Розв’язання усіх вправ і завдань до підручника «МАТЕМАТИКА. 6 клас» Істера О. С. - 2016 рік

ДЛЯ ТИХ, ХТО ЛЮБИТЬ МАТЕМАТИКУ

1560. Значення виразу 41 ∙ 42 ∙ 43 ∙ 45 закінчується цифрою 0, значення виразу 52 ∙ 53 ∙ 54 ∙ 57— цифрою 8. Оскільки 52 ∙ 53 ∙ 54 ∙ 57 > 41 ∙ 42 ∙ 43 ∙ 45, то 41 ∙ 42 ∙ 43 ∙ 45 - 52 ∙ 53 ∙ 54 ∙ 57 = -(52 ∙ 53 ∙ 54 ∙ 57 - 41 ∙ 42 ∙ 43 ∙ 45) = -...8.

Відповідь. 8.

1561. 1) Так, бо 10 = 2 ∙ 5;

2) ні, наприклад, число 18 кратне числу 2 і числу 6, але не кратне числу 12.

1562. |х + b| = а. Розглянемо випадки:

1) якщо а < 0, то рівняння не має розв’язків;

2) якщо а = 0, то х + b = 0; х = -b;

3) якщо а > 0, то х + b = а або х + b = -а; х = а - b або х = -а - b.

1563. Число 2015105 закінчується цифрою 5, а число 276106 — цифрою 6, тому значення виразу 2015105 - 276106 не закінчується цифрою 0, а, отже, воно не кратне 10.

1564. Розглянемо випадки.

1) Усі три числа а, b і с є одночасно парними або непарним. Тоді значення кожного з виразів |а - b|, |b - с| і |с - а| є парним, а тому сума |a - b| + |b - с| + |с - а| є парним числом;

2) серед чисел а, b і с два числа є парними, а одне — непарним, наприклад, а і b — парні, с — непарне. Тоді значення виразу |а - b| є парним числом, значення виразів |b - с| і |с - а| — непарними числами. Тому сума |а - b| + |b - с| + |с - а| є парним числом як сума парного і двох непарних чисел;

3) серед чисел а, b i с одне число є парним, наприклад, а — парне, а, b і с — непарні. Тоді значення виразів |а - b| і |с - а| є непарними числами, а значення виразу |b - с| — парним числом. Тому |а - b| + |b - с| + |с - а| є парним числом як сума двох непарних і парного чисел.

1565. Вимірюю висоту стовпчиків. Маємо: 39 + 31 + 18 + 27 = 115 (мм); 1150 : 115 = 10 (марок). Отже, 1 мм висоти стовпчика на діаграмі відповідає 10 маркам. Тоді у Сергія є 39 ∙ 10 = 390 (марок) про видатних українців, 31 ∙ 10 = 310(марок) про спорт, 18 ∙ 10 = 180(марок) про автомобілі, 27 ∙ 10 = 270 (марок) про тварин.

1566. Якщо до числа 100 дописати праворуч цифру 1, то одержимо 1001. Збільшення становить Якщо до числа 1000 дописати праворуч цифру 1, то одержимо 10001. Збільшення становить Отже, після дописування цифри 1 на більшу кількість відсотків збільшилося число 100.

1567. Нехай у Сергія було х грн, тоді у Петра — (24 - х) грн. У Сергія залишилася а у Петра — (24 - х) - 0,65(24 - х) = 0,35(24 - х) (грн).

Рівняння: Отже, У Сергія Було 14 грн, а у Петра — 24 - 14 = 10 (грн).

Відповідь. 14 грн, 10 грн.

тому Нерівність доведено.

1569. 1) 15151515 : 15 = 1010101; 45454545 : 45 = 1010101. Отже, дріб можна скороти на 1001001:

2) 105105105 : 105 = 1001001; 140140140 : 140 = 1001001. Отже, дріб можна скоротити на 1001001:

1570. Нехай відтоді, коли мені було 8 років, пройшло х років, тоді зараз мені (х + 8) років, а батькові — (х + 31) років. Рівняння: 2(х + 8) = х + 31; 2х + 16 = х + 31; 2х - х = 31 - 16; х = 15. Отже, мені зараз 15 + 8 = 23 (роки).

Відповідь. 23 роки.

1571. Кожні дві прямі можуть утворити 4 прямих кути, тому 6 прямих (три пари прямих) можуть утворити найбільше 3 ∙ 4 = 12 прямих кутів.

1572. 1) Є 6 способів вибрати по 2 ручки з 4 можливих (синя і чорна; синя і червона; синя і зелена; чорна і червона; чорна і зелена; червона і зелена). Тому ймовірність дорівнює

2) усіх пар, у які входить зелена ручка, є 3, тому

Відповідь.

1573. Нехай усе денне замовлення становить х. За перший день робітник виконав х + 0,05х = 1,05х замовлення, а за другий — х + 0,07х = 1,07х замовлення. Тоді за два дні робітник виконав замовлення на Отже, робітник за два дні перевиконав замовлення на 106% - 100% = 6%.

Відповідь. 6%.

1574. Нехай одна корова чорної масті дає за день х л молока, а корова рудої масті — у л молока. Рівняння: 5(8x + 6у) - 4(6х + 10у); 40x + 30у = 24х + 40у; 40х - 24х = 40у - 30у; 16х = 10у; у= 1,6х, тобто х < у. Отже, більше молока дають корови рудої масті.

Відповідь. Рудої масті.

1575. Нехай у гуртку х учнів, з них у — хлопці. Тоді за умовою 0,5х < у < 0,6х, де х і у — натуральні числа. Тоді х має бути таким найменшим числом, щоб між числами 0,5x і 0,6x було натуральне число. Якщо x = 1; 2; 3; 4; 5; 6, то між 0,5x і 0,6x не міститься жодного натурального числа. Якщо х = 7, то: 0,5 ∙ 7 < у < 0,6 ∙ 7; 3,5 < у < 4,2; у = 4. Отже, мінімальна кількість учнів в математичному гуртку дорівнює 7, і серед них с 4 хлопці.

Відповідь. 7 учнів, з яких 4 — хлопці.

1576. Нехай довжина найменшого відрізка АВ = 2x см, тоді довжина середнього за довжиною відрізка ВС — 5x см, а найдовшого відрізка CD — 7x см. Тоді AD = 2x + 5x + 7x = 14x (см). Точка М — середина відрізка АВ, тому AM = MB = 2х : 2 = x (см). Точка N — середина відрізка ВС, тому BN = NC = 5x : 2 = 2,5x (см). Рівняння: x + 2,5x = 7; 3,5x = 7; x = 7 : 3,5; x = 2 (см). Тоді AD = 14 ∙ 2 = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

1577. У числа 2014! є більше 1000 множників 2, бо воно утворене із 2014 множників, 1007 з яких є парними. Тому число 2014! ділиться на

1578. Наприклад, 5; -6; 5; -6; 5; -6; 5.

1579. Із чисел р i р + 17 одне парне, а інше — непарне. Серед парних чисел простим є лише число 2, тому парою простих чисел є 2 і 2 + 17 = 19.

1580. Олександр Семенович випив 1 чашку кави і чашку молока, тобто молока і кави він випив порівну — по 1 чашці.

1581. Якщо велосипедисти, рухаючись у протилежних напрямах, зустрічаються щохвилини, то за 1 хв вони проїжджають разом 450 м, і сума їхніх швидкостей дорівнює 450 м/хв. Якщо ж велосипедисти рухаються в одному напрямку, то вони зустрічаються через кожних 9 хв, тому різниця їхніх швидкостей дорівнює Нехай швидкість одного велосипедиста дорівнює x м/хв., тоді швидкість іншого велосипедиста — (450 - x) м/хв. Рівняння: x - (450 - x) = 50; x - 450 + x = 50; 2x = 50 + 450; 2x = 500; x = 500 : 2; x = 250. Отже, швидкість одного велосипедиста дорівнює 250 м/хв, тоді іншого — 450 - 250 = 200 (м/хв).

Відповідь. 250 м/хв, 200 м/хв.

1582. Нехай від початку доби пройшло x год, тоді до кінця доби залишилося (24 - x) год. Рівняння: Отже, зараз 15.00 год.

Відповідь. 15.00 год.

1583. Нехай одна слива коштує х к. Рівняння: Отже, одна слива коштує 25 к., тоді 20 слив коштує 20 ∙ 25 = 500 (к.) = 5 (грн).

Відповідь. 5 грн.

1584. Нехай було х зошитів. Тоді — ціле число, а число х закінчується цифрою 8. Шукане число має вигляд 3x8 = 308 + 10х, 0 ≤ х ≤ 9. Число 308 + 10x + 4 = 312 + 10х = 26 ∙ 12 + 10х кратне 12. Звідси а = 0 або а = 6. Отже, шуканими числами можуть бути 308 і 368.

Відповідь. 308 і 368.

1585. Нехай у Гліба було х г напою, тоді у Миколи — 1,2х г. Після того, як Гліб відпив зі своєї пляшки 0,02х г, а Микола — 0,19 ∙ 1,2х = 0,228х г, у Гліба залишилося х - 0,02х = 0,98х г, а в Миколи — 1,2х - 0,228х = 0,972х г. Отже, більше напою залишилося у Гліба.

Відповідь. У Гліба.

1586. Це може бути у випадку, коли сьогодні 1 січня, а день народження Дмитра припадає на 31 грудня. Тоді позавчора, тобто 30 грудня минулого року, йому ще було повних 10 років, учора — 31 грудня минулого року— йому виповнилося 11 років, 31 грудня цього року йому виповниться 12, а 31 грудня наступного року йому виповнитися 13.

1587. Оскільки добуток чисел кожного стовпчика квадрата від’ємний, то добуток чисел стовпчиків, а, значить, добуток усіх чисел квадрата, від’ємний.

Припустимо, що немає рядка, у якому добуток чисел від’ємний, тобто всі добутки чисел у рядках — числа додатні. Але тоді добуток усіх чисел квадрата є додатним числом, що суперечить доведеному вище. Тому наше припущення неправильне. Отже, існує рядок, добуток чисел у якому є від’ємним числом.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити