Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 15. Двогранні кути

520.

Нехай дано двогранний кут, міра якого 60°, ∠AOB = 60°. AO ┴ MN, BO ┴ MN, АВ ┴ β, АВ = 12 см. ΔАОВ — прямокутний.

521.

Нехай дано двогранний кут, який дорівнює 45°. т. В ϵ α, ОВ = 8 дм.

АВ ┴ β. Δ ΟΒΑ — прямокутний.

522.

Нехай дано двогранний кут ∠BOA.

Катет ВА лежить проти ∠О і вдвічі менше гіпотенузи ОВ, отже ∠BOA = 30°, а міра двогранного кута 30°.

523.

Нехай з точок А і В однієї грані гострого двогранного кута

опущено перпендикуляри АA1, BBt на другу грань і АА2, ВВ2 — на ребро.

АА1 = 3 дм, АА2 = 5 дм, ВВ1 = 9 дм. АА1 ┴ a, ВВ2 ┴ a, отже, A1A ‖ B2B.

АА1 ┴ a; Β1Β2 ┴ а, отже, А1А2 ‖ В1В2. ∠A2 = ∠Β2, ∠Α1 = ∠B1, ΔАА2А1 – ΔBB2B1.

З подібності трикутників маємо:

Відповідь: 15 см.

524.

Нехай точка А віддалена від грані α на АВ = 3 дм; від грані β на АВ = 4 дм.

АС — відстань від точки А до ребра а двогранного кута.

ABCD — прямокутник. ΔADC — прямокутний.

АС2 = AD2 + CD2 → АС2 = 32 + 42 = 16 + 9 = 25, АС = 5 дм.

Відповідь: 5 дм.

525.

Нехай двогранний кут дорівнює 60°. ∠ACB = 60°. СА ┴ а; СА = 3,2 дм;

СВ ┴ a; СВ = 1,2 дм.

Розглянемо ΔABC.

За теоремою косинусів маємо: АВ2 = АС2 + ВС2 – 2AС × ВС cos 60°;

Відповідь: 2,8 дм.

526.

Нехай з точки А на грані двогранного кута опущені перпендикуляри

АК ┴ ОС; АР ┴ О В; АК = АР = 36 см; ∠COB = 120°; ΔΑΚΟ = ААРО

(прямокутні: АО — спільна, АK =АР). ∠ΑΟΚ = ∠ΑΟΡ = 60°;

ΔАОK — прямокутний.

Відповідь:

527.

Нехай дано двогранний кут, точка Р лежить всередині кута, віддалена від його граней на а від ребра на 2m. PM ┴ α, РК ┴ β; РK = m. РО = 2m.

ΔΟΡΜ — прямокутний, ∠ΡΟΜ = 90°;

∠ΡΟΜ = 45°; ΔОКР — прямокутний, ∠ΡΟΚ = 90°;

∠ΡΟΜ = 30°. Міра двогранного кута: ∠KOM = ∠ΚΟΡ + ∠ΡΟΜ = 30° + 45° = 75°. Відповідь: 75°.

528.

Нехай дано двогранний кут з ребром, прямі а і b лежать у гранях двогранного кута, а ‖ b. MN — відстань між цими паралельними прямими, MN = 13 см;

МР ┴ m; МР = 7 см; NP ┴ m; NP = 8 см. (прямі а і b віддалені від ребра кута на відстані МР і PN). ∠MPN — лінійний кут двогранного кута.

Розглянемо ΔΜΡΝ. Знайдемо кут Р.

ΜΝ2 = МР2 + ΡΝ2 – 2МР × PN × cos ∠P;

отже ∠P = 120°.

Отже, міра двогранного кута ∠MPN = 120° .

Відповідь: 120°.

529.

Нехай міра двогранного кута 100°. ∠HOP = 100°, тоді ∠HOS = 80°. ΔHOS — прямокутний. SH ┴ β, ∠HSO —– кут між площиною однієї його грані і перпендикуляром до другої грані. ∠HSO = 10°.

Відповідь: 10°.

530.

Нехай МАВС — зображення правильного тетраедра. МО ┴ пл. ΔABC.

OK ┴ AB, АK = KB; МK ┴ АВ за теоремою про три перпендикуляри.

Отже, ∠MKO — лінійний кут одного з двогранних кутів правильного тетраедра.

531.

Нехай МАВС — зображення правильного тетраедра. ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ. Нехай ребро тетраедра АВ = a. OK = г — радіус кола, вписаного в тетраедр.

ΔАМК — прямокутний, AM = а;

Відповідь: міра двогранного кута правильного тетраедра

532.

а)

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду MABCD, бічне ребро МС = 5 см, ребро основи АВ = 6 см. МО ┴ (ABCD), OK ┴ ВС, МK ┴ ВС за теоремою про три перпендикуляри. ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи. ОК — радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, ОK = 3 см.

ΔМKС — прямокутний, МK ┴ КС, ∠MKC = 90°, МК = 4 см. ΔAMOK —– прямокутний, ∠MKO — лінійний кут при ребрі основи піраміди.

б)

Нехай дано правильну трикутну піраміду МАВС, бічне ребро якої дорівнює 5 см, МС = MB = МА = 5 см, ВС = 6 см, ВС — ребро основи.

МО ┴ пл. ΔАВС, OK ┴ ВС, МК ┴ ВС (за теоремою про три перпендикуляри). ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи.

ΔМKС — прямокутний, МK = 4 см, ОK — радіус кола, вписаного в основу піраміди. де r = ОK,

ΔMOK — прямокутний.

Відповідь:

533.

Нехай дано піраміду, в основі якої лежить трикутник зі сторонами АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС =15 см, а всі двогранні кути при основі рівні. Висота піраміди МО = 4 см. Якщо всі двогранні кути при основі піраміди рівні, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу піраміди.

МО ┴ (ΔABC). OK = OF = OP = r — радіус вписаного кола. OK ┴ АВ, МK ┴ АВ, ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. ОК = г,

де S — площа ΔАВС, Р — периметр ΔАВС.

де

∠MKO = 45°.

Відповідь: 45°.

534.

Нехай дано піраміду SABCD, у якої ребро перпендикулярне до площини

основи ABCD і дорівнює BD.

a)

ABCD — квадрат, SB ┴ пл. кв. ABCD.

1) Міра двогранного кута при ребрі AD.

∠SAB — лінійний кут двогранного кута при ребрі AD.

SB ┴ пл. ABCD; АВ ┴ AD; AS ┴ AD.

Нехай АВ = а,

2) Міра двогранного кута при ребрі DC.

SB ┴ (ABCD), ВС ┴ CD, SC ┴ CD, ∠SCB — лінійний кут при ребрі CD.

3) Міра двогранного кута при ребрі SB.

АВ ┴ SB; СВ ┴ SB; ∠ABC — лінійний кут двогранного кута при ребрі SB.

∠ABC = 90°.

б)

Нехай основа піраміди SABCD — прямокутник зі сторонами 5 см і 12 см.

АВ = 5 см; ВС = 12 см; SB = BD; ΔABD: BD2 = АВ2 + AD2; ВD2 = 25 + 144 = 169; BD = 13; SB = BD = 13(см).

1) Міра двогранного кута при ребрі АВ ∠SAB — міра двогранного кута при ребрі АВ.

2) Міра двогранного кута при ребрі DC. ∠SCB — міра двогранного кут при ребрі DC.

3) Міра двогранного кута при ребрі BS. АВ ┴ BS, ВС ┴ BS, ∠ABC = 90°.

в) Нехай основа піраміди ромб, у якого ∠BAD = 60°. BS ┴ (ABCD).

1) SF ┴ DC, BF ┴ DC. ∠SFB — лінійний кут двогранного кута при ребрі DC.

BP ┴ AD, SP ┴ AD, ∠SPB — лінійний кут двогранного кута при ребрі AD.

∠SFB = ∠SPB.

ΔABD — різносторонній. АВ = BD = AD = а.

S = DC × BF;

г)

Нехай основа піраміди — паралелограм зі сторонами 4 см і 6 см та кутом

∠ABC = 120°.

ΔABD; BD2 = АВ2 + AD2 – 2АВ × AD cos 60°;

BD2 = 16 + 36 – 24; BD2 = 28;

SB ┴ (ABCD). BK ┴ DC, SK ┴ DC; ∠SKB — лінійний кут двогранного кута при ребрі DC.

SB ┴ (ABCD); BF ┴ AD; SF ┴ AD. ∠SFB — лінійний кут двогранного кута при ребрі AD.

ΔABF — прямокутний.

ΔВСК — прямокутний.

536.

Нехай дано тетраедр ABCD, у якого АВ ┴ АС, АВ ┴ AD, АС ┴ AD. AB = АС = АD.

ΔАВС = ΔAACD = ΔABD (за двома рівними катетами). Отже, ВС = CD = BD, тому ΔDBC — рівносторонній. Проведемо АО перпендикулярно площині ΔBCD. OK ┴ CD, тоді AK ┴ CD (за теоремою про три перпендикуляри).

∠АКО — міра двогранного кута при ребрі CD.

Нехай ВС = CD = BD = а, ОК — радіус кола, вписаного в рівносторонній ΔBCD.

де r = ОК.

ΔACD — рівнобедрений прямокутний трикутник. АK — висота і медіана.

СК = KD, ∠ACK = ∠CAK = 45°.

ΔАСК.

Кути при ребрах ВС, BD, CD рівні.

Відповідь:

537.

Нехай дано піраміду SABCD, в основі якої лежить квадрат ABCD.

SB ┴ (ABCD). SB = AB = ВС = CD = AD. AB ┴ AD, SB ┴ (ABCD),

тоді за теоремою про три перпендикуляри SA ┴ AD,

∠SAB — міра двогранного кута при ребрі AD.

Аналогічно ∠SCB — міра двогранного кута при ребрі CD.

∠SBC — міра двогранного кута при ребрі AB. ∠SBC = 90°, AB ┴ BS.

ΔABS — міра двогранного кута при ребрі ВС. ∠ABS = 90°, BC ┴ SC.

∠SAB = ∠SCB = 45°.

∠SAB = ∠SCB — рівнобедрені прямокутні трикутники.

Відповідь: 90° , 90°, 45°, 45°.

538.

Нехай дано зображення похилої трикутної призми ABCA1B1C1,

основою якої є правильний ААВС зі стороною а. АВ = ВС = АС = а.

О — центр основи ΔАВС. О — проекція точки В1. ВO1 ┴ площині ΔАВС.

OK ┴ ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри B1K ┴ ВС.

∠B1KO — міра двогранного кута при ребрі ВС. ∠B1BO = 45°.

О — центр ΔАВС. ОB — радіус кола, описаного навколо ΔАВС.

ΔBB1O — прямокутний, В1O = ВО, ΔB1OK — прямокутний.

ОK — радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник

∠B1KO = arctg 2.

539.

Нехай точка Q лежить всередині двогранного кута, міра якого 60°,

точка Q віддалена від граней на 3 см і 5 см. AQ ┴ α, AQ = 3 см;

QB ┴ β, QB = 5 см.

QC — відстань від точки Q до ребра цього кута (m — ребро кута).

ΔАСО — прямокутний. ∠BCQ = x, тоді ∠ACQ = 60° – х.

ΔQCB — прямокутний.

5 sin(60° – x) = 3 sin х; 5 sin 60° cos х – 5 cos 60° sin х = = 3 sin х;

BQ = 5;

540.

Нехай величина двогранного кута 60° = ∠ACB. а ‖ b,

відстань між ними 14 см. АС ┴ m, ВС ┴ m. Нехай ВС – АС = 10 см.

Нехай АС = х, тоді ВС = х + 10.

ΔΑВС: за теоремою косинусів маємо;

АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС × ВС × cos 60°;

196 = х2 + x2 + 20x + 100 – x2 – 10x; x2 + 10x – 96 = 0; D = 100 + 4 × 96 = 484;

(не задовольняє умові задачі).

Отже, АС = 6 см, BС = 16 см.

Відповідь: 6 см, 16 см.

541.

Нехай кінці відрізка АВ належать різним граням двогранного кута і віддалені від його ребра m на AD = 6 см, ВС = 10 см, AD ┴ m, ВС ┴ m, міра кута 120°. Відстань між основами перпендикулярів АВ і ВС дорівнює

Проведемо DK ┴ m, DK = 10.

ΔАВК. ∠ADK – 120°, за теоремою косинусів знайдемо АK.

АК2 = АВ2 + DK – 2AD × DK × cos∠ADK;

АК2 = 36 + 100 – 2 × 6 × 10 × cos 120° = 136 + 60 = 196;

ΔАВК — прямокутний, m X пл. ΔADK, m ┴ DC, ВK ┴ DC. ∠AKB = 90°,

Відповідь: 22 см.

542.

Нехай дано прямий двогранний кут з ребром а.

Кінці відрізка АВ лежать на гранях двогранного кута і віддалені від його ребра на 12 см і 16 см. AD ┴ a. AD = 12 см, BD ┴ a, BD = 16 см.

В площині ΔADВ проведемо DK ┴ АВ. Оскільки а ┴ (AABD), DK ∠(AABD),

то

а ┴ DK, отже, DK — відстань від відрізка АВ до ребра двогранного кута.

З ΔABD за теоремою Піфагора: АВ2 = AD2 + BD2; АВ2 = 122 + 162 = 400;

АВ = 20 см. AD2 = AB x AK;

ΔADK — прямокутний, за теоремою Піфагора маємо: DK2 = AD2– АК2;

DK2 = 144 – 51,84 = 92,16;

Відповідь: 9,6 см.

543.

Нехай дано точки А і В на ребрі двогранного кута міри φ.

AC ┴ m, BD ┴ m, m — ребро кута. АС = b, BD = а, АВ = а.

Проведемо AF ┴ АС, AF = с. ∠CAF = φ.

ΔACF, за теоремою косинусів знайдемо CF.

CF2= АС2 + AF2– 2АС × AF × cos φ;

CF2 = b2 + с2 – 2bc cos φ.

ΔCFD — прямокутний, m ┴ c, m ‖ FD.

∠ CFD = 90°. CD2 = CF2 + FD2.

CD2 = b2 + c2 + a2 – 2bc cos φ;

Відповідь:

544.

Нехай кінці відрізка АВ лежать у гранях двогранного кута, AM — відстань від точки А до ребра m, АМ ┴ m, BN — відстань від точки В до ребра m. BN ┴ m.

AM = BN за умовою.

З рівності трикутників кути ∠ABM = ∠BAN. ΔАМВ = ΔNAB, АВ — спільна,

AM = NB. Отже, ∠ABM = ∠BAN, що й треба довести.

545.

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого АВ = АС, АВ ┴АС. Його зігнули по діагоналі АС так, що ∠BAD = 60°. Тоді сторона AD належить площині α, a сторона АВ лежить у площині β. АС — ребро двогранного кута.

Проведемо AF ┴ m, де m — ребро двогранного кута. ∠FAB — міра двогранного кута при ребрі m, або міра двогранного кута, утвореного площинами трикутників ΔABC і AADC. ΔАВС — прямокутний.

Нехай АВ = АС = а, тоді ВС2 = а2 + а2 = 2а2;

FA ┴ m, АВ ┴ m, тоді ∠FAB = α — міра двогранного кута, утвореного площинами трикутників ABC і ADC.

Розглянемо ΔABD. ∠A = 60°. BD2 = AD2 + АВ2 – 2AD × АВ ×cos60°;

ΔFDB — прямокутний.

ΔFAB. За теоремою косинусів маємо: FB2 = FA2 + АВ2 – 2FA × AB × cos∠FAB;

φ = 45°.

Відповідь: 45°.

546.

Геометричним місцем точок двогранного кута, рівновіддалених від його граней, є півплощина, яка виходить з ребра даного двогранного кута і ділить кожний його лінійний кут навпіл.

Якщо через АВ даного двогранного кута провести півплощини α1 і β1, перпендикулярні відповідно до граней а і β двогранного кута, дістанемо новий двогранний кут Р. Кожна точка даного кута Р і його внутрішньої області також рівновіддалена від граней а і β даного двогранного кута. Шуканим геометричним місцем точок є об’єднання бісектора даного двогранного кута і двогранного кута F (разом з його внутрішньою областю).

548.

Нехай ABCD — тетраедр. Бісектори всіх двогранних кутів будь–якого тетраедра проходять через точку D — вершину тетраедра.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити