Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 16. Тригранні кути

562.

Нехай дано тригранний кут, усі плоскі кути якого прямі. Лінійний кут кожного тригранного кута прямий, отже всі його двогранні кути прямі.

563.

Якщо всі двогранні кути тригранного кута рівні, то кожний з них більше за 60°, оскільки ∠1 + ∠2 + ∠3 > 180°; ∠Α = ∠1 – ∠2 = ∠3, то 3∠A > 180°, ∠A > 60°, що й треба було довести.

564.

Нехай кожний плоский кут тригранного кута дорівнює 60°.

α = β = γ = 60°. OB ┴ МА, CO ┴ MA, ΔCOB — двогранний кут тригранного кута АМВС.

За теоремою косинусів для тригранного кута маємо: якщо α, β, γ— плоскі кути тригранного кута, a ∠СОВ — його двогранний кут, то

Відповідь:

565.

Нехай α = 45°, β = 45°, γ = 60°.

∠A — двогранний кут, протилежний куту а.

∠B — двогранний кут, протилежний куту β.

∠C — двогранний кут, протилежний куту γ.

cos γ = cos α × cos β + sin α × sin β × cos ∠ C;

cos ∠C = 0; ∠C = = 90°;

cos α = cos β = cos β × cos γ + sin β × sin γ × cos ∠A;

Відповідь: ∠C = 90°.

566.

Нехай α = 120°, β = 120°, γ = 90°.

∠ C — двогранний кут, який лежить проти меншого плоского кута.

cos γ = cos α × cos β + sin α × sin β × cos ∠C;

cos 90° = cos 120° × cos 120 × sin 120° × sin 120° × cos ∠C;

1 = 3 cos ∠C;

Відповідь:

567.

Нехай дано тригранний ∠AOBC, ∠BOC = 90°; ∠AOB = ∠AOC = 60°, OA = а. Проведемо AO1 ┴ BOC. Ο1Κ ┴ ОС; O1F ┴ OB. AK ┴ OC, AF ┴ OB за теоремою про три перпендикуляри. OP — бісектриса ∠BOC, ∠COO1 = ∠FOO1 = 45°. Розглянемо ΔAOK — прямокутний, ∠ZAKO = 90° .

ΔОО1K — рівнобедрений прямокутний трикутник.

ΔАО 1 К — прямокутний. ∠ ΑΟ 1 Κ = 90°.

Відповідь:

568.

Нехай дано тригранний кут ОАВС, усі плоскі кути якого дорівнюють 60°.

Проведемо AK ┴ пл. BOC; ∠ΑΟΚ — кут між ребром ОА і площиною ∠BOC.

ВК ┴ ОВ, AB ┴ ОВ.

Нехай АО = а, Δ ОВК — прямокутний, ∠OBK = 90°.

ΔАОК — прямокутний.

569.

Нехай дано тригранний кут РАВС. ∠BPC = 90°. Проведемо AF ┴ РК, РK — бісектриса кута ВРС.

∠APF = 45°. ∠APB = ∠APC, FM ┴ PC, AM ┴ PC. FE ┴ PB, AE ┴ PB за теоремою про три перпендикуляри. Δ PAF — прямокутний.

Нехай АР — а, тоді

ΔPFM — прямокутний, ∠P = 90°. РК — бісектриса. ∠FPM = 45°. PM = MF = x; PM2 + МР2 = РР2;

ΔРАМ — прямокутний. ∠ZAPM = 60°.

Відповідь: 60°.

570.

Нехай дано тригранний кут ОАВС, у якого всі плоскі кути ∠COB, ∠BOA, ∠AOC рівні і дорівнюють 90°. Всередині кута проведемо відрізок ОМ, проекції якого на ребра кута дорівнюють а, b, с; а = 2 см, b = 3 см, с = 6 см.

Нехай ОЕ = х, OF = у, OQ = z.

ОМ2 = х2 + у2 + z2;

Відповідь:

571.

Всередині прямого тригранного кута взято точку М, яка віддалена від ребер цього кута на 12 см, 16 см, 21 см. КМ — відстань від точки М до точки K (відстань від точки до вершини кута КСВА).

Нехай МР = 12 см, MN = 16 см, ME = 21 см.

МK2 = МР2 + MN2 + ME2 = 144 + 256 + 441 = 841.

Відповідь: 29 см.

572.

Нехай дано тригранний кут ОАВС.

∠АОС = ∠АОВ — плоскі кути тригранного кута.

Нехай АK ┴ площини ВОС, KF ┴ ОС; AF ┴ ОС за теоремою про три перпендикуляри.

ΔAFK — міра двогранного кута. KР ┴ OB; PA Δ ОB за теоремою про три перпендикуляри. ∠АРK — міра двогранного кута.

ΔAOF = ΔАОР — прямокутні, ОА — спільна сторона, ∠AOF = =∠АОР,

отже, AF = АР.

ΔAKF = ΔАKР (прямокутні). AF = АР, АK — спільна сторона.

Отже, ∠AFK = ∠АРK.

Обернене твердження: якщо в тригранному куті двогранні кути рівні,

то плоскі кути теж рівні.

573.

Нехай дано прямий тригранний кут, у якого всі плоскі кути прямі.

∠АОВ = ∠ВОС = ∠АОС = 90°. ОА = а, ОВ = b, ОС = с.

З ΔАОВ за теоремою Піфагора: АВ2 = а2 + b2.

З ΔВОС: ВС2 = b2 + с2. З ΔАОС: АС2 = а2 + с2.

Нехай АВ = m, ВС = n, АС = р.

574.

Нехай всередині тригранного кута з плоскими кутами 90°, 90°, 120°

взято точку, яка віддалена від граней цього кута на 12 см, 12 см і 2 см.

∠LOK = ∠LOM = 90°, ∠KОМ = 120°.

АМ1=АK1 = 12 см, АВ = 2 см.

АО — відстань від точки А до вершини кута О.

ΔОКР — прямокутний.

ВK ┴ ОK, ВK = 12 см, ОВ = ВK.

ΔΟΑΒ — прямокутний, ∠АБО = 90°, АВ ┴ (KОМВ), ∠ОВА = 90°, АВ = 2 см.

За теоремою Піфагора маємо: ОА2 = АВ2 + ОВ2;

Відповідь: 14 см.

575.

Нехай дано всередині прямого тригранного кута ОАВС точку Р, яка віддалена від його граней на 6 см, 8 см, 24 см. PP1 = 6 см, PA 1 = 8 см, PC1 = 24 см.

∠AOO1 = ∠O1OC = ∠АОС = 90°.

3 ΔΑΟΡ1 — прямокутного (∠OAP1 = 90°). OP2 = AO2 + AP2;

ΔОРР1 — прямокутний, ∠POP1 — кут, який утворює пряма ОР з гранню АОС.

ΔОСС1. ОС1 = 10 (см); ОС1 = 10 А:;

ΔОАА1.

576.

Нехай дано тригранний кут МАВС, всі плоскі кути якого дорівнюють 60°.

∠AMB = ∠BMC = ∠AMC = 60°.

Всередині кута взято точку О, яка віддалена від усіх ребер кута на 2 см.

МО Δ (ABC). О ϵ (ABC). OK ┴ АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри

МK ┴ АВ. В площині МKО проведемо РО ┴ МK, ОР = 2 см, РО — відстань від точки О до грані АМВ. ОМ — відстань від точки О до вершини М кута АМВС. ΔАМВ — рівнобедрений, AM = MB, МK — висота, медіана, бісектриса, АK = ВK, ∠AMK = ∠BMK = 30°.

Нехай АK = х, тоді

Відповідь: 6 см.

577.

Нехай дано тригранний кут, плоскі кути якого ∠AMB = ∠BMC = ∠AMC = 60°. Всередині кута взято точку О, яка відділена від ребер цього кута на a:

OK ┴ АВ; МK ┴ АB; OP ┴ МK; OP = a; OP ┴ пл. МАВ.

ΔМАK. Нехай АK = х, тоді

ОК з ΔВСА.

ΔMOK: МО2 = МK2 – ОK2;

ΔMOK — прямокутний. ∠MOK = 90°;

або МО × ОK = МK × ОР;

Звідки: МО = 3а, де МО — відстань від точки О до вершини тригранного кута,

у якого всі плоскі кути дорівнюють 60°.

578.

Кожний плоский кут тригранного кута дорівнює α. ∠AMB = ∠BMC = ∠AMC = α.

MN — бісектриса плоского кута. Кут між його ребром

і бісектрисою протилежного плоского кута дорівнює

579.

Двогранні кути тригранного кута дорівнюють 90°, В і B1.

Якщо С = 90° , то cos γ = cos α × cos β. Плоскі кути дорівнюють: α; α; φ.

Cos α = ctg B; cos φ = ctg2 B.

580.

Якщо всі двогранні кути тригранного кута рівні, то рівні всі його плоскі кути. Якщо α = β = γ — плоскі кути, a С — його двогранний кут, то

cos γ =cos α × cos β + sin α × sinβ × cos ∠C = cos2 α + sin2 α co ∠ZC.

cos β = cos γ × cos α + sin γ × sin α × cos ∠B = cos2 a + sin2 α cos ∠C і т. д.

581.

Кожний двогранний кут тригранного кута 120°.

cos 120° = cos 120° × cos 120° + sin 120° × sin 120° × cos ∠C;

582.

Із точки А, яка не лежить на площині, проведені до неї дві взаємно перпендикулярні похилі АВ і АС, які утворюють із площиною кути 15 і 75 .

Кути трикутника ABC теж 15 і 75.

583.

Нехай, дано тригранний кут, плоскі кути якого ∠AMB = ∠ВМС = 60°; ∠AMC = 90°.

Площина ABC відтинає рівні відрізки від ребер кута МА = MB = МС.

Ця площина перпендикулярна до площини прямого кута.

584.

Всі три бісектори двогранних кутів тригранного кута мають спільну пряму.

Нехай бісектори двох довільних двогранних кутів даного тригранного кута перетинаються по променю m, початок якого знаходиться у вершині тригранного кута. Тоді кожна точка цього променя буде рівновіддалена від площин усіх трьох граней даного тригранного кута, а отже, бісектор третього двогранного кута теж проходить через промінь m.

585.

Площини, які проходять через ребра непрямого тригранного кута і перпендикулярні до протилежних граней, мають спільну пряму.

586.

Геометричним місцем внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер, є промінь.

587.

Для плоских кутів будь–якого тригранного кута має місце нерівність:

cos α × cos β + cos β × cos γ + cos γ × cos α + 1 >0.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити