§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

14. Властивості паралельних прямих

Вправи

326. а || b, бо 116° + 64° = 180°. Тоді ∠1 = 108°.

Відповідь: 108°.

327. m || n, бо відповідні кути рівні. Тому ∠2 = 180° - 94° = 86°.

Відповідь: 86°.

328. Нехай один із кутів дорівнює х°, тоді другий дорівнює (180° - х°). За умовою маємо (180 - х) - х = 50, тоді 180 – 2x = 50; 2x = 180 - 50; 2x = 130; x = 65. 180 - x = 180 - 65 = 115. Отже, шукані кути 65° і 115°.

Відповідь: 65° і 115°.

329. Нехай один із кутів дорівнює х°, а другий — 4х°. Оскільки ці кути — односторонні при паралельних прямих: x + 4х = 180; 5х = 180; х = 180 : 5; х = 36. Тоді 4x = 4 х 36 = 144. Отже, шукані кути 36° і 144°.

Відповідь: 36° і 144°.

330. 1) Нехай ∠1 = 48°, тоді ∠2 = ∠1 = 48° — як вертикальні, ∠3 = ∠1 = 48° — як відповідні при паралельних прямих; ∠4 = ∠3 = 48° — як вертикальні.

∠5 = 180° - ∠1 = 180° - 48° = 132° — як суміжні; ∠6 = ∠5 = 132° — як вертикальні;

∠7 = ∠5 = 132° — як відповідні; ∠8 = ∠7 = 132° — як вертикальні.

2) Нехай ∠1 = 2х°, ∠5 = 7х°. Враховуючи, що ∠1 і ∠5 — суміжні, маємо: 2х + 7х = 180; 9х = 180; х = 180 : 9; х = 20. Тоді ∠1 = 2 х 20° = 40°; ∠5 = 7 х 20° = 140°. Отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 40°, ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8 = 140°.

331. Нехай ∠1 = х°, тоді ∠5 = (180 - х)°. Враховуючи, що ∠1 і ∠5 — суміжні, маємо: (180 - х) - х = 24, тоді 180 - 2х = 24; 2х = 180 - 24; 2х = 156; х = 156 : 2; х = 78. Тоді ∠1 = 78°, ∠5 = 180° - 78° =102°. Отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 78°, ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8 = 102°.

332. Оскільки р || k, то ∠1 = ∠2 = 50°. Оскільки m || n, то ∠4 = ∠2 = 50°, ∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 50° = 130°.

Відповідь: ∠2 = 50°, ∠3 = 130°, ∠4 = 50°.

333. ∠A = ∠C, бо ∆АВС — рівнобедрений, ∠A = ∠D — як відповідні кути при паралельних АС і DF та січній AB, ∠F = ∠C — як відповідні кути при паралельних АС і DF та січній АС.

Оскільки ∠A = ∠C, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, то ∠D = ∠F, тобто ∆DBF — рівнобедрений.

334. ∠A = ∠C, бо ∆ABC — рівнобедрений, ∠P = ∠A як відповідні кути при паралельних AB і РК та січній PC. Оскільки ∠A = ∠C, ∠C = ∠P, то ∠A = ∠P, тобто ∆КРС — рівнобедрений.

335. АС || BD, тому ∠OAC = ∠OBD — як односторонні кути при паралельних АС і BD та січній AB, ∠COA = ∠DOB, отже, ∆АОС = ∆BOD (за другою ознакою). Із рівності трикутників маємо: CO =DO.

336. DK = ME, DK || ME. Оскільки DK || ME, то ∠K = ∠M — як різносторонні при паралельних DK і ME та січній МК; ∠D = ∠E — як різносторонні при паралельних прямих DK і ME та січній DE. ∆MEF = ∆KDF (за другою ознакою).

337. 1) Ні; 2) так (якщо вони обидві прямі); 3) так (якщо вони обидві прямі).

338. ∆ВАС = ∆СDA за другою ознакою, бо ∠1 = ∠2 як різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD та січній АС; ∠3 = ∠4 як різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD та січній АС; АС — спільна сторона. Із рівності трикутників маємо: BC = AD.

339. Оскільки ВС = AD, то ∠1 = ∠2 як різносторонні кути при паралельних прямих ВС i AD та січній АС.

∆ABC = ∆CDA за першою ознакою (ВС = AD за умовою, АС — спільна сторона, ∠1 = ∠2 — за доведеним). Із рівності трикутників ∠ВАС = ∠DCA — різносторонні кути при прямих AB і CD та січній АС. Отже, AB || CD.

340. ∠MEF = 180° - ∠KMF - ∠EMF = 180° - 70° - ∠MFE = 110° - 70° = 40°.

Відповідь: 40°.

341. ∠ABC = 180° - ∠MBA - ∠CBK = 180° - 42° - 50° = 82°.

∠BAC = ∠MBA = 42°, ∠ACB = ∠CBK = 56°.

Відповідь: 82°, 42°, 56°.

342. За умовою ∠DAC = ∠BAC. Оскільки AD || ВС, то ∠DAC = ∠BCA — як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС.

Оскільки ∠DAC = ∠BAC, ∠DAC = ∠ВСА, то ∠BAC = ∠BCA, тоді ∆ABC — рівнобедрений.

343. Оскільки ∠MAB + ∠ABK = 50° + 130° = 180°, a ∠MAB і ∠ABК — односторонні при прямих ME і KD та січній ABß, то ME || KD.

Відповідь: 40°, 70°, 70°.

344.

345. BK = KE, CK = KD, ∠BKC = ∠DKE, тому ∆BKC = ∆DKE, отже, ∠KBC = ∠KED, тому BC || AD, отже, AB || MK.

346. ∠BAE = ∠AEF = ∠EAF, отже, AE - бісектриса кута ВАС. Оскільки AB = АС, АЕ є також висотою трикутника ABC, отже АЕ ⊥ ВС.

347. BD — висота, тому ∠MDE = ∠MDF = 90°. BD також є бісектрисою, тому ∠ABD = ∠DBC, отже, ∠EMD = ∠ABD, ∠FMD = ∠CBD, тому ∠EMD = ∠FMD. ∆MED = ∆MFD за другою ознакою. Отже, DE =DF.

348. Нехай AB || DE. Проведемо FC || AB, тоді FC || DE, тоді ∠ABC = ∠1, ∠CDE = ∠2. Отже, ∠BCD = ∠1 + ∠2 = ∠ABC + ∠CDE.

349. Нехай AB || BE, ∠ABC = 120°, ∠CDE = 150°. Проведемо CK || AB, тоді CK || DE і ∠BCK = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°. ∠DCK = 180° - ∠CDE = 180° - 150° = 30°. Отже, ∠BCD = ∠BCK +∠DCK = 60° + 30° = 90°. Тобто ВС ⊥ CD.

350. Оскільки AM — бісектриса кута BАС, то ∠ВАМ = ∠МАС. Оскільки ВК || AM, то ∠КВА = ∠МАВ — як різносторонні при паралельних прямих ВК i AM та січній AB; ∠АМС = ∠ВКА — як відповідні при паралельних прямих ВК і AМ та січній AB.

Оскільки ∠ABM = ∠МАС, ∠АМС = ∠ВКА, ∠МАВ = ∠КВА, маємо: ∠АКВ = ∠КВА, тобто ∆ВАК — рівнобедрений.

351. На рисунку МК || АС, тоді ∠МОА = ∠ОАС; ∠КОС = ∠ОСА (як різносторонні кути при паралельних МК і АС та січних AО і СО).

∆АМО — рівнобедрений, AM = MO.

∆СОК — рівнобедрений, КС = КО.

Тоді МК = MO + KO = AM + СК. Отже, МК = АМ + СК.

352. На рис. MN || AB, тоді ∠FАО = ∠МОА як різносторонні при паралельних прямих MN і AB та січній AО, тоді ∠ОАМ = ∠AОМ i, отже, ∆АМО — рівнобедрений, AM = MO.

Оскільки KL || ВС, тоді ∠КОС = ∠DCO як різносторонні при паралельних прямих та січній СО, тоді ∠КОС = ∠КСО, і, отже, ∆ОКС — рівнобедрений, ОК = КС.

P_∆MOK = ОМ + МК + ОК = АМ + МК + КС = АС. Отже, Р_∆MOK = АС.

Вправи для повторення

353. Нехай АО : CD = 3 : 2, тоді AD = 3х, CD = 2х, АС = 5х; Звідси AD : DB = 3х : 4,5х = 30 : 45 = 2 : 3.

354. Нехай AB = ВС = CD = AD, тоді ∆ABC = ∆ADC (за трьома сторонами). Із рівності трикутників випливає, що ∠1 = ∠2, тоді АО — бісектриса рівнобедреного трикутника ABD, тоді АО ⊥ BD,звідси АС ⊥ BD.

355. Оскільки ∠М = ∠Т, ∠О = ∠Р, MO = ТР, то ∆МОЕ = ∆ТРК за другою ознакою рівності трикутників, тоді ME = ТК.

∆ЕМА = ∆КТР за першою ознакою рівності трикутників, тоді ∠ВКР = ∠АЕО = 17°.

Відповідь: 17°.

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

356. Зафарбуйте внутрішню частину складної замкненої ламаної якимсь кольором. Тоді якщо вибрана точка належить зафарбованій частині, то вона належить многокутнику.