Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 2. Багатогранні кути

§ 12. Тригранні кути. Багатогранні кути

Завдання 10

2.

В площині SAB проведемо AB ┴ b, в площині SBC проведемо ВС ┴ b, сполучимо точки A i С. AB, ВС, АС — лінії перетину граней з площиною.

3.

1) Шестигранний кут має одну вершину, шість граней, шість ребер.

2) n-гранний кут має одну вершину, n граней, n ребер.

4.

Кут має 12 граней.

5.

1) Так; 2) так; 3)так.

Оскільки сума кутів має бути менше 360°.

6.

1) 158° + 171° + 132° = 461° > 360°. Кут скласти не можна.

2) 103° + 96° + 78° = 277° < 360°. Тригранний кут скласти можна.

3) 112° + 164° + 95° = 371° > 360°. Тригранний кут скласти не можна.

4) 82° + 67° + 151° = 310° < 360°. Тригранний кут скласти можна.

7.

Представимо дану точку як вершину прямокутного паралелепіпеда.

Відстані від точки А до ребер тригранного кута —

це діагоналі граней паралелепіпеда, а відстань від точки А

до вершини кута — це діагональ паралелепіпеда.

АВ = 4 см; АС = 4 см; AD = 6 см.

9.

SABC — тригранний кут; ∠ASB = ∠ASC = ∠BSC = 60°; Знайдемо ∠ BAC.

Позначимо SB = а. Розглянемо трикутник SAB — прямокутний (∠SAB = 90º).

АВ = SB α sin ∠BSA;

ВС знайдемо з трикутника ВSС за теоремою косинусів:

ВС2 = SB2 + SC2- 2SB × SC × cos ∠BSC;

BC = a.

Розглянемо трикутник ABC. За теоремою косинусів:

В2 = AB2+ АС2 - 2АВ × АС × cos ∠BAC;

10.

∠ASB = ∠BSC = 60º. ∠ASC = 90º.

Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

11.

Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

cos ∠BSC = cos ∠ASB × cos ∠ASC + sin ∠ASB × sin ∠ASC ×cos ∠ВАС;

cos ∠ASC = cos ∠ASB × cos ∠BSC + sin ∠ASB × sin ∠BSC × cos ∠A1B1C1,

∠AВC = arccos 0 = 90º.

12.

∠ASC = 90º, ∠CSB = 90º, ∠ASB = α. Доведемо, що ∠ABC = 90°.

Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

cos∠ASC = cos ∠ASB ∙ cos ∠BSC + sin∠ASB × sin ∠BSC × cos ∠ABC;

∠ABC = arccos 0 = 90°.

Доведемо, що ∠BDE = 90°. Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

cos ∠BSC = cos ∠BSS × cos∠ASC + sin∠BSA × sin∠ASC × cos ∠BDE;

∠BDE = arccos 0 = 90°.

13.

∠ASB = ∠BSC = ∠ASC = 60°. AS = a.

Розглянемо трикутник SAB (∠SAB = 90°).

Розглянемо трикутник SAC — прямокутний (∠SAC = 90°).

Трикутники SAC та SAB рівні.

Розглянемо трикутник BSC — рівносторонній. ВСSB = 2α.

Тоді периметр трикутника ABC: Р = АВ + ВС + АС.

14.

ASC = ASB = BSC = а. Відкладемо SA = SB = SC = а.

ΔSBC — рівнобедрений (SB = SC), точка D — середина відрізку ВС,

SD — медіана, висота і бісектриса трикутника SBC. AD — медіана,

висота і бісектриса трикутника ABC. ∠ASD — кут між ребром і

протилежною гранню (∠CDS — 90°). ΔАВС — правильний.

Розглянемо ΔSDC — прямокутний (∠CDS — 90°).

SD = SC × соs∠CSD;

CD = SC × sin∠CSD;

Розглянемо трикутник ADC — прямокутний.

∠САD = 60° : 2 = 30°. AD = CD × ctg∠CAD;

Розглянемо трикутник SAD. Скористаємось теоремою косинусів:

AD2= SA2 + SD2- 2SA × SD × cos∠ASD;

15.

ASB = ∠ASC = ∠BSC = а. Знайдемо ∠ABC.

Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

cos∠ASC = cos ∠ASB × cos ∠BSC + sin ∠ASB × sin ∠BSC × cos ∠ABC;

16.

Скористаємось теоремою косинусів для тригранного кута.

Всі двогранні кути дорівнюють φ. Плоскі кути також будуть рівні.

Позначимо їх міру α.

За теоремою: cos α = cos2α + sin2× cos φ;

(1 - cos2α) cos φ + cos2 α - cos α = 0;

(1 - cos φ) cos2 α - cos α + cos φ = 0; t = cos α;

(1 - cos φ)t2 - t + cos φ = 0;

D = (-1)2 + 4 × (1 - cos φ) × cos φ = 1 - 4 cos φ + 4 cos2φ = (1 - 2 cos φ)2;

— не є розв’язком;






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.