Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 16. Прямокутний трикутник

Практичні завдання

424. 1) Катети — АС, ВС; гіпотенуза AB.

2) Катети — АС, ВС; гіпотенуза AB.

3) Катети — АС, ВС; гіпотенуза — AB.

425. 1)

2)

Вправи

426. 1) Катети: МК, КЕ; гіпотенуза: ME. 2) КЕ; 3) КЕ.

427.ADB: катети — AD i DB, гіпотенуза — AB.

ADC: катети — AD і DC, гіпотенуза — АС.

428. 90°- 43° = 47°.

Відповідь; 47°.

429.

Відповідь: 43°.

430.

Відповідь: 71°, 71°, 38°.

431.ABC = ∆DCВ (за гіпотенузою і катетом), тоді AB = CD.

432. MO = FO; ∠MOE = ∠FOK(як вертикальні), отже, ∆МЕО = ∆FKO (за гіпотенузою і гострим кутом).

433. AM ⊥ МК, ВК ⊥ МК, AM = ВК. ∆АМК = ∆ВКМ (за двома катетами), отже, AK = ВМ.

434. AB = CD; ∠BAM = ∠KCD, тому ∆АМB = ∆CKD (за гіпотенузою і гострим кутом), отже, ВМ = DK.

435. AB = ВС; ∠AEB = ∠DEC, тому що ∆ABE = ∆DBC (за гіпотенузою і гострим кутом), отже, BE = AD.

436.CBM = ∠DBM, CMBC, MDBD. BMD = ∆BMC (за гіпотенузою і гострим кутом). Із рівності трикутників випливає, що MD = MC.

437. АВ = ВС, ОС ⊥ BC, ОА ⊥ АВ.

∆ОАВ = ∆ОСВ (за катетом і гіпотенузою). Із рівності трикутників випливає, що ∠OBA = ∠OBC, отже, ВО — бісектриса кута АВС.

438. AF ⊥ ВС, CDAB. A = ∠Cза ознакою рівнобедреного трикутника. ∆AFC = ∆СDA (за гіпотенузою і гострим кутом).

Із рівності трикутників випливає, що AF = CD.

439. AF = CD, AF BC, CD AB.

∆АDС = ∆AFC (за катетом і гіпотенузою: AF = CD, АС — спільна гіпотенуза).

Із рівності цих трикутників випливає, що ∠A = ∠C. Отже, ∆АВС — рівнобедрений.

440. AB = A1B1, BD = B1D1.

ABD = ∆A1B1D1 за першою ознакою, оскільки AB = A1B1, BD = B1D1, ∠ABD = ∠A1B1D1 — як половини рівних кутів). Із рівності трикутників випливає, що ∠A = ∠A1, тому ∆АВС = ∆А1В1С1 за катетом і прилеглим кутом.

441. BC = B1C1, BH = B1H1.

∆ВНС = ∆В1Н1С1 (за катетом і гіпотенузою), тому ∠C = ∠C1. Отже, ∆ABC = ∆А1В1С1 за катетом і прилеглим гострим кутом.

442. BC = B1C1, CL = C1L1.

LBC = ∆L1B1C1 (за катетом і гіпотенузою), тому ∠LCB = ∠L1B1C1. ∠ACB = ∠A1C1B1 — як суми рівних кутів. Отже, ∆ABC = ∆А1В1С1 (за катетом і прилеглим гострим кутом).

443. ВС = B1C1, СМ = С1М1.

∆СМВ = ∆C1M1B1 (за катетом і гіпотенузою), тому ВМ = В1М1, AB = 2ВМ, A1B1 = 2B1M1, AB = A1B1. Отже, ∆АВС = ∆А1В1С1 (за двома катетами).

444.ABC = ∆А1В1С1, ВС = B1C1,C = C1.

∆ВНС = ∆В1Н1С1 за гіпотенузою і гострим кутом), тому ВН = В1Н1.

445. AB = A1B1, AE = A1E1, BF = B1F1.

ABF = ∆A1B1F1 (за гіпотенузою і катетом), тому ∠A = ∠A1.

∆АВЕ =A1B1E1 (за гіпотенузою і катетом), тому ∠B = ∠B1. Отже, ∆АВС = ∆А1В1С1 (за стороною і двома прилеглими кутами).

446. AC =A1C1, BH = B1H1, BM = B1M1. AM = 1/2AC = 1/2А1С1 = А1M1.

∆ВНМ = ∆В1Н1М1 (за катетом і гіпотенузою), тому HМ = Н1М1. AH = AM - HM = А1М1 - Н1М1 = А1Н1.

∆АНВ = ∆А1Н1В1 (за двома катетами), тому AB = А1В1. CH = CM + MH = C1M1 + M1H1= C1H1.

CHB = ∆С1Н1В1 (за двома катетами), тому ВС = В1С1.

Отже, ∆АВС = ∆А1В1С1 (за трьома сторонами: AB = A1B1, BC = B1C1, АС = A1C1).

447. AM = MB, BK = KC. ∠FMA = ∠BME як вертикальні кути.

AFM = ∆BEM (за гіпотенузою і гострим кутом), тому BE = AF. ∠BKE =CKP — як вертикальні кути.

∆ВКЕ = ∆СКР (за гіпотенузою і гострим кутом), тому BE = СР. Отже, BE = AF = СР.

448. BE = AF, ∠MBE = ∠FAM, тому ∆FAM = ∆EBM (за катетом і прилеглим гострим кутом), отже, AM = MB і М — середина сторони AB.

BE = СР, ∠KBE = ∠KCP, тому ∆ВКЕ = ∆СКР (за катетом і прилеглим гострим кутом), отже, ВК = КС і К — середина сторони ВС.

449. CK AB, AM BC, КН ⊥ HM.

∆АКН = ∆СМН (за катетом і прилеглим гострим кутом: КН = НМ за умовою, ∠KHA = ∠MHC — як вертикальні кути), тоді AH = СН.

Отже, маємо: КС = AM — як сума рівних відрізків.

∆АКС = ∆AMС (за гіпотенузою і катетом: КС = АМ, АС — спільна), тому ∠A = ∠C. Отже, ∆ABC — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

450. MEKN, NF ⊥ МК, ОМ = ON, MF = KE.

MON — рівнобедрений, отже, ∠OMN = ∠ONM. ∆MFN =NEM (за гіпотенузою і гострим кутом), тому EN = MF.

452.A = ∠A1, ∠C = ∠C1, ВН = B1H1. Оскільки ∠A = ∠A1, то ∠ABH = ∠A1B1H1. ∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і прилеглим кутом: ВН = B1H1, ∠ABH = ∠A1B1H1), тому AB = A1B1, AH = A1H1. Оскільки∠C = ∠C1, то ∠HBC = ∠H1B1C1. ∆BHC = ∆B1H1C1 (за катетом і прилеглим кутом: ВН = B1H1, ∠HBC = ∠H1B1C1), тому ВС = B1C1, HC = Н1С1. АС = AH + HC = А1H1 + H1С1 = А1С1.

Отже, ∆ABC = ∆ A1B1C1 за трьома сторонами.

Вправи для повторення

453. Нехай ∠ABM = x°, тоді ∠DBK = 5x°. За властивістю суміжних кутів маємо: ∠ABC + ∠DBC = 180°; ∠ABM + ∠MBC + ∠CBK + ∠DBK = 180°; х + 30° + 30° + 5х = 180°; 6х = 120°; х = 20°. Отже, ∠ABM = 20°, ∠DBK = 100°. Тоді ∠ABC = 20° + 30° = 50°; ∠DBC = 100° + 30° = 120°.

Відповідь: 50°, 130°.

454. 1) ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC), ВМ = ВК.

AM = СК, ∆AMO = ∆CKO. З рівності трикутників маємо AO = СО, отже, ∆АОС — рівнобедрений.

2) ∆АВР = ∆СВР. Із рівності трикутників маємо АР = СР. Отже, ВР — медіана, а оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то і висота.

455.ABC = ∆ADC — за трьома сторонами (AB = CD, ВС = AD, AC — спільна), тоді ∠CAD = ∠BCA.

ABD = ∆CDB — за трьома сторонами, тоді ∠DBC = ∠BDA.

∆ВОС = ∆DOA — за стороною і двома прилеглими кутами, тоді АО = ОС.

456.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.