Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 3. Тіла. Багатогранники. Тіла обертання

§ 19. Властивості конуса

Завдання 16

1.

1) Твірна конуса не може утворювати з його основою прямий кут, оскільки

вона є гіпотенузою трикутника обертання, яка утворює бічну поверхню конуса.

2) Теж не може (обґрунтування у п. 1).

Якщо конус зрізаний 1) ні; 2) так.

Відповідь: 1) ні; 2) ні для зрізаного конуса 1) ні, 2) так.

2.

Нехай SA — твірна конуса, ОА — радіус основи, SO — висота конуса,

SO = 15 см, ОА = 8 см. З прямокутного ΔSAO:

Відповідь: 17 см.

3.

Нехай ОА радіус конуса, ОА = 28 см, SO — висота конуса, SA — твірна.

Позначимо SO = х, тоді SA = х + 8.

З ΔSOA: SA2 = SO2 + ОА2; (х + 8)2 = х2 + 282; х2 + 16х + 64 = х2 + 784;

16х = 720; х = 45.

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник.

Відповідь: 1260 см2.

4.

Нехай SA— твірна конуса. S = 12 см.

1) ∠SAO = 30°. З ΔSAO:

S осн = π × АО2 = π × 108 = 108π (см2).

2) ∠ SAO = 45°. З ΔSAO:

Socн = ∠ × AO2 = π × 72 = 72π (см2).

3) ∠SAO = 60°. 3 ASAO:

S осн = π × AO2 = π × 36 = 36π (см2).

Відповідь: 1) 108π см2; 2) 72π см2; 3) 36π см 2.

5.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, ∠ ASB = 90°, SSAB = 25 см2.

З ΔSAB: ∠ ASB = 90°, SO ┴ AB, ∠OSB = 45°, ∠SBC = 45°, SO = ОВ.

ОВ2 = 25; ОВ = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

6.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, SSAB = 6 м2, S осн = 8 м2.

S осн = π × AO2;

Відповідь:

7.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, SA = SB = АВ = а,

1) З ΔSAB:

2)

Відповідь: 1) 2) 5 см.

8.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, SSAB = 0,6 м2; SO = 1,2 м.

SO × АВ = 1,2;

З прямокутного ΔSAO:

Отже, площа повної поверхні конуса S дорівнює:

S = π · AO (AS + АО) = π × 0,5(1,3 + 0,5) = 0,9π (м2).

9.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, ∠ASB = 120°, SA = SB = 16 см.

SO — висота рівнобедреного трикутника, яка є і бісектрисою, отже,

∠ASO = 60°. З ΔSAO:

Отже, площа повної поверхні конуса S дорівнює:

Відповідь:

10.

Нехай SA — твірна конуса. SA = І, ОА — радіус основи, ОА = г.

1) Оскільки АВ = 60°, то ∠BOA = 60°. Проведемо ОD ┴ АВ,

тоді ∠AOD = 30° (оскільки висота рівнобедреного трикутника є і бісектрисою).

З ΔODA: Проведемо SD ┴АВ. З прямокутного трикутника SDA:

Отже,

2) Оскільки AB = 90°, то ∠BOA = 90°. Проведемо OD ┴ AB,

тоді ∠AOD = 45° (оскільки висота рівнобедреного трикутника е і бісектрисою).

З ΔODA:

Проведемо SD ┴ АВ. З прямокутного трикутника SDA:

Отже,

Відповідь: 1) 2)

11.

Нехай SOA — прямокутний трикутник, SO = 6 дм, ОА = 8 дм.

З ΔSOA:

1) Sбіч = π × ОА × SA = π × 8 × 10 = 80π (дм2).

2) Sповн = π × ΟΑ(ΟΑ + SA) = π × 8(8 + 10) = π × 8 × 18 = 144π (дм2).

Відповідь: 1) 80π дм2; 2) 144π дм2.

12.

Нехай SA — твірна конуса, SA = 6,5 м, ∠ASO = 45°.

З ΔSOA: SO ┴ AO,

Відповідь:

13.

Нехай AB = 6 м, SO = 2 м. З ΔSOB:

Знайдемо площу покрівлі башти: Sбіч = π × OB × SB = 3,14 × 3 × 3,6 = 33,9 (м2).

10 % від площі покриття 33,9 × 10 % = 3,39 (м2).

Знайдемо площу одного листа заліза: S = 0,7 × 1,4 = 0,98 (м2).

Загальна площа покриття 33,9 + 3,39 = 37,29.

Кількість листів заліза для покриття башти: 37,29 : 0,98 = 38 (листів).

Відповідь: 38 листів.

14.

Нехай SA — твірна конуса, SA = l. ΔASB — осьовий переріз циліндра,

∠ASB = α. SO ┴ АВ, SO — бісектриса,

З ΔASO1:

Отже,

Відповідь:

15.

Нехай SA - твірна конуса, SA = l, Sосн = Q. Sосн = π × AO2;

π × AО2 = Q; 3 ΔSAO:

Відповідь:

16.

Нехай ABC — прямокутний трикутник, СВ = a, ∠CAB = 30°.

При обертанні прямокутного трикутника навколо гіпотенузи

утворилася фігура, яка складається з двох конусі зі спільною основою.

З ΔABC:.

З ΔАСО:

Відповідь:

17.

Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, АВ = ВС, СА = a, ∠CBA = α.

При обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи,

утвориться фігура, яка складається з двох рівних конусів.

З ΔАВС:

Відповідь:

18.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса, SA = SB = АВ = 2r,

SDC — переріз конуса, ∠DSC = 30°.

1) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,

тобто ∠DCF = 45°. З ΔSFD: SD = SA = 2г;

2) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,

тобто ∠DSF = 22°30′. З ΔSDF: SD = SA = 2r;

3) Розглянемо ΔSDC. Проведемо висоту SF, вона буде і бісектрисою,

тобто ∠DSF = 30°. З ΔSDF: SD = SA = 2г:

DC = 2г.

Відповідь: 1) г2; 2) 3)

19.

Нехай SO — висота конуса, SO = 10 см, AB = 60°.

Нехай SAB — заданий переріз. Проведемо OD ┴ АВ,

тоді ∠AOD = ∠DOB і SD ┴ АВ (за теоремою про три перпендикуляри).

1) ∠SDO = 30°.

З ΔSOD:

З ΔAOD:

2) ∠SDO = 45°.

З ΔSOD:

З ΔAOD:

3) ∠SDO = 60°.

3 ΔSDO:

3 ΔAOD:

Відповідь: 1) 200 см2; 2) 3)

20.

Нехай SO — висота конуса, SO = Н, SAB — заданий переріз, АС — медіана,

∠САВ = α. Оскільки SAB— осьовий переріз — рівнобедрений трикутник,

то висота SO буде і медіаною. За властивістю медіан трикутника медіани

точкою nepeтину діляться у відношенні 2:1. Маємо, що

З ΔADO:

Відповідь:

21.

Нехай SA — твірна конуса, ∠SAO = 60°, ОА — радіус основи, ОА = г.

3 ΔSAO: Розгортка конуса — це частина круга,

радіусом якого є твірна SA, а довжина дуги 2πг.

З другого боку довжина дуги С дорівнює n° = 180°.

Відповідь: 180°.

22.

Нехай S1 — площа першої січної площини, S2— площа другої січної площини.

Площі основи конуса і паралельного їй перерізу відносяться, як квадрати

їх відстаней від вершини, тобто: 1) S1 : S2 = n2 : m2; S1 : S2 = a2 : (a - b)2.

Відповідь: 1) n2 : m2; 2) а2 : (а - b)2.

23.

SAOCD = AO2; АО × SO = AO2; SO = AO.

ΔSOA — прямокутний, а оскільки SO = АО, то він рівнобедрений.

Звідси ∠SAB = 45°.

Відповідь: 45°.

24.

Нехай SAB — осьовий переріз конуса (рис. 1).

На рис. 2 зображено осьовий переріз конуса, вписаний в коло основи.

ΔSAB — прямокутний, оскільки ∠BSA спирається на діаметр.

SB = SA як твірні конуса, отже, ∠SAB = ∠SBA = 45°.

Відповідь: 45°.

25.

Нехай кут між твірними SA і SB дорівнює α.

Тоді де l —твірна конуса.

Таким чином, площа перерізу є функцією α (0 ≤ α ≤ 180°).

Знайдемо її критичну точку.

Отже, при функція і набуває найбільшого значення.

Відповідь: переріз конуса має максимально можливу площу,

якщо твірні конуса, які утворюють переріз, перпендикулярні.

26.

Нехай SO — висота конуса, SO = Н. Проведемо три твірні конуса SА, SB, SC,

які взаємно перпендикулярні. Отримаємо трикутну піраміду SABC.

Піраміда правильна, оскільки АВ = ВС = СА. Отже, шуканим є радіус кола,

описаного навколо основи правильної піраміди SABC.

3 ΔSBK: ABSK = ASBK = 45°, 3 ΔSBK:

AO — радіус описаного кола навколо ΔАВС. AS2 = SO2 + AO2;

a2 = Η2× 6;

Відповідь:

27.

Нехай ABCD —- трапеція, ВС = 13 см, AD = 18 см, АВ = 12 см.

Проведемо СК ┴ АD, СК = АВ = 12 см. КD = АD - АК = 18 - 13 = 5 (см).

Sбіч = π(ВС + AD) × CD = = π(13 + 18) × 13 = 403π (см2).

Sосн.1 = π × ВС2 = 169π (см2);

Sосн.2 = π × AD = π х 324 = 324π (см2).

Sповн = S біч + Sосн.1 + Sосн.2 = 403π + 169π + 324π = 896π (см2).

Відповідь: 896π см2.

28.

Нехай ABCD — осьовий переріз зрізаного конуса. Чотирикутник АВ –

рівнобічна трапеція. За властивістю рівнобічної трапеції ∠A = ∠D, ∠В = ∠С,

∠A + ∠В = 180°, звідси ∠А + ∠С = 180°.

Навколо чотирикутника можна описати коло,

якщо сума його протилежних κуτίв дорівнює 180°.

Твердження доведено.

29.

Нехай АB — твірна зрізаного конуса, AS = 8 см, ∠ВAD = ∠CDA = 60°,

∠BDA = 30°. Проведемо BF ┴ АD.

З ΔBDF: BD = 2BF (оскільки ∠BDA = 30°).

O1D = 12 - 4 = 8 (см); AD = 4 + 12 =16 (см);

ВС = AD - 2AF =16 - 8 = 8 (см); ОС = 4 см.

Sбічн = π(ОС + O1D) × АВ = π(4 + 8) × 8 = 96π (см).

Sосн.1 = π × ОС2 = π × 16 = 16π (см 2);

Sосн.2 = π × О1D)2 = π × 64 = 64π (см2).

Sповн= Sбічн + Sосн.1 + Sосн.2 = 96π + 16π + 64 π = 176π (см2).

Відповідь: 176π см 2.

30.

1) Нехай ОС = 5 см, O 1D = 11 см, ∠ABF = 30°.

AF = AO - ВО = 11 - 5 = 6 (см)

З ΔABF: АВ = 2AF = 12 (см).

2) ∠ABF=45°. 3 ΔABF:

3) ∠ABF = 60°. З ΔАВF:

Відповідь: 1) 12 см; 2) 3)

31.

1) 1 випадок. Нехай ВО = AB = n, ∠BAF = 30°.

З ΔABF:

2 випадок. Нехай АВ = AO1 = n, ∠BAF = 30°.

З ΔABF:

Sосн.2 = π × AO12 = π × n2 = πn2.

2) 1 випадок. Нехай BO = AB = n, ∠BAF = 45°.

З ΔАВF:

Sосн.2 = π × BO2 = πn2;

2 випадок. Нехай АВ = АO1 = n, ∠ВАF = 45°.

З AABF:

Sосн.1 = π × AO12 = π × n2 = πn2; Sосн.2 =π × ΒO2.

3) 1 випадок. Нехай ВО = AB = n, ∠BAF = 60°.

З ΔABF:

Sосн.1 = π × ВО2 = πn2.

2 випадок. Нехай АВ = АО1 = n, ∠BAF = 60°.

З ΔABF:

Відповідь: 1) πn2, 2) πn2, 3) πn2, або

32.

Нехай OB = 16 см, O1C = 25 см, AB = 2OB = 32 см, DC = 2O1C = 50 см.

Трапеція ABCD — осьовий переріз зрізаного конуса.

AB + DC = AD + BC за властивістю описаного чотирикутника.

32 + 50 = AD + BC; 82 = 2AD; AD = 41 (см).

Радіус кола

Відповідь: 20 см.

33.

Нехай OB i O1A — радіуси основ зрізаного конуса,

ОВ : О1А = 1 : 3, ОО1 = h, ∠ΒΑΟ1 = 45°. З ΔABF: AF = BF = h,

Позначимо BO = x, AO1 = 3x. AO1- FO1 = AF;

3x - x = h; 2x = h;

Відповідь:

34.

Зобразимо на рисунку осьовий переріз зрізаного конуса.

Нехай AB і CD — твірні зрізаного конуса. AB = CD = 26 см,

ОО1 — вісь зрізаного конуса,

AD1 = 26,25 см. D1C = 13,75 см.

ΔАD1О1 - ΔCD1О(∠D1AO1 = ∠D1CO як внутрішні

різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD

і січній АС, ∠OD1C = ∠ADO1 як вертикальні кути).

Нехай ОС = а, АО1 = b. З подібності трикутників отримаємо:

b = 26,25x; а = 13,75x; КD = О1D - О1К = b - а.

З ΔСКD: СК2 = CD2- KD2 = 262 - (b - а)2.

З ΔАСК: СК2 = АС2 - АК2 = 402 - (b + а)2.

Порівняємо дві останні рівності: 26s- (b - а)2 = 402 - (6 + а)2;

676 - b2 + 2ab - а2 = 1600 - b2 - 2аb - а2;

4аb = 924; ab = 231; 13,75x × 26,25x = 231;

х = 0,8.

Звідси маємо: а = 13,75 × 0,8 = 11 (см); b = 26,25 - 0,8 = 21 (см).

Відповідь: 11 см і 21 см.

35.

Нехай твірна конуса АВ = І, радіуси основ BO = r, AO1 = R,

висота конуса BF = H. l = R + r, H = R - r. AF = АО1 - BО = R - г.

З ΔBFA:

З іншого боку

Відповідь:

ГМТ середин відрізків з кінцями на колах протилежних основ

зрізаного конуса є круг.

Відповідь: круг.

Нехай SA — твірна конуса, ОА — радіус конуса, SA = 16 дм,

ОА = 10 дм, О1А1 = г,

SA1 = l. ΔSA1O1 = ΔSAO.

Знайдемо площу повної поверхні конуса з твірною SA1.

S повна конуса з твірною SA:

S = π × ОА(ОА + SA) = π × 10(16 + 10) = 260π.

Порівняємо площі повної поверхні конуса і зрізаного конуса:

32r2 = 2600; 4r2 = 325;

3 ΔSAO:

Знайдемо довжину твірної меншого конуса:

З ΔSA1O1:

Відповідь·.

38.

Нехай SA = AD = l. Проведемо OK ┴ AF, SK ┴ AF.

З ΔSAK:

Знайдемо площу цієї грані:

Тоді площа бічної поверхні піраміди S дорівнює:

Відповідь:

39.

Нехай SA — твірна конуса, SA = 5 см,

З ΔАВС:

Оскільки трикутник ABC — прямокутний,

то центр описаного кола лежить на гіпотенузі,

точка О — центр основи конуса,

SO — висота конуса, яка, є і висотою піраміди.

Отже,

Відповідь: 4 см.

40.

Нехай OK — радіус основи конуса, SO — його висота,

OK = 6 см, SO = 8 см. Проведемо SK ┴ СВ, тоді OK ┴ СВ

(за теоремою про три перпендикуляри).

З ΔSOK:

Розглянемо ΔОВК. ∠K = 90°, ∠ОВК = 30°,

Знайдемо площу однієї грані піраміди:

Отже, площа бічної поверхні піраміди S дорівнює:

Відповідь:

41.

Нехай SFK — осьовий переріз конуса,

Нехай а — сторона тетраедра. ΔABC — правильний трикутник,

FO — радіус вписаного кола в ΔABC.

OF ┴ АС (за теоремою про три перпендикуляри).

З ΔSFC:

З ΔSFO:

За умовою

Відповідь:

43.

Нехай SABC — задана піраміда, АВ = ВС = АС = 12 см,

SA = SB =SC = 13 см. Оскільки конус рівносторонній, позначимо OF = х,

тоді FS1 = 2х.

З ΔOPS:

Оскільки ΔАВС — правильний, то S1B — радіус описаного кола,

З ΔSKB:

3 ΔSS1К:

ΔSS1K - ΔSOF (за першою ознакою, ∠OSF – спільний, ∠SFO = ∠SBS1).

Звідси висота конуса

Відповідь:

44.

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда. SD = а;

З ΔSDK:

З ΔSOK:

Оскільки конус рівносторонній, то ОК1 = 2О1К1.

Позначимо О1К1 = х, ОК1 = 2х.

З ΔO1К1О:

ΔSOK - ΔSO1K1(за першою ознакою подібності).

Звідси

Відповідь:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити