Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§3. Рівняння сфери, площини і прямої

79.

(x – 1)2 + у2 + (2 – 4)2 = 25.

80.

A(10; 0; 0), В(0; 10; 0), С(0; 0; 10).

81.

M(3; 2; -1) не належить сфері.

x2+ у2 + z2 – 2х + 4у – 6z - 2 = 0, бо

32 + 22 + (-1)2 – 2 × 3 + 4 × 2 – 6 × (-2) - 2 = 0 — невірно.

Тобто координати точки М не задовольняють рівнянню сфери.

82.

R2 = ВМ2 = (2 – 1)2 + (0 - 1)2 + (-1 – 3)2 = 1 + 1 + 16 = 18.

Тоді рівняння сфери має вигляд: (x – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 3)2 = 18.

83.

АВ — діаметр, О — центр сфери — середина АВ.

0(-1; 2; 3); R2 = ОA2 = (-2 + 1)2 + (1 – 2)2 + (4 – 3)2 = 1 + 1 + 1 = 3.

Тоді рівняння сфери має вигляд: (х + 1)2 + (у – 2)2 + (z – 3)2 = 3.

84.

R2 = АВ2 – (0 + 2)2 + (2 – 1)2 + (1 – 3)2 = 4 + 1 + 4 = 9.

Рівняння сфери:

1) Якщо А — центр сфери: (х + 2)2 + (у – 1)2 + (z – 3)2 = 9.

2) Якщо В — центр сфери: x2 +(y – 2)2 + (z – 1)2 = 9.

85.

Якщо сфера перетинає вісь х, то в точках перетину х = 0, у = 0

x2 + 02 + 02 - 4х = 12; х2 – 4x – 12 = 0; x = -2, х = 6.

(-2; 0; 0), (6; 0; 0) — точки перетину сфери з віссю х.

86.

Точки перетину з віссю х:

х2 – 16x + 19 = 0;

Точки перетину з віссю у:

у2 - 12у + 19 = 0;

Точки перетину з віссю z: z2 + 19 = 0, рівняння розв’язків немає.

Сфера не перетинає вісь z.

87.

(х - 2)2 + (у – 4)2 + (z - З)2 = 25 — рівняння сфери.

Точки перетину сфери з площиною (ху) мають координати (х; у·, 0).

Тоді (х – 2)2 + (у – 4)2 + 32 = 25 — рівняння лінії перетину сфери і площини (ху).

(x – 2)2 + (у – 4)2 = 16 — рівняння лінії перетину.

Лінія перетину — коло з центром (2; 4; 0), R = 4.

l = 2πR = 2π × 4 = 8π.

88.

а) (-2; 3; 1) — центр. (-2; 3; 0) — точка сфери, R = 1.

(х + 2)2 + (у – 3)2 + (z – 1)2 = 1.

б) (-2; 3; 1) — центр. (0; 3; 1) — точка сфери, R = 2.

(х + 2)2 + (у – 3)2 + (z –1)2 = 4.

в) (-2; 3; 1) — центр. (-2; 0; 1) — точка сфери, R = 3.

(х + 2)2 + (у – 3)2 + (2 – 1)2 = 9.

89.

а) х2 + у2 + 22 - 2х + 4у – 2z = 31;

2 – 2x + 1) + (у2 + 4у + 4) + (z2 – 2х + 1) – 6 = 31;

(х – 1)2 + (у + 2)2 + (z – 1)2 = 37;

(1; -2; 1) — центр,

б) х2 + у2 + z2 + 6х – 2у = 26;

2 + 6х + 9) + (у2 – 2у + 1) + z2= 26 + 10;

(х + 3)2 + (у – 1)2 + z2 = 36;

(-3; 1; 0) — центр, R = 6.

90.

Площина 2x + 4у + Зz – 7 = 0 не проходить через точу А(2; 3; -1),

бо 2 × 2 + 4 × 3 + 3 × (-1) – 7 = 0 — невірно.

Площина 2х + 4у + Зz – 7 = 0 проходить через точку B(-1; 0; 3),

бо 2 х (-1) + 4 х 0 + 3 × 3 – 7 = 0 — вірно.

91.

Точка перетину з віссю х: (-3; 0; 0). 2 × x – 0 + 3 × 0 + 6 = 0; x = -3.

Точка перетину з віссю у: (0; 6; 0). 2 × 0 – у + 3 × 0 + 6 = 0; у = 6.

Точка перетину з віссю z: (0; 0; -2). 2 × 0 – 0 + 3 × 2 + 6 = 0; z = -2.

92.

Якщо площина проходить через вісь х, то будь-яка точка осі х лежить на площині, наприклад (0; 0; 0), (5; 0; 0) і за умовою площина проходить через А(1; 1; 1).

ах + by + cz + d = 0; 0 × х – су + сz + 0 = 0 або у – z = 0 — рівняння площини, яка проходить через А(1; 1; 1) і вісь х.

93.

Якщо площина проходить через т. А(2; 3; 4) і паралельна площині (ху),

то ця площина проходить через будь-яку точку (х; у; 4), наприклад, (0; 5; 4) і (0; 0; 4).

Тоді рівняння площини має вигляд:

dz – 4d = 0; z – 4 = 0; z = 4 — шукане рівняння.

94.

Звідси або 4х - 11у – 6z = 0.

95.

Якщо пряма перетинає площину (ху), то z = 0,

Тоді

Тоді точка перетину з площиною (ху) має координати

Якщо пряма перетинає площину (хz), то у = 0.

Тоді точка перетину з площиною (хz) має координати

Якщо пряма перетинає площину (уz), то х = 0.

Точка перетину з площиною (уz) має координати

96.

або

97.

(0; 5,8; -6,2), (8; 1; 5), (13; -2; 12).

y = 5,8; z = -6,2.

98.

О — середина MN; 0(1; 1; 4).

Рівняння прямої PО: або

99.

5x – 10 = у + 3; у = 5х – 13;

z = 3x – 3.

3x – 2(5x – 13) + 3x – 3 – 7 = 0; 3x – 10x + 26 + 3x – 10 = 0;

-4x = -16; x = 4; y = 5 × 4 – 13 = 7; 2 = 3 × 4 – 3 = 9.

(4; 7; 9) — точка перетину прямої і площини.

100.

x + 2 = 2у – 6; x = 2у - 8;

z + 1 = 4y – 12; z = 4y - 13;

(2y – 8)2 + y2 + (4y - 13)2 = 13;

4y2 – 32y + 64 + y2 + 16y2 – 104y + 169 = 13; 21y2 – 13y + 220 = 0;

Тоді

Отже, пряма і сфера перетинаються в точках і

101.

Площину (ху) сфера перетинає по колу радіуса А2О,

Центр кола Аz(2; 3; 0), коло задається рівнянням (x – 2)2 + (у – 3)2 + z2= 13.

Площину (хz) сфера перетинає по колу з центром А (2; 0; 4),

(x – 2)2 + y2 + (z - 4)2 = 20.

Площину (zy) сфера перетинає по колу з центром (0; 3; 4),

x2 + (у – 3)2 + (z – 4)2 = 25.

102.

Нехай (x; у; z) — центр кола. Тоді R2 = (x – 4)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2;

R2 = x2 + у2 + (z – 2)2; R2 = x2 + (у – 4)2 + z2; R2 = x2 + y2 + х2.

Маємо систему:

R2 = x2 + у2 + z2 = 22 + 22 +12 = 9, (2; 2; 1) — центр кола.

Рівняння має вигляд: (x – 2)2 + (у – 2)2 + (z – 1)2 = 9.

103.

Оскільки центр лежить на осі z, то центр має координати (0; 0; z).

Тоді R = ОА = 0B, звідки ОА2 = ОВ2.

ОА2 = 52 + (1 - z)2; ОB2 = (-2)2 + (4 - z)2; ОА2 = ОB2.

52 + (1 - z)2 = 4 + (4 - z)2; 25 + 1 - 2z + z2 = 4 + 16 - 8z + z2;

6z = -6; z = -1; (0; 0; -1) — центр кола, R2 = 29.

Рівняння має вигляд х2 + у2 + (z + 1)2 = 29.

104.

ГМТ є сфера з центром (2; 1; -4) і R = 7 або R = 3.

105.

х2 + у2 + z2 - 4х + 2у = 4; (x2 – 4x + 4) + (у2 + 2y + 1) + z2= 4 + 5;

(х - 2)2 + (у + 1)2 + z2= 9 — сфера з центром O(2; -1; 0), R = 3.

(х - 6)2 + (y + 1)2 + (z - З)2 = а2 — сфера з центром O1(6; -1; 3), R = а.

— відстань між центрами.

Якщо а = 5 - 3 = 2 або а = 5 + 3 = 8, то сфери мають одну спільну точку

(дотикаються зовнішнім та внутрішнім дотиком).

Якщо а ϵ (2; 8), то сфери перетинаються. Якщо а ϵ (0; 2) \cup (8; +∞), то сфери спільних точок не мають.

106.

а)

х = 3 — площина, яка проходить через т. (3; 0; 0) і паралельна площині (уz);

б)

площина у = 4 проходить через т. (0; 4; 0) паралельно площині (xz);

в)

z = 5 — площина, яка проходить через т. (0; 0; 5) паралельно площині (ху);

г)

у - 4х = 0 — площина, яка проходить через пряму у - 4х і вісь z;

ґ)

у - z - 2 = 0 — площина, яка проходить через пряму у = z + 2

перпендикулярно до площини (zу);

д)

х + у + z = 4 — площина, яка проходить через точки (4; 0; 0); (0; 4; 0); (0; 0; 4).

107.

ах + by + сz = 0 — рівняння площини, яка проходить через початок координат

(0; 0; 0), оскільки за будь-яких значень а, b, с координати точки

(0; 0; 0) задовольняють рівнянню.

а × 0 + b × 0 + с × 0 = 0 — вірно.

108.

А(а; b; с) — точка площини, основа перпендикуляра ОА.

Р(х; у; z) — довільна точка площини.

бо

а(х - а) + b(у - b) + с(z - с) = 0; ах - а2 + by - b2 + сz - с2 = 0;

ах + by + сz - (а2 + b2 + с2) = 0— рівняння площини а.

109.

Складемо рівняння площини, яка проходить через т. A(2; 0; 0);

т. B(0; 2; 0) і т. С(0; 0; 2).

ax + by + cz + d = 0

або x + y + z- 2 = 0.

110.

A(a; 0; 0); т. B(0; b; 0) і т. C(0; 0; c). Ax + By + Cz + D = 0

або

111.

A(4; 0; 0); т. B(0; 4; 0) і т. C(3; 4; 0).

Площина AОВ: z = 0.

Площина AOO1: у = 0.

Площина BOO1: x = 0.

Площина ACC1: x = 3.

Площина СВВ1: у = 4.

Площина А1С1В1: z = 5.

112.

Координати точок прямокутного паралелепіпеда задовольняють

систему нерівностей.

113.

4х + 3у - 4 = 0 — рівняння площини. x2 + у2 + z2 - 2х + 8у + 8 = 0;

(x2 - 2х + 1) + (у2 + 8у +16) + z2- 17 + 8 = 0;

(x - 1)2 + (у + 4)2 + z2 = 9 — рівняння сфери.

O(1; -4; 0) — центр сфери. Якщо т. О належить даній площині,

то координати точки О задовольняють рівнянню сфери.

Перевіримо: 4 × 1 + 3 × (-4) - 4 = 0 — невірно, тому центр сфери

не лежить в даній площині.

114.

O(0; -1 ; 2) — центр сфери, знаходиться у площині (уz).

Площина z = 2 - у перетинає площину (zу) по прямій z = 2 - у, а сферу перетне по колу, радіус якого г ми знайдемо з ΔOKN, де ON — радіус R сфери; ОK — відстань від т. О до прямої z = 2 - у.

115.

Знайдемо Р — точку перетину відрізка АВ і площини Зх + 2y + z - 17 = 9.

Рівняння АВ: або х = 2t + 1; у = 2t – 1; z = -t + 4.

Підставимо в рівняння площини: 3 × (2t + 1) + 2(2t - 1) – t + 4 - 17 = 0;

6t + 3 + 4t - 2 - t - 13 = 0; 9t = 12;

Отже,

Р — точка перетину відрізка і площини ділить відрізок АВ у відношенні





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити