Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 2. Трикутники

7. Перша та друга ознаки рівності трикутників

Практичні завдання

154.

155. Прямокутний

156. Тупокутний.

157.

158.

159.

Вправи

160. Оскільки АС = CD (за умовою), ВС = СЕ (за умовою), ∠ACB =ECD (як вертикальні), то ∆АВС = ∆DEC за двома сторонами і кутом між ними.

161. Оскільки AB = AD (за умовою), ∠BAC = ∠DAC (за умовою), АС є спільною стороною, то ∆ABC = ∆DAC за двома сторонами і кутом між ними.

162. Оскільки AB = CD (за умовою), ∠1 = ∠2 (за умовою), BD — спільна сторона, то ∆ABD = ∆CDB, тоді ВС = AD = 7 см, ∠A = ∠C = 34°.

Відповідь: 7 см, 34°.

163. Оскільки AO = DO (за умовою), BO = СО (за умовою), ∠BOA = ∠COD (як вертикальні кути), то ∆АОВ = ∆DOC, тоді CD = АВ = 8 см, ∠OBA = ∠OCD = 43°.

Відповідь: 8 см, 43°.

164. Оскільки ОА = ОС (за умовою), OB = OD (заумовою), a ZBOD — спільний, то ∆OAD = ∆ОСВ, тоді ∠OAD = ∠OCB.

165. Оскільки ∠ADC = ∠ADB = 90° (за умовою), BD = CD (за умовою), сторона AD — спільна, то ∆ABD = ∆ACD (за двома сторонами і кутом між ними), тоді AВ = АС.

166. Оскільки за умовою АС = BD, ∠ACD = ∠BDC = 90°, а сторона CD — спільна для трикутників ACD і BDC, то ∆ACD = ∆BDC за двома сторонами і кутом між ними, тоді ∠ADC = ∠BCD = 25°.∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 90° - 25° = 65°.

Відповідь: 65°.

167. Оскільки AO = DO (за умовою), BO = СО (за умовою), ∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути), то ∆АОВ = ∆DOC за двома сторонами і кутом між ними, тоді ∠ABO = ∠DCO = 64°. ∠ACD = ∠ACO +∠DCO = 64° + 56° = 120“.

Відповідь: 120°.

168. Оскільки BO = OD, ∠ABO = ∠CDO = 90°, ∠AOB = ∠COD (як вертикальні кути), то ∆ABO = ∆CDO за стороною і двома прилеглими кутами.

169. Оскільки ∠1 = 2, 3 = 4 за умовою, то ∆ADC = ∆СВА за стороною (АС) і двома прилеглими кутами, тоді AD = ВС = 6 CM, CD = АВ = 8 см.

Відповідь: 6 см, 8 см.

170. Оскільки ∠ABC = ∠DEF за умовою, тоді ∠CBO = ∠FEO — як суміжні з рівними кутами. У трикутниках ВСО і EFO: COB = ∠FOE (за умовою), ∠CBO = ∠FEO (за доведеним), BO = ОЕ (за умовою). Отже, ∆ВСО = ∆EFO за стороною і двома прилеглими кутами.

171. Оскільки за умовою ∠BAO = ∠DCO, ∠BAC = ∠DCA, тоді ∠DAC = ∠BAC - ∠BAO = ∠DCA - ∠DCO = ∠ACB. У трикутниках ABC і CDA: ∠ACB = ∠DAC (за доведеним), ∠BAC = ∠DCA (за умовою), АС — спільна сторона, тоді ∆АВС = ∆CDA за стороною і двома прилеглими кутами.

172. Оскільки ∠ABD = ∠CBD (бо BD — бісектриса кута В). ∠ADB = ∠CDA (за умовою), BD — спільна сторона трикутників BDA і BDC, то ∆BDA = ∆BDC за стороною і двома прилеглими кутами, тодіAB = ВС.

173. Оскільки ∠AOМ = ∠COM (бо ОМ — бісектриса кута О), ∠OMC = ∠AMO (бо ОМ ⊥ АС за умовою), ОМ — спільна сторона трикутників ОМА і ОМС, то ∆ОМА = ∆ОМС за стороною і двома прилеглими кутами, тоді AM = MB.

174. Оскільки ∆АВС = ∆ADC, то ∠ВAK = ∠DAK.

У трикутниках АВК і ADK: АК — спільна сторона, AB = AD (за умовою), ∠BAK = ∠DAK (за доведеним), то ∆АВК = ∆ADK за двома сторонами і кутом між ними.

175. Оскільки ∆АВС = ∆A1B1C1, то ВС = B1C1, ∠BCA = ∠B1C1A1.

У трикутниках DBC і D1B1C1: ВС = В1С1 (за доведеним), ∠DBC =D1B1C1 (за умовою), ∠BCD = ∠B1C1D1 (за доведеним), то ∆DBC =D1B1C1 за стороною і двома прилеглими кутами.

176. Оскільки ∆МКО = ∆МРО, то ∠МОК = ∠MOP, тоді ∠KOE = ∠POE (як суміжні кути до рівних кутів). У трикутниках КОЕ і POE: КО = РО (за умовою), ∠КОЕ = ∠POE (за доведеним), ОЕ — смільна сторона, тоді ∆КОЕ = ∆РОЕ за двома сторонами і кутом між ними.

177. АМВ = ∆CKD за вдома сторонами 1 кутом між ними, тоді ∠BAM = ∠CDK. ∆BMD = ∆СКА за вдома сторонами і кутом між ними (ВМ = СК за умовою, ∠BMD = ∠CKA = 90° за умовою, MD = МК + KD = МК + АМ = АМ), тоді ∠BDM = ∠CAK.

У трикутників ABD і DCA: AD — спільна сторона, ∠BDA = ∠CAD — за доведеним, ∠BAD = ∠CDA — за доведеним, тоді ∆ABD = ∆DCA за стороною і двома прилеглими кутами.

178. Оскільки ∆АВС = ∆А1В1С1, то AB = А1В1, ∠B = ∠B1,BAC = ∠B1A1C1, тоді

У трикутниках ABL і A1B1L1: AB = А1В1 (за доведеним), ∠B = ∠B1 (за доведеним), ∠BAL = ∠B1A1L1 (за доведеним), тоді ∆ABL = ∆A1B1L1, звідси Al =A1L1.

179. Оскільки ∆АВС = ∆A1B1C1, то AB = A1B1, ∠B = ∠B1,

У трикутниках ABM і A1B1M1: AB = A1В1 (за доведеним), ∠B = ∠B1 (за доведеним), ВМ = В1М1 (за доведеним), тоді ∆АВМ = ∆А1В1М1 за двома сторонами і кутом між ними, тоді AM = А1М1.

180. Оскільки AM = МК (за умовою), ВМ = CM (за умовою), ∠AMB = ∠KMC (як вертикальні), то ∆AMВ = ∆КМС, тоді КС = АВ = 6 см.

181. ∆АСО = ∆BDO — за двома сторонами і кутом між ними (АО = ВО за умовою, CO = DO за умовою, ∠AOC = ∠BOD — як вертикальні кути), тоді АС = BD, ∠CAO = ∠DBO.

ABC = ∆BAD за двома сторонами і кутом між ними (АС = BD — за доведеним, AB — спільна сторона, ∠CAB = ∠DBA — за доведеним). Отже, ∆АВС = ∆BAD.

182. ∆АОМ = ∆ВОМ за двома сторонами і кутом між ними (AM = ВМ, ∠AMO = ∠BMO = 90°, МО — спільна сторона), тоді AO = ВО.

AON = ∆CON за двома сторонами і кутом між ними (AN = CN, ∠ANO = ∠CNO = 90°, ON — спільна сторона), тоді AO = СО. Оскільки АО = ВО і АО = СО, то АО = ВО = СО.

183. Оскільки за умовою ВС = CD і ∠ABC = ∠CDE, aACB = ∠ECD — як вертикальні, то ∆АВС = ∆EDC за стороною і двома прилеглими кутами, тоді AB = DE. Отже, слід виміряти сторону DE.

184. Оскільки за умовою АО = СО, ВО = DO, а ∠AОВ = ∠COD — як вертикальні, то ∆АОВ = ∆COD за двома сторонами і кутом між ними, тоді AB = CD. Отже, слід виміряти сторону CD.

185. BMC = ∆В1М1С1 за вдома сторонами і кутом між ними (ВМ = В1М1 за умовою, ∠ВМС = ∠В1М1С1 за умовою, ) тоді ВС = В1С1, C = ∠С1.

У трикутниках ABC і А1В1С1: АС = А1С1 — за умовою, ВС = В1С1 — за доведеним, ∠С = ∠С1 — за доведеним, тоді ∆АВС = ∆A1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними.

186.ACL = ∆A1C1L1 за двома сторонами і кутом між ними (AL = А1L1 за умовою, АС = А1С1 за умовою, бо AL = А1L1 — бісектриси), тоді ∠С = ∠С1. У трикутникахABC і А1В1С1: АС = А1С1 за умовою, ∠ВАС = ∠В1А1С1 за умовою, ∠С = ∠С1 — за доведеним, то ∆АВС = ∆А1В1С1 за стороною та двома прилеглими кутами.

187.ALC = ∆A1L1C1 за стороною і двома прилеглими кутами (∠ALC = ∠A1L1C1, AL = A1L1 за умовою, ), тоді AC = A1C1, ∠C = ∠C1.

У трикутниках ABC і А1В1С1: ∠ВАС = ∠В1А1С1 — за умовою, АС = А1С1 — за умовою, ∠С =C1 — за доведеним, тоді ∆AВС = ∆А1В1С1 за стороною і вдома прилеглими кутами.

188. Hexaй BM=MC, MDBC. CDM = ∆BDM за вдома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: CD = BD.

Оскільки CD = 4 см, то BD = 4 см. Оскільки AB = 7 см, то AD = AB - BD = 7 см - 4 см = 3 см.

Відповідь: 3 см.

189. Нехай AD = DB, DMAB. ∆AMD = ∆BMD за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: AM = ВМ.

Оскільки Р∆АМС = 26 см, а Р∆АМС = АС + АМ + СМ, то АС + АМ + СМ = 26, тоді АС + ВМ + CM = 26, АС + ВС = 26, АС + 16 = 26, АС = 26 - 16, АС = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

190. 1) Слід додати умову: CO = ВО. Дійсно, ∆АОС = ∆DOB за першою ознакою рівності трикутників, бо AO = DO за умовою, СО = ВО за умовою, ∠AOC = ∠DOB — як вертикальні кути.

2) Слід додати умову ∠ACO = ∠BDO. Дійсно, ∆АОС = ∆DOВ за другою ознакою рівності трикутників, бо AO = DO за умовою, ∠ACO = ∠BDO за умовою, ∠AOC = ∠DOB — як вертикальні кути.

191. ∆АОС = ∆BOD за вдома сторонами і кутом між ними (АО = ВО за умовою, CO = DO за умовою, ∠COA = ∠DOB — як вертикальні кути), звідси ∠A = ∠B. Тоді ∆АОМ = ∆ВОК за двома сторонами і кутом між ними, тоді MO = КО і ∠MOA = ∠BOK. ∠AOB = 180°. ∠AOM + ∠MOB = -180°, звідси ∠MOB + ∠BOK = 180°, отже, точки М, О, К лежать на одній прямій.

192. ∆ОВС = ∆ОDA за двома сторонами і кутом між ними (OB = OD — як сума двох рівних відрізків, ОС = ОА за умовою, ∠AOC — спільний). Із рівності трикутників випливає, що ∠OBC = ∠ODA,∠OCB = ∠OAD, тоді ∠BCD = ∠DAB — як суміжні кути до рівних кутів.

ABM = ∆CDM за стороною і двома прилеглими кутами, тоді AM = CM.

OAM = ∆ОСМ за двома сторонами і кутом між ними (ОА = ОС — за умовою, ∠OAM = ∠OCM — за доведеним, AM = CM — за доведеним, тоді ∠AOM = ∠COM, тобто ОМ — бісектриса кута BOD.

Вправи для повторення

193. Твердження: якщо через кожні дві з трьох даних точок провести пряму, то одержимо три прямі, справедливе лише у випадку, коли три точки не лежать на одній прямій. Якщо три точки лежать на одній прямій, то можна провести лише одну пряму.

194.AOD : ∠FOC = 2 : 7. Оскільки OD і OF — бісектриси кутів АОВ і ВОС, TOAOB : ∠BOC = 4 : 14.

Тоді a

Відповідь: 20° і 70°.

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

195.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.