснення певного випробування. Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов і які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Множина подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна із цих подій напевно відбудеться.

Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Вірогідною називається подія, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а неможливою — подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Імовірність — числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

Імовірністю випадкової події називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, і кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

Позначення: , де n — загальна кількість рівноможливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m — число елементарних подій, які сприяють події A.

Сумою подійA і B називається подія C, яка полягає у здійсненні під час одиночного випробування або події A, або події B, або обох разом.

Позначення: , або .

Теорема 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто .

Наслідки

1.  Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1.

2.  Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тобто .

Дві події називаються протилежними, якщо одна, і тільки одна, з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

Добутком двох подійA і B називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події A, і події B.

Позначення: , або .

Подія А називається незалежною відподії B, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія B.

Теорема 2. Імовірність добутку двох незалежних подій A і B дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто .

Теорема 3. Якщо події , , ... , — взаємно незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через імовірність цих подій за формулою

.

Наслідок.

Якщо , то .

Взаємно незалежними називаються такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.

Формула Бернуллі

Якщо виконується n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A відбувається з імовірністю p, то ймовірність того, що подія A настане m разів, визначається за формулою

;

.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити