Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляк 7 клас - 2015 рік

§ 2. Трикутники

8. Рівнобедрений трикутник і його властивості

Практичні завдання

196.

197.

198.

Вправи

199. 1) Р = 13 + 2 х 8 = 29(см).

Відповідь: 29 см.

2) Нехай х см — бічна сторона, тоді 15 + 2х = 39, тоді 2х = 39 - 15; 2х = 24; х = 24 : 2; х = 12.

Відповідь: 12 см.

200. Нехай х см — основа, тоді 10 х 2 + х = 28, тоді х = 28 - 20; х — 8.

Відповідь: 8 см.

201. Нехай х см — бічна сторона, х + 5 см — основа, тоді 2х + х + 5 — 32, звідси 3х + 5 = 32; 3х = 32 — 5; 3х = 27; х = 27 : 3; х = 9. Отже, бічна сторона дорівнює 9 см, а основа 9 + 5 =14 (см).

Відповідь: 14 см, 9 см, 9 см.

202. Нехай х см — основа, 4х см — бічна сторона, тоді х + 4х х 2 = 54, звідси 9х = 54; х = 54 : 9; х = 6; 4х = 4 х 6 = 24. Отже, основа дорівнює 6 см, а бічна сторона 24 см.

Відповідь: 24 см, 24 см, 6 см.

203. Медіана BD є також висотою і бісектрисою, тому ∠ABD = 1/2∠ZABC = 1/2 ∙ 100° = 50°. Оскільки ∠BCA = 40°, то ∠BAD = 40°, ∠BDA = 90°.

204. Оскільки BD — медіана трикутника ABC (AB = ВС), то BD — бісектриса трикутника ABC і його висота, тому ∠ABC = 2∠ABD = 2 x 53° = 106°, ∠ADE = 90°.

Відповідь: 106°, 90°.

205. Оскільки КО — висота трикутника МКЕ (КМ = КЕ), то KD — бісектриса і медіана трикутника МЕК, тому ME = 2OЕ = 2 х 6 = 12 (см),

Відповідь: 12 см, 24°.

206. Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA. Оскільки ∠1 = 140°, то ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40° (властивість суміжних кутів), ∠2 = ∠BCA = ∠BAC = 40°.

Відповідь: 40°.

207.1 = 68°, тоді ∠ABC = 68°,

Відповідь: 34°.

208. Рис. 179. ∠1 = 76°, тоді ∠ABC = 180° - ∠1 = 180° - 76° = 104°.

Відповідь: 52°.

209. Оскільки ∆ABC і ∆CDE — рівнобедрені, то ∠A = ∠ACB, ∠E = ∠DCE. Крім того, ∠ACB = ∠DCE — як вертикальні. Тоді ∠A = ∠ACB = ∠DCE = ∠E. Отже, ∠A = ∠E.

210. За умовою AB = АС, тоді ∠ACB = ∠ABC (властивість рівнобедреного трикутника). Крім того, ∠ACB = ∠2, ∠ABC = ∠1 за властивістю вертикальних кутів. Toді ∠1 — ∠CBA = ∠ACB = ∠2. Отже,∠1 = ∠2.

211. АОВ = ∆СОВ (за двома сторонами і кутом між ними: АО = СО — за умовою, ∠AOB = ∠СОВ — за у мовою, ВО — спільна сторона), тоді AВ = АС. Отже, ∆ABC — рівнобедрений.

212.

Відповідь: 135°.

213. 1) Так, обидва учні можуть бути правими, якщо даний трикутник рівносторонній.

2) Якщо трикутник — рівнобедрений, але не рівносторонній, то правий тільки перший учень.

214. Якщо AB = A1B1, то ВС = B1C1, бо трикутники АВС і А1В1С1 — рівнобедрені. Оскільки AB = А1B1, ВС = B1C1, B = ∠B1, то ∆ABC = ∆А1В1С1 за двома сторонами і кутом між ними.

215. Якщо ∠A = ∠A1, то ∠C = ∠C1, бо трикутники АВС і А1В1С1 — рівнобедрені. Оскільки АС = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1, то ∆ABC = ∆А1В1С1 за стороною і двома прилеглими кутами.

216. На рис. AB = ВС, AM = CK, A = ∠C, тому ∆ABM = ∆СВК за двома сторонами і кутом між ними. Тоді ВМ = ВК, отже, ∆МВК — рівнобедрений.

217. На рис. ME = МК, ∠E = ∠K, ∠KMF = ∠EMN, тому ∆KMF = ∆EMN за стороною і двома прилеглими кутами. Із рівності трикутників випливає, що MF = FN, тобто ∆MFN — рівнобедрений, тоді∠MFN = ∠MNF.

218. 1) Оскільки АС = ВС, MC = КС, ∠C — спільний, то ∆ACM = ∆ВСК.

2) Оскільки AK = АС - СК = ВС - СМ = ВМ, AB — спільна сторона, ∠KAB = ∠MBA, то ∆ABM = ∆ВАК.

219. 1) АВ = СВ, ВМ— спільна сторона, ∠ABM = ∠CBM, тоді ∆AMВ = ∆CMВ за двома сторонами і кутом між ними.

2) Оскільки AD = DC, MD — спільна сторона, ∠ADM = ∠CDM = 90°, то ∆AMD = ∆CMD.

220. На рисунку АВ = ВС, B — спільний для трикутників ABL і СВК, тоді ∆ABL = ∆СВК за стороною і двома прилеглими кутами. Із рівності трикутників випливає, щоAL = СК.

221. На рисунку AB = ВС, АС — спільна сторона трикутників АЕС і CDA, ∠EAC = ∠DCA, тоді ∆АЕС = ∆CDA за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників випливає, що AD = СЕ.

222. Оскільки ∠B = ∠C, BE = EC, то ∆DBE = ∆FCE. Із рівності трикутників маємо DE = EF, тобто ∆DEF — рівнобедрений.

223. Задача має два розв’язки. Якщо основа дорівнює 7 см, то бічні сторони дорівнюють 4 см; а якщо основа дорівнює 4 см, то бічні сторони дорівнюють 7 см.

Відповідь: 7 см, 4 см, 4 см або 4 см, 7 см, 7 см.

224. Якщо основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, тоді бічна сторона цього трикутника дорівнює Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см то основа дорівнює 14 - 4 - 4 = 6 (см).

Відповідь: 5 см, 5 см і 4 см, 6 см.

225. 1) Твердження не є правильним, бо тільки бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його висотою і медіаною.

2) Твердження правильне.

3) Твердження не є правильним для трикутника зі сторонами 3 см, 5 см і 1 см. Периметр трикутника — 9 см втричі більший за сторону (3 см), проте трикутник різносторонній.

226. У трикутниках AMD, ВКМ, CDK маємо: ∠A = ∠B = ∠C, AD = ВМ = СК за умовою, AM = BK = CD - як різниці рівних відрізків AB - AM, ВС - ВК, АС - CD, тому ∆AMD = ∆ВКМ = ∆CDK. З рівності трикутників випливає: MD = KM = DK, тобто ADMК — рівносторонній.

227. У трикутниках DBK, КСЕ, EAD маємо: KB = СЕ = AD за умовою; DB = КС = АЕ — як сума рівних відрізків AD + AB, KB + ВС, АС + СЕ; ∠DBK = ∠KCB = ∠EAD — як суміжні кути до рівних кутівABC, ВСА, САВ, тому ∆DBK = ∆КСЕ = ∆EAD. Із рівності цих трикутників випливає, що DK = КЕ = DE, тобто ∆DEK — рівносторонній.

228. Нехай у рівнобедреному трикутнику AB = ВС, AD — медіана (BD = DC), АС = 20 см. Можливо два випадки:

1) PABD = 6 + PADC; 2) PADC = 6 + PABD.

1) PABD - PADC = 6, AB + AD + BD - AD - DC - AC = AB - AC, тоді AB - 20 = 6, AB = 26 (CM).

2) PADC - PABD = 6, AC + AD + DC - AD - BD - AB = AC - AB, AC - AB = 6, тоді AB = АС - 6 = 20 - 6 = 14 (CM).

Відповідь: 26 см або 14 CM.

Вправи для повторення

229. ∠3 = ∠1 = 35° (бо вертикальні кути рівні), ∠2 = 90° - ∠3 = 90° - 35° = 55° (бо ∠2 і ∠3 складають прямий кут), ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 35° = 145° (бо ∠3 і ∠4 — суміжні).

Відповідь: ∠2 = 55°, ∠3 - 35°, ∠4 = 145°.

230. Нехай AB = a, DB = х, тоді CD = 2х, АС = 2 х CD = 2 х 2х = 4х.

Тоді х + 2х + 4х = а; 7х = а; х = a/7.

1) М — середина СD, тоді 4M = АС + СМ =

Відповідь: 5a/7.

2) N і К — середини відрізків АС і DB відповідно, тоді MK = NC + CD + DK =

Відповідь: 9a/14.

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

231.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.