Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 1. Прямокутна система координат у просторі

Завдання 1

1.

Запишемо координати точок А, В, С, М.

1) А(0; 1; 0), В(0; 0; 2), С(3; 0; 0);

2) М(2; 2; 0);

3) А(3; 0; 2), В(0; 3; 3);

4) М(0; 3; 4).

2.

1) 3 даних точок належать координатним, осям точки Р та Н.

Точка Р(0; 0; -1) належить координатній осі Оz.

Точка Н(2; 0; 0) належить координатній осі Ох.

2) 3 даних точок належать координатним осям точки В, С, О.

Точка В(0; -4; 0) належить координатній осі Оу.

Точка С(0; 2; 0).належить координатній осі Оу.

Точка 0(0; 0; 0) — початок координат, вона належить осям Ох, Оу, Оz.

3.

1) 3 даних точок належать координатним площинам точки К, Р.

Точка К(0; 1; 1) належить координатній площині уОz.

Точка Р(2; 0; -1) належить координатній площині хОz.

2) 3 даних точок належать координатним площинам точка С.

Вона належить площині хОу,

4.

Розглянемо квадрат ОАВС, його діагональ .

Розглянемо трикутник ОАВ — прямокутний, рівнобедрений

Тоді

а) O(0; 0; 0), А(0; 0; 1), В(0; 1; 1), С(0; 1; 0);

б) O(0; 0; 0), А(0; 0; -1), В(0; 1; -1), С(0; 1; 0);

в) O(0; 0; 0), А(0; 0; І), В( 1; 0; 1), С(1; 0; 0);

г) O(0; 0; 0), А(0; 0; -1), В(1; 0; -1), С(1; 0; 0).

5.

1)

Запишемо координати основа ортогональної проекції М1 на площину хОу:

М1(0; 3; 0).

Запишемо координати основи ортогональної проекції М2 на площину хОz:

М2(0; 0; 4).

2)

Запишемо координати основ ортогональних проекцій М на координатні площини.

На площину хОz: М2(2; 3; 0). На площину хОz: М3(2; 0; 4).

Hа площину уОz; М1(0; 3; 4).

3)

Запишемо координати основ ортогональних проекцій М на координатні площини. На площину хОу: М1(-1; 1; 0). На площину хОz; М3(-1; 0; 3).

Hа площину уОz: М2(0; 1; 3).

6.

1) Знайдемо відстань від точки А до початку координат О і до координатних площин .

Точка А(1; 1; 0) належить площині хОу.

Відстань до площини хОу дорівнює 0, відстань від точки А до площини хОz дорівнює X, відстань від точки А до площини уОz дорівнює 1.

Знайдемо відстань від точки В(3; 0; 0) до початку координат О(0; 0; 0) і до координатних площин.

Точка В(3; 0; 0) лежить на осі Ох на відстані 3 від початку координат 0(0; 0; 0). Вона належить площинам хОу та xOz. Відстань від точки В до цих площин дорівнює 0.

Точка В(3; 0; 0) знаходиться на відстані 3 до площини уОz.

2) Знайдемо відстань від точки С(0; -1; 0) до початку координат та до координатних площин.

Точка С належить осі Оу та знаходиться на відстані 1 від початку координат. Точка С належить площинам хОу та zОу. Відстань від С до цих площин дорівнює 0. Відстань від С до площини хОz дорівнює 1.

3) Знайдемо відстань від точки Т(-5; 2; 3) до початку координат О(0; 0; 0) та до координатних площин.

Координати основ ортогональних проекцій на координатні площини: Т1(-5: 2; 0) — на площину хОу, Т2(-5: 0; 3) — на площину хОz Т3(0; 2; 3) — на площину уОz.

Відстань від точки Т до площини хОу:

Відстань від точки Т до площини хОz:

Відстань від точки Т до площини уОz:

Відстань від точки Т до початку координат:

7.

Знайдемо довжину відрізка з кінцями в заданих точках:

1) М(2; 1; 0), N(3; 0; .1).

Довжину обчислимо за формулою

2) К(0; 1; 0), Т(-4: 1; 3).

Довжину обчислимо за формулою

8.

Визначимо координати середини відрізка:

1) А(7; 2; 0), В(3; 0; 0). Координати середини відрізка С:

С(5; 1; 0).

2) С(0; -1; 0), Т(-4; -1; 2). Координати середини відрізка D:

В(-2; -1; 1).

9.

1) Координати початку координат О (0; 0; 0).

Довжина відрізку ОР: За умовами │ОР│ = 4.

Тому координати точки Р задовольняють умовам: х2 + у2 + z2= 42.

2) Проекція точки Р(х; у; z) на ось Ох: Р1(х; 0; 0). РР, — відстань від точки

Р до осі Ох. За умовами │PP1│= 2.

Тому координати точки Р задовольняють умовам:

3) Проекція точки Р(х; у; z) на площину yOz: P1(0; у; z).

РР1 — відстань від точки Р до площини yOz. За умовами │РР1│ = 3.

Координати точки Р задовольняють умовам │х│ = 3.

4) Проекція точки Р(х; у; z) на ось Оу: P1(0; у; 0). Проекція точки Р(х; у; z) на площину xΟz: Р2(х; 0; z). РР1 — відстань від точки Р до осі Оу.

РР — відстань від точки Р до площини xΟz:

За умовами │РР2│ = 1, │PP1│ = 1. Таким чином, │у│ = 1, │у│ = 1, x2 + z2 = 1.

10.

1) Розглянемо точку А(х; у; z). Оскільки вона віддалена від початку координат на 3, то виконується умова: |ОА│ = 3. Таким чином

Оскільки вона віддалена від осі Ох на 1, то відстань від точки А до її проекції на ось Ох дорівнює 1. Координати проекції на ось Ох А1(х; 0; 0).

Тобто у2 + z2= 1, а значить, х2 + 1 = 9; х2 = 8;

Оскільки повинна виконуватись умова у2 + z2 = 1, то можна взяти у = -1, z = 0.

А значить, наприклад, координати точки

2) Розглянемо точку А(х; у; z). Відстань від точки А до площини хОу — це │z│.

За умовами │z│ = 1. Відстань від точки А до початку координат

За умовами х2 + у2 + z2 = 9. │z│ = 1. Значить, z2 = 1 і х2 + у2 + 1 = 9; х2 + у2 = 8.

Візьмемо, наприклад, х = 2, тоді 4 + у2 = 8; у2 = 4; у = ±2.

А значить, умовам буде задовольняти, наприклад, точка (2; -2; 1).

3) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х; 0; 0) — проекція точки А на ось Ох,

точка А2(0; у: z) — проекція точки А на площину yOz.

Відстань від точки А до початку координат дорівнює 3, а значить, х2 + у2 + z2 = З2. Відстань від точки А до осі Ох дорівнює 1, а значить, у2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до площини yOz дорівнює 1, а значить, х2 = 1.

Оскільки х2 = 1; у2 + z2 = 1, то х2 + у2 + z2= 2, але за умовами х2 + у2 + г2 = 9,

значить, не існує точки, яка б задовольняла вказаним умовам.

4) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х: 0; 0) — проекція на ось Ох точки А,

точка А2(0; у; 0) — проекція на ось Оу точки А. Відстань до осі Ох:

За умовами у2 + z2 = 1. Відстань до осі Оу: За умовами х2 + z2=1.

Відстань до початку координат: За умовами х2 + у2 + z2= 9.

Розв’яжемо систему:

z2 = -7 — рівняння розв’язків не має, а значить, не існує точки з координатами,

які задовольняють вказаним умовам.

5) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х; у·, 0) — проекція А на площину хОу,

точка А,(0; у; z) — проекція А на площину yOz.

Відстань від точки А до площини хОу а за умовами z2=1.

Відстань від точки А до п лощини yOz а за умовами x2 = 142.

Відстань від точки А до початку координат

За умовами х2 + у2 + z2= 9.

Розглянемо систему

тобто 142 + у2 + 1 = 9; у2 = 9 - 1 - 142 < 0.

Це рівняння розв’язкiв не має, а значить, не існує точки з координатами,

які задовольняють вказаним умовам.

6) Розглянемо точку А(х; у; z).

Відстань від точки А до осі Ох: у2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до осі Оy: х2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до осі Oz: х2 + у2 = 4.

Складемо вищевказані співвідношення: (y2 + z2) + (х2 + а2) + (х2 + у2) = 1 + 1 + 4;

2 + 2у2 + 2z2 = 6; х2 + у2 + z2= З.

З іншого боку відстань від точки А до початку координат дорівнює 3, отже,

х2 + у2 + z2= 9.

Ці два співвідношення х2 + у2 + z2= 3 та х2 + у2 + z2 = 9 суперечать одне одному,

а значить, немає точки з координатами, що задовольняють вказаним умовам.

7) Розглянемо точку А(х; у; z).

Відстань від точки А до площини хОу: │z│= 1, z2= 1.

Відстань від точки А до площини хОz: │y│= 1, у2 = 1.

Відстань від точки А до площини yOz: │х│= 1, х2 = 1.

Відстань від точки А до початку координат: x2 + у2 + z2 = 9,

але х = 1, у2 = 1, z2 = 1, значить, отримуємо 3 = 9. Розв’язків немає, значить,

не існує точки з координатами, що задовольняють вказаним умовам,

11.

Точки на координатних площинах, відстань від яких до точки М(-1; 2; -3)

буде найменшою, — це oснови ортогональних проекцій точки М

на координатні площини. Координати ортогональної проекції на хОу: (-1; 2; 0).

Координати ортогональної проекції на xOz: (-1; 0; -3).

Координати ортогональної проекції на yOz: (0; 2; -3).

12.

Точки на координатних осях, відстань від яких до точки буде

найменшою, — це проекції точки на координатні осі.

Координати проекції точки Р на ось Ох: (3; 0; 0). Координати проекції

точки Р на ось Оу: (0; -4; 0).

Координати проекції точки Р на ось Oz:

13.

1)

Запишемо координати вершин D, B1, С1 D1: D(3; 3; 0), В1(3; 0; 3),

C1(0; 3; 3), D1(3; 3; 3). Всі діагоналі куба рівні.

Запишемо довжину діагоналі A1D:

2)

Запишемо координати вершин D, A1, С1, D1: D(2; 2; 0), A1(2; 0; 2), C1(0; 2; 2),

D1(2; 2; 2). Всі діагоналі куба рівні.

Запишемо довжину діагоналі B1D:

14.

Нехай ребро куба дорівнює а, тоді координати точки А1(a; а; -а) (а > 0).

Відстань від початку координат

За умовами

Запишемо координати вершин куба:

О (0; 0; 0);

15.

Знайдемо координати інших вершин куба.

Перший випадок: А1(1; 1; 0), В1(2; 1; 0), О1(2; 2; 0), D1(1; 2; 0).

Другий випадок: А2(1; 1; 2), В2(2; 1; 2), С2(2; 2; 2), D2(1; 2; 2).

16.

1)

Запишемо координати вершин D, В1, С1, В1. D(2; 3; 0), В1(2; 0; 5),

C1(0; 3; 5), B1(2; 3; 5). Діагоналі паралелепіпеда рівні.

Знайдемо довжину діагоналі A1,D:

2)

Запишемо координати вершин В, А1, С1, В1. В(4; 6; 0), A1(4; 0; 2), С1(0; 6; 2),

B1(4; 6; 2). Діагоналі паралелепіпеда рівні.

Знайдемо довжину діагоналі АС1:

17.

1) Знайдемо координати середини відрізка точки С. С(2; 1; 0).

2) Знайдемо координати точки В(хв; ув; zв). Виконуються умови

хв = -8; yв = 4, zв = -19. Координати точки В(-8; 4; -19).

3) Знайдемо координати точки А(ха; уа; zа). Виконуються умови:

xа = -24; уа = 8; zа = 28. Координати точки А(-24; 8; 28).

18.

1) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати Р(р; 0; 0). Виконуються умови: n = -5.

2) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати С(р; 0;0). Виконуються умови: m = -0,5, n = 2.

3) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати С(р; 0;0). Виконуються умови:

Розв’яжемо систему:

4) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох,

то її координати С(р; 0;0). Виконуються умови:

Розв’яжемо систему:

19.

1)

Запишемо координати точок С11: С1 (0; 4; 2); А1 (2; 0; 2).

Знайдемо координати точки К:

Координати точки К(1; 2; 2).

2)

Координати точки С1с; ус; zс).

Точка К — середина A1C1, виконується умова: yс = 4·

Оскільки ABCDA1B1C1D1 — призма, координати точки C1(0; 4; 6),

координати точки D1 (3; 4; 6).

Знайдемо абсцису і аплікату точки К.

20.

1) Знайдемо координати точки С:

Проекції точок В і С на площину хОу мають координати: В1(1; -1; 0),

C1(1,6; -0,4; 0); на площину xOz координати: В2(1; 0; -3), С2(1,6; 0; 0,6);

на площину уОz координати: B3(0; -1; -3), С3(0; -0,4; 0,6).

Знайдемо довжини відрізків В1С1, B2C2, В3С3.

2) Знайдемо координати точки. С:

Проекції точки С на площини: на хОу В1(1;-1; 0),

на xOz: В2(1; 0; -3), на уОz: В3(0; -1; -3),

Знайдемо довжини відрізків B1C1, В2С2, В3С3.

3). Знайдемо координати точки С:

Проекції точок В і С на площину хОу: В1 (1; -1; 0),

на площину xОz: В2(1; 0; -3), на площину уОz:

В3(0; -1; -3),

Знайдемо довжини відрізків В1С1, В2С2, В3С3

21.

Знайдемо відстані MB та МС.

За умовами MB = МС, розв’яжемо рівняння

а2 - 4а + 5 = а2 - 2а + 2; 2а = 3; а = 1,5.

22.

1) Знайдемо координати точки К(хк; ук; zк),

рівновіддаленої від точок

Розв’яжемо систему:

Маємо множину точок (хк; 0,75 - 0,5хк; 0,5), хк ϵ R.

2) Оскільки точки належать площині А1В1С1,

то апліката цих точок дорівнює 1. Оскільки точки віддалені від площини

хОz на 1 од.в., то ордината цих точок дорівнює 1.

Абсциса цих точок може бути будь-якою. Маємо множину точок (x; 1; 1),

де x ϵ R.

3) Знайдемо координати точки Т:

Координати точки B1(0; 2; 1).

Знайдемо координати точки М, що поділяє відрізок ТВ1 у відношенні 3 : 1.

Маємо точку М(-0,1875; 1,625; 0,75).

23.

Знайдемо координати точок Р1 та Н1. Р1(4; 4; 6), H1(0; 4; 6).

Знайдемо координати точки Е. Е(2; 4; 6).

24.

Знайдемо довжини відрізків АВ, АС та ВС.

Перевіримо, що АВ + АС > ВС, АВ + ВС > АС, ВС + АС > АВ.

— вірне твердження; — вірне твердження;

піднесемо в квадрат:

— вірне твердження.

Значить існує трикутник ABC з такими координатами вершин.

25.

1) Обчислимо довжини сторін:

Трикутник ABC — рівносторонній.

2) Обчислимо довжини сторін:

Оскільки АВ2 = АС2 + ВС2, то трикутник ABC — прямокутний.

3) Обчислимо довжини сторін:

Трикутник ABC — рівносторонній.

26.

Розглянемо трикутник АОС — прямокутний рівнобедрений,

а значить, ∠OAC = OCA = 45°. ОК — медіана, бісектриса і

висота трикутника AOC OK = AO sin ∠OAK

Розглянемо трикутник ВОК — прямокутний.

— кут між площинами (ABC) і хОу.

27.

Точка О (0; 0; 0) рівновіддалена від точок А, В, С. Вона проектується в т. М — центр правильного трикутника ABC.

Розглянемо трикутник ABC. М — центр описаного кола.

Розглянемо трикутник ВОС — прямокутний, рівнобедрений.

Тоді

Розглянемо трикутник ОМВ — прямокутний. OMB = 90°. ОМ2 = OB2- ВМ2;

28.

1) Розглянемо трикутник АОВ—прямокутний, рівнобедрений. ∠BAO = 45°

Трикутник А1ОВ — прямокутний, ∠B1AO = 45°. Значить, прямі AB і A1B1 паралельні.

Трикутник АОС — прямокутний рівнобедрений. ∠CAO = 45°

Трикутник A1OC1 — прямокутний рівнобедрений. ∠C1AO = 45°.

Значить, прямі АВ і А1С1 паралельні. АВ і АС перетинаються, А1В1 і А1С1 перетинаються. АВ || А1В1; АС || Α1C1, а значить, площини (ABC) і (А1B1С1) паралельні.

2) Враховуючи, що точка (0; 0; 0) рівновіддалена від точок А, В, С, а також від точок А1, В1, C1. Отже, ортогональні проекції точки О на площини (ABC) і (А1B1С1) збігаються з центрами К і К1 правильних трикутник ABC і А1В1С1. Шукана відстань дорівнює відстані між центрами цих трикутників (бо відповідні перпендикуляри до вказаних площин належать одній прямій). Координати точок К і К1 знайдемо як координати точок, що ділять медіани АР і А1Р1 трикутників ABC і А1В1С1 у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершин А і А1.

Знайдемо координати точок Р і Р 1, які є серединами відрізків ВС і В1С1.

Маємо координати точок Р(0; 0,5; 0,5), Р 1 (0; 1; 1).

Знайдемо координати точок К і К 1.

Маємо координати точок

Знайдемо КК 1

30.

1) Знайдемо довжини відрізків АВ, ВС, АС, АS, BS, CS.

Оскільки AB = АС = ВС та AS = BS = CS, то піраміда SABC — правильна.

2) Знайдемо координати середини ребра АС — точки М.

Точка М має координати

31.

Трикутник ABC — правильний ∠OBC = 60°

Розглянемо АВОС — прямокутний∠BOC = 90°

OC = OB × tg ∠OBC;

Координати точки

В силу симетрії також вершиною тетраедра може бути точка

Знайдемо координати точки S(x; у; z — четвертої вершини

тетраедра SABC. Знайдемо з умов, що AS = BS = CS.

Знайдемо довжини відрізків AS, BS, CS.

Оскільки тетраедр правильний AS = BS = CS = AB = 2.

Розв’яжемо систему :

В силу симетричності маємо чотири випадки:

1)

2)

3)

4)

32.

Введемо прямокутну систему координат так, щоб катети трикутника КМР

належали осям Ох і Оу.

Координати точок К(а; 0; 0), М(0; 0; 0), Р(0; b; 0), T(0; b; m).

Точка R — середина відрізка КМ. Координати точки

Знайдемо довжину відрізку RT.

33.

Введемо прямокутну систему координат так, щоб ребра куба належали осям

Ох, Оу, Оz.

Тоді координати його вершин, оскільки ребро куба дорівнює 1: А( 1; 0; 0),

В(0; 0; 0), С(0; 1; 0), D(1; 1; 0), A1(1; 0; 1), В1 (0; 0; 1), C1(0; 1; 1), D1(1; 1; 1).

1) Знайдемо відстань між серединами ребер АВ і C1B1.

Координати точок М і N: М(0,5; 0; 0), N(0; 0,5; 1)

Довжина відрізку ΜΝ·.

2) Знайдемо відстань між серединами ребра АВ і діагоналі DB1.

Знайдемо координати точки Р — середини діагоналі BD1:

Точка Р має координати (0,5; 0,5; 0,5). Точка М(0,5; 0; 0). Довжина відрізку МР:

3) Знайдемо відстань між серединою ребра ВС точкою R і точкою Т,

що поділяє ребро A1D1 у відношенні 2 : З. Координати точки R(0; 0,5; 0).

Знайдемо координати

точки Т:

Знайдемо довжину відрізку RT:

4) Знайдемо відстань між точками Р і Н, для цього визначимо їх координати.

Довжина відрізку РН:

34.

1) Знайдемо довжини відрізків SA, SB, SC.

Усі бічні ребра піраміди рівні і всі бічні ребра піраміди утворюють

однакові кути з площиною основи.

2) Знайдемо довжини відрізків AB, АС і ВС.

Оскільки ВС2 = АС2 + АВ2, то трикутник ABC — прямокутний

(за оберненою теоремою Піфагора).

Основа висоти піраміди (точка D) — середина відрізку ВС,

знайдемо її координати. D(2; 2; 3).

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 1. Прямокутна система координат у просторі

Завдання 1

1.

Запишемо координати точок А, В, С, М.

1) А(0; 1; 0), В(0; 0; 2), С(3; 0; 0);

2) М(2; 2; 0);

3) А(3; 0; 2), В(0; 3; 3);

4) М(0; 3; 4).

2.

1) 3 даних точок належать координатним, осям точки Р та Н.

Точка Р(0; 0; -1) належить координатній осі Оz.

Точка Н(2; 0; 0) належить координатній осі Ох.

2) 3 даних точок належать координатним осям точки В, С, О.

Точка В(0; -4; 0) належить координатній осі Оу.

Точка С(0; 2; 0).належить координатній осі Оу.

Точка 0(0; 0; 0) — початок координат, вона належить осям Ох, Оу, Оz.

3.

1) 3 даних точок належать координатним площинам точки К, Р.

Точка К(0; 1; 1) належить координатній площині уОz.

Точка Р(2; 0; -1) належить координатній площині хОz.

2) 3 даних точок належать координатним площинам точка С.

Вона належить площині хОу,

4.

Розглянемо квадрат ОАВС, його діагональ .

Розглянемо трикутник ОАВ — прямокутний, рівнобедрений

Тоді

а) O(0; 0; 0), А(0; 0; 1), В(0; 1; 1), С(0; 1; 0);

б) O(0; 0; 0), А(0; 0; -1), В(0; 1; -1), С(0; 1; 0);

в) O(0; 0; 0), А(0; 0; І), В( 1; 0; 1), С(1; 0; 0);

г) O(0; 0; 0), А(0; 0; -1), В(1; 0; -1), С(1; 0; 0).

5.

1)

Запишемо координати основа ортогональної проекції М1 на площину хОу:

М1(0; 3; 0).

Запишемо координати основи ортогональної проекції М2 на площину хОz:

М2(0; 0; 4).

2)

Запишемо координати основ ортогональних проекцій М на координатні площини.

На площину хОz: М2(2; 3; 0). На площину хОz: М3(2; 0; 4).

Hа площину уОz; М1(0; 3; 4).

3)

Запишемо координати основ ортогональних проекцій М на координатні площини. На площину хОу: М1(-1; 1; 0). На площину хОz; М3(-1; 0; 3).

Hа площину уОz: М2(0; 1; 3).

6.

1) Знайдемо відстань від точки А до початку координат О і до координатних площин .

Точка А(1; 1; 0) належить площині хОу.

Відстань до площини хОу дорівнює 0, відстань від точки А до площини хОz дорівнює X, відстань від точки А до площини уОz дорівнює 1.

Знайдемо відстань від точки В(3; 0; 0) до початку координат О(0; 0; 0) і до координатних площин.

Точка В(3; 0; 0) лежить на осі Ох на відстані 3 від початку координат 0(0; 0; 0). Вона належить площинам хОу та xOz. Відстань від точки В до цих площин дорівнює 0.

Точка В(3; 0; 0) знаходиться на відстані 3 до площини уОz.

2) Знайдемо відстань від точки С(0; -1; 0) до початку координат та до координатних площин.

Точка С належить осі Оу та знаходиться на відстані 1 від початку координат. Точка С належить площинам хОу та zОу. Відстань від С до цих площин дорівнює 0. Відстань від С до площини хОz дорівнює 1.

3) Знайдемо відстань від точки Т(-5; 2; 3) до початку координат О(0; 0; 0) та до координатних площин.

Координати основ ортогональних проекцій на координатні площини: Т1(-5: 2; 0) — на площину хОу, Т2(-5: 0; 3) — на площину хОz Т3(0; 2; 3) — на площину уОz.

Відстань від точки Т до площини хОу:

Відстань від точки Т до площини хОz:

Відстань від точки Т до площини уОz:

Відстань від точки Т до початку координат:

7.

Знайдемо довжину відрізка з кінцями в заданих точках:

1) М(2; 1; 0), N(3; 0; .1).

Довжину обчислимо за формулою

2) К(0; 1; 0), Т(-4: 1; 3).

Довжину обчислимо за формулою

8.

Визначимо координати середини відрізка:

1) А(7; 2; 0), В(3; 0; 0). Координати середини відрізка С:

С(5; 1; 0).

2) С(0; -1; 0), Т(-4; -1; 2). Координати середини відрізка D:

В(-2; -1; 1).

9.

1) Координати початку координат О (0; 0; 0).

Довжина відрізку ОР: За умовами │ОР│ = 4.

Тому координати точки Р задовольняють умовам: х2 + у2 + z2= 42.

2) Проекція точки Р(х; у; z) на ось Ох: Р1(х; 0; 0). РР, — відстань від точки

Р до осі Ох. За умовами │PP1│= 2.

Тому координати точки Р задовольняють умовам:

3) Проекція точки Р(х; у; z) на площину yOz: P1(0; у; z).

РР1 — відстань від точки Р до площини yOz. За умовами │РР1│ = 3.

Координати точки Р задовольняють умовам │х│ = 3.

4) Проекція точки Р(х; у; z) на ось Оу: P1(0; у; 0). Проекція точки Р(х; у; z) на площину xΟz: Р2(х; 0; z). РР1 — відстань від точки Р до осі Оу.

РР — відстань від точки Р до площини xΟz:

За умовами │РР2│ = 1, │PP1│ = 1. Таким чином, │у│ = 1, │у│ = 1, x2 + z2 = 1.

10.

1) Розглянемо точку А(х; у; z). Оскільки вона віддалена від початку координат на 3, то виконується умова: |ОА│ = 3. Таким чином

Оскільки вона віддалена від осі Ох на 1, то відстань від точки А до її проекції на ось Ох дорівнює 1. Координати проекції на ось Ох А1(х; 0; 0).

Тобто у2 + z2= 1, а значить, х2 + 1 = 9; х2 = 8;

Оскільки повинна виконуватись умова у2 + z2 = 1, то можна взяти у = -1, z = 0.

А значить, наприклад, координати точки

2) Розглянемо точку А(х; у; z). Відстань від точки А до площини хОу — це │z│.

За умовами │z│ = 1. Відстань від точки А до початку координат

За умовами х2 + у2 + z2 = 9. │z│ = 1. Значить, z2 = 1 і х2 + у2 + 1 = 9; х2 + у2 = 8.

Візьмемо, наприклад, х = 2, тоді 4 + у2 = 8; у2 = 4; у = ±2.

А значить, умовам буде задовольняти, наприклад, точка (2; -2; 1).

3) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х; 0; 0) — проекція точки А на ось Ох,

точка А2(0; у: z) — проекція точки А на площину yOz.

Відстань від точки А до початку координат дорівнює 3, а значить, х2 + у2 + z2 = З2. Відстань від точки А до осі Ох дорівнює 1, а значить, у2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до площини yOz дорівнює 1, а значить, х2 = 1.

Оскільки х2 = 1; у2 + z2 = 1, то х2 + у2 + z2= 2, але за умовами х2 + у2 + г2 = 9,

значить, не існує точки, яка б задовольняла вказаним умовам.

4) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х: 0; 0) — проекція на ось Ох точки А,

точка А2(0; у; 0) — проекція на ось Оу точки А. Відстань до осі Ох:

За умовами у2 + z2 = 1. Відстань до осі Оу: За умовами х2 + z2=1.

Відстань до початку координат: За умовами х2 + у2 + z2= 9.

Розв’яжемо систему:

z2 = -7 — рівняння розв’язків не має, а значить, не існує точки з координатами,

які задовольняють вказаним умовам.

5) Розглянемо точку А(х; у; z). Точка А1(х; у·, 0) — проекція А на площину хОу,

точка А,(0; у; z) — проекція А на площину yOz.

Відстань від точки А до площини хОу а за умовами z2=1.

Відстань від точки А до п лощини yOz а за умовами x2 = 142.

Відстань від точки А до початку координат

За умовами х2 + у2 + z2= 9.

Розглянемо систему

тобто 142 + у2 + 1 = 9; у2 = 9 - 1 - 142 < 0.

Це рівняння розв’язкiв не має, а значить, не існує точки з координатами,

які задовольняють вказаним умовам.

6) Розглянемо точку А(х; у; z).

Відстань від точки А до осі Ох: у2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до осі Оy: х2 + z2 = 1.

Відстань від точки А до осі Oz: х2 + у2 = 4.

Складемо вищевказані співвідношення: (y2 + z2) + (х2 + а2) + (х2 + у2) = 1 + 1 + 4;

2 + 2у2 + 2z2 = 6; х2 + у2 + z2= З.

З іншого боку відстань від точки А до початку координат дорівнює 3, отже,

х2 + у2 + z2= 9.

Ці два співвідношення х2 + у2 + z2= 3 та х2 + у2 + z2 = 9 суперечать одне одному,

а значить, немає точки з координатами, що задовольняють вказаним умовам.

7) Розглянемо точку А(х; у; z).

Відстань від точки А до площини хОу: │z│= 1, z2= 1.

Відстань від точки А до площини хОz: │y│= 1, у2 = 1.

Відстань від точки А до площини yOz: │х│= 1, х2 = 1.

Відстань від точки А до початку координат: x2 + у2 + z2 = 9,

але х = 1, у2 = 1, z2 = 1, значить, отримуємо 3 = 9. Розв’язків немає, значить,

не існує точки з координатами, що задовольняють вказаним умовам,

11.

Точки на координатних площинах, відстань від яких до точки М(-1; 2; -3)

буде найменшою, — це oснови ортогональних проекцій точки М

на координатні площини. Координати ортогональної проекції на хОу: (-1; 2; 0).

Координати ортогональної проекції на xOz: (-1; 0; -3).

Координати ортогональної проекції на yOz: (0; 2; -3).

12.

Точки на координатних осях, відстань від яких до точки буде

найменшою, — це проекції точки на координатні осі.

Координати проекції точки Р на ось Ох: (3; 0; 0). Координати проекції

точки Р на ось Оу: (0; -4; 0).

Координати проекції точки Р на ось Oz:

13.

1)

Запишемо координати вершин D, B1, С1 D1: D(3; 3; 0), В1(3; 0; 3),

C1(0; 3; 3), D1(3; 3; 3). Всі діагоналі куба рівні.

Запишемо довжину діагоналі A1D:

2)

Запишемо координати вершин D, A1, С1, D1: D(2; 2; 0), A1(2; 0; 2), C1(0; 2; 2),

D1(2; 2; 2). Всі діагоналі куба рівні.

Запишемо довжину діагоналі B1D:

14.

Нехай ребро куба дорівнює а, тоді координати точки А1(a; а; -а) (а > 0).

Відстань від початку координат

За умовами

Запишемо координати вершин куба:

О (0; 0; 0);

15.

Знайдемо координати інших вершин куба.

Перший випадок: А1(1; 1; 0), В1(2; 1; 0), О1(2; 2; 0), D1(1; 2; 0).

Другий випадок: А2(1; 1; 2), В2(2; 1; 2), С2(2; 2; 2), D2(1; 2; 2).

16.

1)

Запишемо координати вершин D, В1, С1, В1. D(2; 3; 0), В1(2; 0; 5),

C1(0; 3; 5), B1(2; 3; 5). Діагоналі паралелепіпеда рівні.

Знайдемо довжину діагоналі A1,D:

2)

Запишемо координати вершин В, А1, С1, В1. В(4; 6; 0), A1(4; 0; 2), С1(0; 6; 2),

B1(4; 6; 2). Діагоналі паралелепіпеда рівні.

Знайдемо довжину діагоналі АС1:

17.

1) Знайдемо координати середини відрізка точки С. С(2; 1; 0).

2) Знайдемо координати точки В(хв; ув; zв). Виконуються умови

хв = -8; yв = 4, zв = -19. Координати точки В(-8; 4; -19).

3) Знайдемо координати точки А(ха; уа; zа). Виконуються умови:

xа = -24; уа = 8; zа = 28. Координати точки А(-24; 8; 28).

18.

1) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати Р(р; 0; 0). Виконуються умови: n = -5.

2) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати С(р; 0;0). Виконуються умови: m = -0,5, n = 2.

3) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох, то її

координати С(р; 0;0). Виконуються умови:

Розв’яжемо систему:

4) Точка С — середина відрізку АВ. Оскільки вона належить осі Ох,

то її координати С(р; 0;0). Виконуються умови:

Розв’яжемо систему:

19.

1)

Запишемо координати точок С11: С1 (0; 4; 2); А1 (2; 0; 2).

Знайдемо координати точки К:

Координати точки К(1; 2; 2).

2)

Координати точки С1с; ус; zс).

Точка К — середина A1C1, виконується умова: yс = 4·

Оскільки ABCDA1B1C1D1 — призма, координати точки C1(0; 4; 6),

координати точки D1 (3; 4; 6).

Знайдемо абсцису і аплікату точки К.

20.

1) Знайдемо координати точки С:

Проекції точок В і С на площину хОу мають координати: В1(1; -1; 0),

C1(1,6; -0,4; 0); на площину xOz координати: В2(1; 0; -3), С2(1,6; 0; 0,6);

на площину уОz координати: B3(0; -1; -3), С3(0; -0,4; 0,6).

Знайдемо довжини відрізків В1С1, B2C2, В3С3.

2) Знайдемо координати точки. С:

Проекції точки С на площини: на хОу В1(1;-1; 0),

на xOz: В2(1; 0; -3), на уОz: В3(0; -1; -3),

Знайдемо довжини відрізків B1C1, В2С2, В3С3.

3). Знайдемо координати точки С:

Проекції точок В і С на площину хОу: В1 (1; -1; 0),

на площину xОz: В2(1; 0; -3), на площину уОz:

В3(0; -1; -3),

Знайдемо довжини відрізків В1С1, В2С2, В3С3

21.

Знайдемо відстані MB та МС.

За умовами MB = МС, розв’яжемо рівняння

а2 - 4а + 5 = а2 - 2а + 2; 2а = 3; а = 1,5.

22.

1) Знайдемо координати точки К(хк; ук; zк),

рівновіддаленої від точок

Розв’яжемо систему:

Маємо множину точок (хк; 0,75 - 0,5хк; 0,5), хк ϵ R.

2) Оскільки точки належать площині А1В1С1,

то апліката цих точок дорівнює 1. Оскільки точки віддалені від площини

хОz на 1 од.в., то ордината цих точок дорівнює 1.

Абсциса цих точок може бути будь-якою. Маємо множину точок (x; 1; 1),

де x ϵ R.

3) Знайдемо координати точки Т:

Координати точки B1(0; 2; 1).

Знайдемо координати точки М, що поділяє відрізок ТВ1 у відношенні 3 : 1.

Маємо точку М(-0,1875; 1,625; 0,75).

23.

Знайдемо координати точок Р1 та Н1. Р1(4; 4; 6), H1(0; 4; 6).

Знайдемо координати точки Е. Е(2; 4; 6).

24.

Знайдемо довжини відрізків АВ, АС та ВС.

Перевіримо, що АВ + АС > ВС, АВ + ВС > АС, ВС + АС > АВ.

— вірне твердження; — вірне твердження;

піднесемо в квадрат:

— вірне твердження.

Значить існує трикутник ABC з такими координатами вершин.

25.

1) Обчислимо довжини сторін:

Трикутник ABC — рівносторонній.

2) Обчислимо довжини сторін:

Оскільки АВ2 = АС2 + ВС2, то трикутник ABC — прямокутний.

3) Обчислимо довжини сторін:

Трикутник ABC — рівносторонній.

26.

Розглянемо трикутник АОС — прямокутний рівнобедрений,

а значить, ∠OAC = OCA = 45°. ОК — медіана, бісектриса і

висота трикутника AOC OK = AO sin ∠OAK

Розглянемо трикутник ВОК — прямокутний.

— кут між площинами (ABC) і хОу.

27.

Точка О (0; 0; 0) рівновіддалена від точок А, В, С. Вона проектується в т. М — центр правильного трикутника ABC.

Розглянемо трикутник ABC. М — центр описаного кола.

Розглянемо трикутник ВОС — прямокутний, рівнобедрений.

Тоді

Розглянемо трикутник ОМВ — прямокутний. OMB = 90°. ОМ2 = OB2- ВМ2;

28.

1) Розглянемо трикутник АОВ—прямокутний, рівнобедрений. ∠BAO = 45°

Трикутник А1ОВ — прямокутний, ∠B1AO = 45°. Значить, прямі AB і A1B1 паралельні.

Трикутник АОС — прямокутний рівнобедрений. ∠CAO = 45°

Трикутник A1OC1 — прямокутний рівнобедрений. ∠C1AO = 45°.

Значить, прямі АВ і А1С1 паралельні. АВ і АС перетинаються, А1В1 і А1С1 перетинаються. АВ || А1В1; АС || Α1C1, а значить, площини (ABC) і (А1B1С1) паралельні.

2) Враховуючи, що точка (0; 0; 0) рівновіддалена від точок А, В, С, а також від точок А1, В1, C1. Отже, ортогональні проекції точки О на площини (ABC) і (А1B1С1) збігаються з центрами К і К1 правильних трикутник ABC і А1В1С1. Шукана відстань дорівнює відстані між центрами цих трикутників (бо відповідні перпендикуляри до вказаних площин належать одній прямій). Координати точок К і К1 знайдемо як координати точок, що ділять медіани АР і А1Р1 трикутників ABC і А1В1С1 у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершин А і А1.

Знайдемо координати точок Р і Р 1, які є серединами відрізків ВС і В1С1.

Маємо координати точок Р(0; 0,5; 0,5), Р 1 (0; 1; 1).

Знайдемо координати точок К і К 1.

Маємо координати точок

Знайдемо КК 1

30.

1) Знайдемо довжини відрізків АВ, ВС, АС, АS, BS, CS.

Оскільки AB = АС = ВС та AS = BS = CS, то піраміда SABC — правильна.

2) Знайдемо координати середини ребра АС — точки М.

Точка М має координати

31.

Трикутник ABC — правильний ∠OBC = 60°

Розглянемо АВОС — прямокутний∠BOC = 90°

OC = OB × tg ∠OBC;

Координати точки

В силу симетрії також вершиною тетраедра може бути точка

Знайдемо координати точки S(x; у; z — четвертої вершини

тетраедра SABC. Знайдемо з умов, що AS = BS = CS.

Знайдемо довжини відрізків AS, BS, CS.

Оскільки тетраедр правильний AS = BS = CS = AB = 2.

Розв’яжемо систему :

В силу симетричності маємо чотири випадки:

1)

2)

3)

4)

32.

Введемо прямокутну систему координат так, щоб катети трикутника КМР

належали осям Ох і Оу.

Координати точок К(а; 0; 0), М(0; 0; 0), Р(0; b; 0), T(0; b; m).

Точка R — середина відрізка КМ. Координати точки

Знайдемо довжину відрізку RT.

33.

Введемо прямокутну систему координат так, щоб ребра куба належали осям

Ох, Оу, Оz.

Тоді координати його вершин, оскільки ребро куба дорівнює 1: А( 1; 0; 0),

В(0; 0; 0), С(0; 1; 0), D(1; 1; 0), A1(1; 0; 1), В1 (0; 0; 1), C1(0; 1; 1), D1(1; 1; 1).

1) Знайдемо відстань між серединами ребер АВ і C1B1.

Координати точок М і N: М(0,5; 0; 0), N(0; 0,5; 1)

Довжина відрізку ΜΝ·.

2) Знайдемо відстань між серединами ребра АВ і діагоналі DB1.

Знайдемо координати точки Р — середини діагоналі BD1:

Точка Р має координати (0,5; 0,5; 0,5). Точка М(0,5; 0; 0). Довжина відрізку МР:

3) Знайдемо відстань між серединою ребра ВС точкою R і точкою Т,

що поділяє ребро A1D1 у відношенні 2 : З. Координати точки R(0; 0,5; 0).

Знайдемо координати

точки Т:

Знайдемо довжину відрізку RT:

4) Знайдемо відстань між точками Р і Н, для цього визначимо їх координати.

Довжина відрізку РН:

34.

1) Знайдемо довжини відрізків SA, SB, SC.

Усі бічні ребра піраміди рівні і всі бічні ребра піраміди утворюють

однакові кути з площиною основи.

2) Знайдемо довжини відрізків AB, АС і ВС.

Оскільки ВС2 = АС2 + АВ2, то трикутник ABC — прямокутний

(за оберненою теоремою Піфагора).

Основа висоти піраміди (точка D) — середина відрізку ВС,

знайдемо її координати. D(2; 2; 3).



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити