Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 2. Багатогранні кути

§ 11. Двогранні кути

Завдання 9

3.

1) 30° або 150°;

2) 24° або 156°;

3) 90°;

4) α або 180° - α. α може змінюватися від 0° до 180°.

4.

1) Якщо чотирикутники є квадратами, то малюнок помилковий.

2) Якщо чотирикутники є ромбами, то помилки немає.

5.

1) Якщо чотирикутники є квадратами, то помилки на малюнку немає.

2) Якщо чотирикутники є ромбами, то помилки на малюнку немає.

9.

Жодний з позначених кутів не можна записати як лінійний кут двогранного кута.

10.

Для ∠1: грані ABC та АСВ, ребро АС.

Для ∠2: грані CBD та ABC, ребро ВС.

Для ∠3: грані CDB та ABD, ребро BD.

11.

1) SO ┴ (ABCD) (SO — висота); проведемо OK ┴ CD; за теоремою

про три перпендикуляри SK ┴ CD.

∠OKS — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди.

2) Бічні грані піраміди — рівні рівнобедрені трикутники.

Проведемо висоту DM в трикутнику ASD. Оскільки трикутники рівні,

то ВМ — висота трикутника ASB. ∠BMD — лінійний кут двогранного кута

при бічному ребрі піраміди.

12.

1) АС = 3, СВ = 4, АВ = 5. Міра двогранного кута між площинами

визначається кутом АСВ. Скористаємось теоремою косинусів:

AB2 = AC2 + CB2 - 2AC × CB × cos ∠ACB;

∠ACB = arccos 0 = 90°.

2) АС = 2,СВ = 3,

Міра двогранного кута між площинами визначається кутом АСВ.

Скористаємось теоремою косинусів:

АВ2 =АС2 + СВ2 - 2АС × СВ × cos ∠ACB;

13.

∠ABC = 45°, AC ┴ β, отже AC ┴ ВС,

ΔАСВ — прямокутний. Знайдемо АВ.

14.

АС ┴ β; АВ ┴ α, отже по теоремі про три перпендикуляри

ВС ┴ а. ∠ABC — міра двогранного кута. Трикутник АСВ —

прямокутний (∠ACВ - 90°).

15.

∠АВС — міра двогранного кута. Скористаємось теоремою косинусів:

АВ2 =АС2 + СВ2 - 2АС × АВ × cos ∠ACB.

Звідси

АС = 10 см, СВ = 6 см, АВ = 14 см, тоді

∠ACB = 120°.

16.

а ‖ b. СВ = 6 см; ∠ACB = 30°.

СВ — висота трикутника АСВ, CD — відстань від ребра двогранного кута

до площини α.

Знайдемо АВ з трикутника АСВ за теоремою косинусів.

АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС × ВС × cos ∠ACB;

Знайдемо площу трикутника АСВ за формулою Герона.

З іншого боку площа трикутника

Звідси

17.

СК — відстань від вершини С до площини β. СК ┴ β.

Проведемо CB ┴ α; СВ — висота, медіана, бісектриса

рівностороннього трикутника ABC; DK ┴ α ( за теоремою

про три перпендикуляри). СК = 2 см; Знайдемо ∠CDK.

Розглянемо трикутник ABC — прямокутний (∠ABC = 90°).

∠ACD = 30°. CD = AC ∙ cos∠ACD;

Розглянемо трикутник CKD — прямокутний (∠CKD = 90°).

18.

∠ABC — кут між прямою а і площиною β. ∠ABC = 30°.

∠ABF — кут між прямою а та ребром двогранного кута ∠ABF = 45°.

Знайдемо міру двогранного кута ∠DBE.

Скористаємось теоремою про три синуси для двогранного кута

sin∠ABC = sin∠DBE ∙ sin∠ABF, звідси

19.

ABC — кут між прямою α і площиною β.

ABF— кут між прямою α та ребром двогранного кута.

DBE — лінійний кут двогранного кута. ∠ABF = β. ∠DBE = α;

Знайдемо кут ABC.

Скористаємось теоремою про три синуси для двогранного кута.

sin∠ABC = sin ∠DBE ∙ sin∠ABF; sin∠ABC — sin α × sin β;

ABC arcsin(sin α ∙ sin β).

20.

BAC =120°; AB = AC = AD = α. DE — відстань від D до BC.

BE = EC. DE ┴ BC.

Розглянемо трикутник BED — прямокутний (∠BED = 90°).

За теоремою Піфагора DE2= BD2 - BE2. Знайдемо BE та BD.

З трикутника ABC за теоремою косинусів

BC2 = AB2+ AC2- 2AB × AC × cos ∠ BAC;

Розглянемо трикутник BAD — прямокутний (∠ BAD = 90°).

За теоремою Піфагора

Тоді

21.

МА = 1 см; МВ = 22 см. Точки А, М, В, С лежать в одній площині.

∠ MAC = 90°; ∠ MBC = 90°; ∠ ACB = 60°.

З трикутника МАС — прямокутного ∠ (МАС = 90°)

Позначимо ∠ ACM — γ, СМ — х,

З трикутника МВС — прямокутного (∠ MBC = 90°)

∠ MCB = 60° - γ; x × sin(60° -γ) = 22;

x × (sin 60° cos γ - cos 60° sin γ) = 22;

x2 - 1 = 675; x2 = 676; x = 26. СМ = 26 см.

22.

МА = 22 см; MB = 23 см. Точки А, М, В, С лежать в одній площині.

∠ MAC = 90°, ∠ MBC = 90°, ∠ ACB = 120°.

З трикутника МАС — прямокутного (∠ MAC = 90°).

Позначимо ∠МАС = γ, СМ = х,

З трикутника МВС — прямокутного (∠ MBC = 90°º) ∠ MCB = 120° - γ;

х × sin(120° - γ) = 23;

х2 - 484 = 192; х2 = 192 + 484; х2 = 676; х = 26. СМ = 26 см.

23.

АС = ВС =13 см; АВ = 24 см; AD = ВD = 15 см.

ΔАВС та ΔADB — рівнобедрені.

K — середина АВ. Оскільки трикутники рівнобедрені СК і KD — висоти.

∠CKD — лінійник кут двогранного кута. ∠CKD = 60°.

Розглянемо трикутник АКС — прямокутний (∠AKC = 90°).

АК = 12 см.

З теореми Піфагора СК2 = АС2 - АК2,

СК2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25; СК = 5 см.

Розглянемо трикутник AKD — прямокутний (∠AKD = 90°).

З теореми Піфагора KD2= AD2 - АК2; KD2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81;

KD = 9 см.

Розглянемо трикутник CKD. За теоремою косинусів:

CD2 = СК2 + KD2- 2 СК × KD × cos ∠CKD;

CD2 = 25 + 81 - 2 × 5 × 9 × cos 60º = 106 - 45 = 61;

24.

Будуємо лінійний кут AOВ даного двогранного кута; в площині АОВ будуємо бісектрису ∠AOB. Через прямі l (бісектрису) і n (ребро кута), що перетинаються, проведемо площину. Півплощина, що визначена ребром даного двогранного кута n і променем l, є шуканим бісектором кута.

25.

Розглянемо два суміжні двогранні кути. Бісектриси поділяють кожен з них навпіл. Нехай міра одного кута α, тоді другого 180° - α.

Кут між бісекторами складається з двох кутів. Їх міра та

що в сумі дає:

26.

Оскільки будь-яка точка бісектора двогранного кута рівновіддалена від його граней, то геометричним місцем точок, які містяться всередині даного двогранного кута і рівновіддалені від граней цього кута є бісектор.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити