Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 17. Властивості прямокутного трикутника

457. Найбільший катет трикутника дорівнює 24 см.

458.DEF — прямокутний, ∠F = 90°, ∠D = 30°, DE = 18 см.

Відповідь: 9 см.

459.KCM — прямокутний, ∠M = 90°, ∠C = 60°, MC = 7 см.

MKC = 90° - 60° = 30°. KC = 2 x MC = 2 x 7 CM = 14 CM.

Відповідь: 14 CM.

460. AB = BC = AC = 16 CM. AD = DB. DEAC.

ADE = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.

EC = AC – AE = 16 CM - 4 CM = 12 CM.

Відповідь: 4 CM, 12 CM.

461.ABC — прямокутний, ∠A = 90°, ∠C = 30°.

Нехай AB = x см, тоді ВС = (x + 5) см. 2x = x + 5; x = 5. Отже, AB = 5 см, ВС = 10 см.

Відповідь: 5 см, 10 см.

462. Нехай в ∆АВС ∠A = 30°, ∠B = 45°, CKAB, АС = 10 см. Із прямокутного ∆АСК:

Із ∆СКВ: ∠KCB = 45°. Отже, ∆СВК — рівнобедрений і ВК = СК = 5 см.

Відповідь: 5 см.

463.A = 30°, CDAB, BD = 7 см. ∠B = 90° -30° = 60°.

Із прямокутного ∆BDC: ∠BCD = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°, ВС = 2BD = 2 x 7 = 14 (см).

Із прямокутного ∆АВС: ВА = 2 х ВС = 2 х 14 = 28 (см).

Відповідь: 28 см.

464. СК ⊥ АВ, СК = 7 см, АС = 14 см.

Із прямокутного ∆АСК: СК = 1/2АС. Отже, ∠A = 30°.

Із ∆АВС: ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

465. АВ < АС, тому АВ = 1 см, AB = 1/2АС, отже, ∠ACB = 30°.

Відповідь: 30°.

466. ∆АВС — рівнобедрений (AB = ВС), ∠B = 120°, АС = 18 см.

CEAB.

З прямокутного трикутника AEC: A = 30°,

Відповідь: 9 см.

467. ВМ = 7,5 см, ∠MBC= 15°.

C = 90° - ∠MBC = 90° - 15° = 75°. ∠A = 180° - 2∠C = 180° - 150° = 30°.

З ∆АВМ: AB - 2 х ВМ = 2 х 7,5 = 15 (см). Отже, AB = АС = 15 см.

Відповідь: 15 см.

468. АВ = ВС = АС.

Бісектриса ВК є висотою, тому ∆АОК — прямокутний; ∠OAK = 30°, отже, ОА = 2OK. ∆АОК = ∆ВОМ (за катетом і прилеглим кутом, оскільки OAE = ∠OBM = 30°), тому ОМ = ОК. Отже, АO = 2OМ, АO : OМ = 2 : 1.

469. МК ⊥ АВ, МК — серединний перпендикуляр, ∠B = 30°.

AM = MB, оскільки МК — серединний перпендикуляр, AK = KB, ∠KAB = ∠ABK = 30°.

З ∆КМВ: МК = 1/2КВ.

З ∆АСК:

Тоді

Звідси КВ = 2/3СВ.

Отже,

470. ∆КМЕ — прямокутний, ∠E = 30°, КЕ = 12 см.

M = 90° - ∠E = 90° - 30° = 60°. MC — бісектриса, ∠KMC = ∠CME = 60° : 2 = 30°. Отже, ∆MCE — рівнобедрений.

Нехай MC = х см, тоді СЕ = х. З ∆КМС: ∠KMC = 30°, тоді KЕ = ЕС + СЕ, 12 = x/2 + х; 24 = 3х; x = 24 : 3; х = 8. Отже, MC = 8 см.

Відповідь: 8 см.

471.BAC = 60°, AD — бісектриса. ∠BAD = ∠CAD = 60° : 2 = 30°. ∠B = 90° - 60° = 30°. ∆BDA — рівнобедрений, BD = AD.

Нехай CD = x CM, тоді BD = (x + 3) CM, DA = (x + 3) см.

ЗCDA: CD = 1/2DA; X = 1/2(X + 3); 2X = x + 3; x = 3. Отже, CD = 3 см, AD = 3 + 3 = 6 (см).

Відповідь: 6 CM.

Вправи для повторення

472. ∆ЕАК = ∆FMC (за стороною і двома прилеглими кутами: АК = МС, оскільки AM = КС, МК — спільний відрізок; ∠A = ∠C, ∠AKE = ∠FMC). Із рівності цих трикутників маємо: ЕА = FC. Тоді BF = ВС - FC; ЕВ = АВ - ЕА, тобто BF = BE. Отже, ∆FBE — рівнобедрений.

474.BCA = ∠ACD, оскільки СА — бісектриса кута BCD.

BCA = ∠CAD, як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD і січній СА. Тоді ∆CAD — рівнобедрений і CD = 9 см.

РCAD = АС + CD + AD = 8 см + 9 см + 9 см = 26 см.

Відповідь: 26 см.

Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі

1. Правильним є твердження «Якщо дві прямі не мають спільних точок, то вони паралельні».

Правильна відповідь Г.

2. Правильним є твердження В.

3. Неправильним є твердження В.

4. а і b паралельні на рисунку А, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.

5. Неправильним є твердження А.

6. Трикутник має 6 зовнішніх кутів.

Правильна відповідь Б.

7. Суми зовнішніх кутів трикутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Правильна відповідь В.

8. Правильною є рівність ∠AOC = 90° + 1/2B.

Правильна відповідь В.

9. Правильною є рівність ∠AOC = 180° - ∠B.

Правильна відповідь Б.

10. Правильним є твердження В.

11. Неправильним є твердження СВ = 1/2AС.

Правильна відповідь В.

Практичні завдання

476.

477.

478.

479.

Вправи

480. Радіуси: BA, ВМ, ВК; хорди: МК, МР; діаметр: МК. Радіусів — 3, хорд — 2.

481. AB = CD.

∆ОАВ = ∆ОDC (за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки OB = ОС, ОА = OD — як радіуси кола, AB = CD за умовою), тоді ∠АОВ = ∠COD.

482. ∆ОМК = ∆OCD (за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ОМ = ОС, OK = OD — як радіуси кола, ∠COD = ∠МОК за умовою). Із рівності трикутників випливає, що CD = МК.

483. AB, CD — діаметр кола.

∆АОС = ∆DOB (за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ОА = OD = ОС = OB — як радіуси кола, ∠АОС = ∠DOB — як вертикальні кути). Із рівності трикутників випливає, що ∠ОАС =∠ODB, тобто ∠ВАС = ∠CDB.

484. МК= 12 см, МЕ = 10 см.

FOK = ∆МОЕ (за першою ознакою рівності трикутників: OK = ОМ, OF = OE, ∠FOK = ∠МОЕ — як вертикальні кути). Із рівності трикутників випливає, що FK = ME = 10 см.

PFOK = FO + OK + FK = 6 см + 6 см + 10 см = 22 см.

Відповідь: 22 CM.

485. AO = BO, тому ∆OAB — рівнобедрений, ∠В = ∠А = 26°. ∠ВОС — зовнішній кут ∆АОВ, ∠ВОС = ∠А + ∠В = 26° + 26° = 62°.

Відповідь: 52°.

486. ОМ = ОР, тому ∆МОР — рівнобедрений, ∠М = ∠Р. ∠РОК—зовнішній кут ∆MОР, ∠М + ∠Р = ∠РОК, 2∠Р = ∠РОК, 2∠Р = 84°, ∠Р = 42°.

Відповідь: 42°.

487. АС = ОА. Оскільки ОА = ОС = АС, то ∆ОАС — рівносторонній, тому ∠ВАС = ∠АОС - ∠ОСА = 60°.

Відповідь: 60°.

488. ∠СОЕ = 90°. ∆COE = ∆EOD (за двома катетами: CO = OD — як радіуси кола, ЕО — спільна сторона), тому СЕ = DE.

489. Нехай r — радіус кола, тоді діаметр 2r = r + 4, r = 4 (см), 2r = 8 см.

Відповідь: 8 см.

490. ∆СОА = ∆BOD (за першою ознакою трикутників: OC = OD, OB = ОА — як радіуси кола, ∠СОА = ∠BOD), тому ∠АСО = ∠ODB. Кути АСО і ODB внутрішні різносторонні кути при прямих АС і BDі січній CD, і вони рівні. Отже. АС || BD.

491. АК = 4 см, KB = 10 CM, ∠DKO = 30°. З ∆KMO: MO = 1/2OK.

Відповідь: 1,5 CM.

492.ECM = ∠MDF = 90° - 60° = 30°. Тому CM = 2ME; MD = 2MF; CD = CM + MD = 2(ME + MF) = 2(18 + 12) = 60 (см).

Відповідь: 60 см.

493. Геометричним місцем центрів кіл даного радіуса, які проходять через дану точку А, є коло даного радіуса з центром в точці А.

494. Геометричним місцем центрів кіл, які проходять через дві дані точки А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB.

495. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються, є дві перпендикулярні прямі, які проходять через точку перетину цих прямих і є бісектрисами кутів, що утворилися при перетині даних прямих.

496. Геометричним місцем вершин рівнобедрених трикутників, що мають спільну основу AB, є серединний перпендикуляр до відрізка АВ, за винятком точки, яка є серединою основи AB.

497. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, яка паралельна даним прямим і проходить через середину відрізка, перпендикулярного даним прямим і з кінцями на даних прямих.

498. Геометричним місцем точок, віддалених від даної прямої а на відстані m є дві прямі (які лежать по різні боки від прямої а), які паралельні прямій а і знаходяться від прямої а на відстані m.

499. Нехай ∠A = ∠AMO = α (оскільки ∆АОМ — рівнобедрений). ∠MOB — зовнішній кут ∆АОМ, ∠MOB = 2α.

(оскільки трикутник МОВ — рівнобедрений). ∠AMB = ∠AMO + ∠OMB = α + (90° - α) = α + 90° - α = 90°.

500. Геометричним місцем точок X таких, що АХ > ВХ, є усі точки півплощини, якій належить точка В і межею якої є серединний перпендикуляр відрізка АВ, за винятком межі цієї півплощини.

501. Геометричним місцем точок X таких, що АХ > AB, є усі точки площини, що не належать кругу із центром А і радіусом AB.

Вправи для повторення

502. ∆АЕС = ∆АDС (за другою ознакою: АС — спільна сторона, ∠А = ∠С, ∠ЕСА = ∠DAC — як половини рівних сторін), тому АЕ = DC. Оскільки АЕ = DC, то ED || АС. ∠EDA = ∠DAC — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ED і АС і січній АО. Отже, ∆AED — рівнобедрений, АЕ = ED.

503. ОС = ОВ = ОА, ∠АОВ = 80°, ∠СОВ = 110°, ∠АОС = 170°.

∆СОВ — рівнобедрений,

AОВ — рівнобедрений,

∆АОС — рівнобедрений,

∠С = ∠ОСА + ∠ОСВ = 5° + 35° = 40°;

B = ∠ОВС + ∠ОВА = 35° + 50° = 85°;

∠А = ∠ОАС + ∠ОАВ = 5° + 50° = 55°.

Відповідь: 40°, 55°, 85°.

504. Нехай ∠АМК = ∠КМС = α (оскільки МК — бісектриса кута АМС). ∠ВМС — суміжний з ∠АМС, ∠ВМС = 180° - 2α.

∆ВМС — рівнобедрений, оскільки ВМ = СМ. Отже,KMC = ∠МСВ.

Кути КМС і МСВ — внутрішні різносторонні кути при прямих МК і ВС і січній MC і вони рівні, отже, МК || ВС.

505. Нехай ABC — даний трикутник, ∠BCD = 160°, AKBC,BM ⊥ АС. ∠ВСМ = 180° - ∠BCD = 180° - 160° = 20°.

З ∆АKС: ∠KАС = 90° - ∠С = 90° - 20о = 70°.

З ∆АОМ: ∠АОМ = 90° - ∠ОАМ = 90° - 70° = 20°.

Відповідь: 20°.

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

506. 3х - 8 = 2х - 1; х = 7. Отже, сторона найбільшого квадрата дорівнює 7.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.