Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 4. Об'єми та площі поверхонь геометричних тіл

§ 25. Об'єми кулі та її частини. Площа сфери

Завдання 22

1.

Обчислимо площу поверхні Землі: S= 4πR2 = 4π · 63752.

Площа суші складає

Відповідь: π × 63752.

2.

Знайдемо об’єм кавуна радіуса 10 см:

На одного їдока приходиться

Знайдемо об’єм кавуна-радіусом 20 см:

На одного їдока приходиться

Відповідь: у вісьмох.

3.

Оскільки передбачається, що каша у двох котлах однакова,

то в другому казані відношення води і крупи буде таке саме, як і в першому.

Відповідь: тим же.

4.

Знайдемо площу поверхні м’яча радіусом 10 см. S = 4π × 100.

Для виготовлення м’яча потрібно матеріалу: 400π × 1,1 = 440π (см2).

Відповідь: 440π см2.

5.

Нехай O1B — радіус сигмента, О1В = 3 см,

CO1 — висота, ОВ = ОС = R.

З ΔО1ВО: OВ2 = О1В2 + О1О2;

Отже, об’єм землі для клумби V дорівнює:

Відповідь:

6.

Нехай діаметр Землі дорівює D, радіус землі дорівнює R.

2R = D, d — діаметр Місяця, r — радіус Місяця;

Об’єм Землі:

Об’єм Місяця:

Відповідь: 64 : 1.

7.

Нехай В — діаметр Землі, d — діаметр Марса, R — радіус Землі,

г — радіус Марса.

Площа поверхні Марса у 4 рази менша поверхні Землі.

8.

Знайдемо поверхню кулі радіусом R. S = 4πR2.

Знайдемо поверхню кулі радіусом

Відповідь: 100 куль.

9.

Нехай r — радіус маленької кульки, R — радіус великої кулі. R = 5r.

Об’єм однієї кульки Об’єм великої кулі V1 : V = 125.

Отже, для виготовлення великої кулі треба переплавити 125 маленьких кульок.

10.

3V = 4πr3;

Відповідь:

11.

1) S = 4πR2 = 4π × 16 = 64π (см2);

2) 3V = 4πR3; 12 000 = 4πR3;

3) S = 4πR2; 4πR2 = 64π;

Відповідь: 1) 64π см2; 2)

3) 4 см;

12.

Нехай V1 — об’єм першої частини кулі, V2— об’єм другої частини кулі.

V1 = 720π см3, V2 = 252π см3.

Об’єм V кулі дорівнює: V= V1 + V2 = 720π + 252π = 972π (см3).

3V = 4πR3; 3 · 972π = 4 πR 3; R3 = 729; R = 9.

S = 4 πR 2 = 4π × 81 = 324π (см 2).

Відповідь: 324π см2.

13.

1) Нехай сфера задана рівнянням х2 + у2 + z2 = 3, отже,

S = 4πr2 = 4π × 3 = 12π.

2) Нехай сфера задана рівнянням (х - 1)2 + (у + 1)2 + (z - 2)2 = 16,

отже, R = 4. S = 4πг2 = 4π × 16 = 64π.

3) х2 + 2х + у2 + z2 = 0; x 2 + 2x + 1 + у2 + z2= 1; (х + 2)2 + у2 + z = 1.

S = 4πr2 = 4π.

4) x 2 - 2х + у2 + 2у + z2– 4z = 3; x2 - 2х + 1 + у2 + 2у + 1 + z2 – 4z + 4 = 9;

(x - 1)2 + (у + 1)2 + (z - 2)2 = 9; R = 3. S = 4πг2 = 4π × 9 = 36π.

14.

Якщо циліндр, описаний навколо кулі, то цей циліндр рівнобокий.

Нехай R — радіус кулі, тоді радіус циліндра дорівнює R, а висота циліндра 2R.

Sциліндра = 2 πR × 2R + 2 πR 2 = 6 πR2; Vциліндра = πR 2 × 2R = 2 πR 3

Sкулі = 4 πR2:

Твердження доведено.

15.

Нехай V1— об’єм першого циліндра, V2 — об’єм другого;

R1Н1 — виміри першого циліндра; R2, Н2 — виміри другого циліндра.

V1 = V2

Твердження доведено.

16.

Нехай SO = KM, АВ = AS.

З ΔSAO:

Отже, Sкулі = Sконуса

17.

Нехай S — площа поверхні кулі, S1— площа поверхні другої кулі,

S = 43 см2. S = 4πR2; 43 = 4πR2;

Знайдемо радіус другої кулі:

Відповідь: 387 см2.

18.

Нехай S1— площа поверхні кулі, S2 — площа поверхні другої кулі,

S1 = 393 см2.

Відповідь: 131 см2.

19.

Нехай S1 — площа перерізу. S1 = π × O1A2; 15 = π × Ο1A2;

З ΔО1АО:

Відповідь: 180 см2.

20.

Нехай ∠ОАО1 = 45°, ОА — радіус кулі. Проведемо OO1 ┴ О1А.

S = 4π × ОА2; 4π × ОА2 = 125; ΔО1АО — прямокутний,

Ο1ΑΟ = ∠ΑΟΟ1 = 45°.

Відповідь:

21.

Нехай Ο1Β = 60 cм, OB = 75 cм.

3 ΔΟ1ΒΟ:

AO 1 = OB - O1O = 75 - 45 = 30 (cм).

Отже, об’єм кульового сектора дорівнює:

Відповідь: 112 500 см3.

22.

Нехай об’єм кулі S = 36π см2.

Якщо площина проходить через центр кулі, то вона ділить кулю на дві рівні півкулі.

Площа поверхні кожної з утворених частин складається з площі поверхні півкулі і січної площини, яка проходить через діаметр кулі.

S = 4 πR 2; 36π = 4 πR2;

Площа січної площини S1 = π × R2 = 9π (см2).

Площа півкулі

Відповідь: 26π см2.

23.

Нехай ∠ASO = α, АО = R, SO1 = r.

З ΔSAO: SO= АО × ctg∠ASO = R × ctg α. ОО1 = SO - SO1 = R ctg α - r.

З ΔΑΟ1Ο: AO12 = ОО12 + AO; r2 = (R ctg α - r)2 + R2;

r2 = R2 ctg2α - 2Rrctg α + r2 + R2; 2Rr ctg α = R2 ctg2α + R2; 2Rr ctg α = R2(ctg 2 α + 1).



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити