Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 20. Описане та вписане коло трикутника

540. 1) Різносторонній гострокутний трикутник.

2) Прямокутний трикутник.

3) Тупокутний трикутник.

541. 1) Рівнобедрений гострокутний трикутник.

2) Рівнобедрений тупокутний трикутник.

542.

543.

544.

Вправи

545. Медіана BD рівнобедреного трикутника ABC є в той же час і серединним перпендикуляром до сторони АС (тому що вона є висотою). Тому точка О належить прямій BD.

546. Висота ВН є також і бісектрисою, тому точка О належить прямій ВН.

547. Нехай ВН — висота. Якщо точка O належить ВН, то ВН є бісектрисою (бо обидві точки В і О належать бісектрисі ∠В), отже, ∆ABC — рівнобедрений.

548. Кожний серединний перпендикуляр до сторін рівностороннього трикутника є також бісектрисою.

549. O1D і О2D — бісектриси кутів ADS i СDВ. Тому

Відповідь: 90°.

550. O1B і O2B є бісектрисами ∠ABD і ∠CBD. Тому

Відповідь: 25°.

551.AEM = ∆CEM (за двома катетами: ME — спільний катет, АЕ = СЕ, оскільки АС ⊥ ME). Із рівності трикутників випливає, що AM = MC.

552. РABC = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + KB + КС + СЕ + ЕА = 8 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 = 28 (см) (бо AM = ЕА, СЕ = КС, MB = ВК — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

553. ВМ = ВК = 3 см — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола.

КС = СЕ = ВС - ВК = 8 - 3 = 5(см). АE = AM = AB - ВМ = 13 - 3 = 10 (см). Тоді АС = АЕ + СЕ = 10 см + 5 см = 15 см.

Відповідь: 15 см.

554. ВН ⊥ АС, тому ВН є серединним перпендикуляром до сторони АС, отже, AH = НС. Тому ВН є медіаною, отже, ∆ABC — рівнобедрений.

555. Точка О належить бісектрисі кута ABC. Тому бісектриса кута є також і медіаною. Отже, ∆ABC — рівнобедрений.

556.BOD = ∆СОЕ (за катетом і гіпотенузою: BO = ОС, DO = OE), тому BD = CE. Оскільки AD = АЕ, маємо: AB =AD + BD = АЕ + CE = АС.

AOD = ∆COF (за катетом і гіпотенузою: АО = ОС, DO = OF), тому AD = CF. Оскільки BD = BF, маємо: AB = AD + BD = CF + BF = BC. Таким чином, AB = BC = АС, отже, ∆ABC — рівнобедрений.

557. BD :DA = 7 : 5, P = 68 см.

Нехай AD = 5x CM, BD = 7 x см. Тоді AE = 5x см.

P∆ABC = 2(AD + BD + AE) = 2(7x + 5x + 5x) = 34x. За умовою 34x = 68; x = 2. Отже, AB = AD + BD = 5x + 7x = 12x = 12 ∙ 2 = 24 (см). BC = AD = 24 CM. AC = AE + EC = 5x + 5x = 10x = 10 ∙ 2 = 20 (см).

Відповідь: 24 см, 24 см, 20 см.

558. РABC = 52 см, AD : DB = 2 : 3, CF = 6 см.

Нехай AD = 2х см, DB = 3x см. Тоді BF = 3х см, ЕС = 6 см, АЕ = 2х см, AB = 5х см, ВС = (3х + 6) см, АС = (2х + 6) см.

5х + (3х + 6) + (2х + 6) = 52; 10х = 40; х = 4; 5х = 20; 3х + 6 = 18; 2х + 6 = 14.

Відповідь: 20 см, 18 см, 14 см.

559. Нехай ∠A = 30°, ∠B = 70°, ∠C = 80°. AD = AF — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ∆ADF — рівнобедрений,

CF = CE — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ∆CFE — рівнобедрений,

BD = BE — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, ∆BED — рівнобедрений,

Відповідь: 50°, 75°, 55°.

560. BM = BN — як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола. Отже,

Тому ∠BMN = ∠BAC як відповідні кути при прямих MN і АС і січній ВА. Отже, MN || АС.

561. ОА = OB, отже, ∠A = ∠OBA, OB = ОС, отже, ∠C = ∠OBC. Тому ∠ABC = ∠A + ∠C. Але ∠A + ∠C = 180° - ∠ABC. ∠ABC = 180° - ∠ABC; 2∠ABC = 180°; ABC=90°. Отже, ∆АВС прямокутний.

562. М, К, L — точки дотику, ВС = а. Оскільки BM = ВК, CK = CL — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, то MB + CL = BK + CK = BC = а. Тоді РABC = AM + AL + MB + BK +CK + CL. Оскільки BM = AL, то маємо PABC = 2AM + 2а. Звідси РABC = 2р; 2АМ = 2р - 2а;

563.

564.ABC — рівнобедрений (AB = BC), AC = 10 см.

Оскільки сума периметрів трикутників ADK, BEF і CMN дорівнює 42 CM, TO маємо, AС + AB + BC = 42, 2AB = 32, AB = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

565. BD — медіана, BD = DC, AB = 7 см, ВС= 8 см.

Відповідь: 0,5 см.

566. Розглянемо ∆АМС. AN, NC — бісектриси. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, отже, MN — бісектриса кута М трикутника АМС. Тоді ∠AMN = ∠CMN.

Вправи для повторення

569. Оскільки BD — бісектриса кута ABC, то ∠ABD = ∠DBC.

ABP = ∠ABD. Отже, ∠ABP + ∠ABD + ∠DBC =180°; ∠ABP = ∠ABD = ∠DBC = 180° : 3 = 60°, ∠ABD = 60° х 2 = 120°.

Відповідь: 120°.

570.ABC — рівнобедрений (AB = ВС), AHBC, CL — бісектриса кута С. ∠HOC = 64°.

З ∆HОС: ∠H = 90°, ∠HOC = 64°, ∠HCO = 90° - 64° = 26°.

Оскільки CL — бісектриса, то ∠C = 26° х 2 = 52°, оскільки ∆BAC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C = 52°. ∠В = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 52° - 52° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

571. AB = 3 см, ВС = 10 см, AK — бісектриса кута BAD.

Оскільки ВС || AD, то ∠KAD = ∠BKA, отже, ∆ABC — рівнобедрений, BK = AB = 3 см, КС = ВС - ВК = 10 см - 3 см = 7 см.

Відповідь: 3 см, 7 см.

572. Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то КС і АМ є і бісектрисами.

Нехай ∠MAC = ∠KCA = α, тоді ∠AOC = ∠KOM = 180° - α, ∠CKM = ∠AMK = α. Отже, ∠MAC = ∠AMK = α. ∠MAC і ∠AMK — внутрішні різносторонні кути при прямих КМ і АС, і вони рівні, отже, КМ || АС.

573.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.