Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині

§ 10. Властивість паралельних прямих. Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною

199. 1) ∠1 = ∠8, 6 = ∠3 (як відповідні кути при паралельних прямих а і b і січній с).

2) ∠2 = ∠4 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих а і b і січні й с).

Я) ∠2 + ∠3 — 180° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих а i b ї січній с).

200. Оскільки m || n, d — січна, то ∠2 + 110° = 180° як сума внутрішніх односторонніх кутів. Звідси ∠2 = 180° - 110° = 70°.

∠1 = 110° (як відповідний кут до кута 110°), ∠3 = ∠1 = 110° (як вертикальні кути).

Відповідь: 110°, 70°, 110°.

201. Оскільки m || n, d — січна, ∠1 = 60° (як відповідний кут до кута 60°).

3 = ∠1 = 60° (як вертикальний кут з кутом 60°).

∠2 + ∠1 = 180° (як суміжні кути).

∠2 - 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°.

202.

Нехай ∠1 = 140°.

∠3 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).

∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).

∠6 = ∠3 = 140° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°.

∠4 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).

∠8 = ∠4 = 40° (як відповідні кути).

∠6 = ∠8 = 40° (як вертикальні кути).

203. Нехай ∠2 = 50°.

∠4 = ∠2 = 50° (як вертикальні кути).

∠4 = ∠8 = 50° (як відповідні кути).

∠6 = ∠8 = 50° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 50° = 130°.

∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути).

∠5 = ∠1 = 130° (як відповідні кути).

∠7 = ∠5 = 130° (як вертикальні кути).

204. 1) Серед кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною і не є рівними, суміжні і внутрішні односторонні. Однак і ті, й інші кути в сумі дорівнюють 180°.

37° + 133° = 170°. Отже, жоден з решти кутів не може дорівнювати 133°.

2) Так, наприклад, кут, суміжний з кутом 37°, дорівнюватиме 180° - 37° = 143°.

3) Ні, не може, оскільки 37° + 153° = 190° (дивись п. 1).

205.

Так, b || m. Оскільки за теоремою про властивість паралельних прямих, якщо а || b, а || m, то b || m.

206.

При перетині двох паралельних прямих січною утворилося дві пари внутрішніх різносторонніх кутів: одна пара гострих та одна пара тупих (якщо всі вони не дорівнюють 90°). Оскільки внутрішні різносторонні кути рівні, то кожен з них дорівнює: 240° : 2 = 120°. Це кути ∠3 і ∠5.

Відповідь: 120°.

207. Оскільки відповідні кути, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, рівні, то кожен з них дорівнює: 108° : 2 = 54°.

Відповідь: 54°.

208. Оскільки ∠1 = ∠2 (внутрішні різносторонні кути), то а || b. Тоді ∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній d. Отже, ∠3 + ∠4 = 1800.

209. Оскільки ∠1 і ∠2 — внутрішні односторонні кути, ∠1 + ∠2 = 180°, то а || b. Тоді ∠3 і ∠4 — внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих а і с і січній d. Отже, ∠3 = ∠4.

210.

Оскільки ∠1 = ∠2, які є відповідними до ∠4, то а || b. ∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а i b i січній с. ∠3 + ∠4 - 180°. Звідси ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 90° = 90°. Отже, с ⊥ b.

211.

Оскільки ad і bd, то ∠3 = 90°, ∠4 = 90°. ∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути при прямих а і b і січній d. 3 + ∠4 = 90° + 90° = 180°. Отже, а || b.

∠1 і ∠2 — відповідні кути при паралельних прямих а і b і січній с. Тоді ∠1 = ∠2.

212. 1) Нехай градусна міра одного з внутрішніх односторонніх кутів х, тоді градусна міра другого — х + 16°. Оскільки сума двох внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січній дорівнює 180°, маємо: х + х + 16° = 180°; 2х + 16° = 180°; 2x = 164°; x = 82°. Отже, один з кутів дорівнює 82°, тоді другий — 82° + 16° = 98°.

Відповідь: 82°, 98°.

2) Нехай градусна міра одного з внутрішніх односторонніх кутів дорівнює х, тоді градусна міра другого кута 3х. Оскільки сума двох внутрішніх односторонніх кутів при перетині двох паралельних прямих січною дорівнює 180°, маємо: х + 3х = 180°; 4х = 180°; x = 45°. Отже, один з кутів дорівнює 45°, другий — 45° х 3 = 135°.

Відповідь: 45°, 135°.

3) Нехай градусна міра одного кута дорівнює 5х, тоді другого — 7х.

Оскільки сума двох внутрішніх односторонніх кутів при перетині двох паралельних прямих січною дорівнює 180°, маємо: 5x + 7с = 180°; 12x = 180°; x = 15°. Отже, один з кутів дорівнює 5 x15° = 75°, другий — 7 х 15° = 105°.

Відповідь: 75°, 105°.

213. 1) Нехай градусна міра одного кута дорівнює х, тоді градусна міра другого — 4x.

Оскільки сума двох внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°, маємо: х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, один з кутів дорівнює 36°, другий — 36° х 4 = 144°.

Відповідь: 36°, 144°.

2) Нехай градусна міра одного кута дорівнює х, тоді другого — х + 8°.

Оскільки сума двох внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°, маємо: х + х + 8° = 180°; 2х = 172°; х = 86°. Отже, один з кутів дорівнює 86°, другий — 86° + 8° = 94°.

Відповідь: 86°, 94°.

3) Сума двох внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 180°. Позначимо градусну міру одного кута 5х, другого — 4х. 5х + 4х = 180°; 9х = 180°; х = 20°. Отже, один з кутів дорівнює 5 х 20° = 100°, другий — 4 х 20° = 80°.

Відповідь: 100°, 80°.

214. Рис. 155.

∠1 = ∠3 = 120° (як вертикальні кути). ∠4 = ∠1 = 120° (як відповідні кути). Отже, а || b згідно з ознакою паралельності прямих. ∠2 і ∠6 — відповідні, ∠2 = ∠6 = 110°. ∠5 i ∠2 — суміжні, х + ∠2 = 180°; x + 110° = 180°; х = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 70.

Рис. 156.

∠1 i ∠2 — суміжні кути. ∠1 + ∠2 = 180°, ∠2 = 180° - ∠1, ∠2 = 180° - 55° = 125°. ∠2 = ∠3 = 125° (як відповідні кути). Отже, а || b згідно з ознакою паралельності прямих.

∠4 і ∠5 — внутрішні різносторонні кути При паралельних прямих а і b і січній d. ∠4 = ∠5 = 65°.

Відповідь: 65°.

Рис. 157.

∠1 + ∠2 = 48° + 132° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні і їхня сума дорівнює 180°, то прямі а і b паралельні (наслідок 2).

Розглянемо паралельні прямі а і b і січну d.

3 i4 — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній d. 3 + ∠4 = 180°, ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 51° = 129°.

Відповідь: 129°.

215. Рис. 158.

∠3 = ∠4 = 80° (як вертикальні кути).

∠1 = ∠3 (як відповідні кут). Отже, а || b згідно з ознакою паралельності прямих. Розглянемо а || b і січну d. ∠2 = ∠5 як відповідні кути. Отже, х = 50°.

Відповідь: 50°.

Рис. 159.

∠4 + ∠5 = 130° + 50° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні та їхня сума дорівнює 180°, то згідно з наслідком 2 прямі а і b паралельні.

Розглянемо а || b і січну d.

∠1 = ∠2 = 70° (як вертикальні кути). ∠2 і ∠3 — внутрішні односторонні кути, отже, ∠2 + ∠3 = 180°. ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 70° = 110°.

Відповідь: 110°.

216.

Якщо а і b не паралельні прямій m, то m перетинає а і b.

Якщо пряма перетинає одну з паралельних прямих, то вона перетинає і другу. Тож а і b можуть бути паралельними, або а і b не паралельні і кожну перетинає m.

217.

Оскільки сума трьох кутів 120°, то два з цих кутів вертикальні і третій відповідний до одного з них.

∠7 + ∠6 + ∠2 = 120°. Оскільки всі ці кути рівні (∠7 і ∠6 — як вертикальні, ∠2 і ∠6 — як відповідні), то кожен з них дорівнює 40°. ∠2 = 40°, ∠6 = 40°, ∠7 = 40°.

∠3 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠1 = 180° - 40° = 140°.

∠4 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути). ∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).

∠8 = ∠5 = 140° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 40°, чотири кути по 140°.

218.

Оскільки сума чотирьох кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 128°, то це дві пари відповідних гострих кутів.

1 + 5 + 3 + 7 = 128°. Оскільки ці кути рівні, то кожен з них дорівнює 32°.

∠1 = ∠5 = ∠3 = ∠7 = 32°.

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).

∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 32° = 148°.

∠4 = ∠2 = 148° (як вертикальні кути).

∠6 = ∠2 = 148° (як відповідні кути).

∠8 = ∠6 = 148° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 32°, чотири кути по 148°.

219.

Через т. М проведемо пряму паралельні CD. KM || CD, KM || AB. Тоді ∠CMA = CMK + AMK.

Розглянемо AB || KM і січну AM.

AMK = ∠MAB = 50° (як внутрішні різносторонні кути).

Розглянемо CD || KM і січну CM.

CMK = ∠DCM = 80° (як внутрішні різносторонні кути).

Отже, ∠CMA = 80° + 50° = 130°.

Відповідь: 130°.

220. Через точку К проведемо пряму KF паралельну MN. KF || MN, KF || PL. Тоді ∠MKP = ∠MKF + ∠PKF.

Розглянемо MN || КF i січну МК. ∠MKF + ∠KMN = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠MKF = 180° - ∠KMN = 180° - 120° = 60°.

Розглянемо PL || KF і січну KP. ∠PKF + ∠KPL = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠PKF = 180° - ∠KPL = 180° - 140° = 40°.

Отже, ∠MKP = 60° + 40° = 100°.

Відповідь: 100°.

221.

Оскільки а || b, то ∠KBA = ∠BAL (як внутрішні різносторонні). Оскільки ВС і AD — бісектриси цих кутів, то ∠CBA = ∠DAB (як половини рівних кутів). Розглянемо прямі ВС і AD ті січну AB. ∠CBA і∠DAB — внутрішні різносторонні і рівні, отже, ВС || DA.

Отже, бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні.

222.

Оскільки а || b, то ∠MAK = ∠ABL (як відповідні кути).

Оскільки АС і BD — бісектриси цих кутів, то ∠ABD = ∠MAC (як половини рівних кутів).

Розглянемо прямі АС і BD і січну MN: ∠MAC і ∠ABD — відповідні кути і рівні. Отже, АС || BD.

Отже, бісектриси двох відповідних кутів при паралельних прямих і січній паралельні.

223.

224.

AB = 16 см.

1) ВС = х см, АС = х + 2, х + х + 2 = 16; 2х= 14; х = 7. Отже, ВС = 7, АС = 7 + 2 = 9.

2) ВС = х см, АС = 3х см, х + 3х = 16; 4х = 16; х = 4. Отже, ВС = 4 см, AC = 3 х 4 = 12 см.

3) Нехай АС = 5X, ВС = 3х. 5х + 3х = 16; 8х = 16; х = 2. Отже ВС = 3 x 2 = 6 см, АС = 5 x 2 = 10 см.

4 см

6 см

7 см

9 см

10 см

12 см

Ф

р

а

н

к

o

Відповідь: Франко.

225.

Домашня самостійна робота № 2 (§§ 7-10)

1. Перпендикулярні прямі зображені на рис. 166.

Правильна відповідь Г).

2. Паралельні прямі зображені на рис. 164.

Правильна відповідь Б).

3. На рис. 167 кути 1 і 2 — внутрішні різносторонні.

Правильна відповідь Г).

4. Правильним є твердження Б).

5. Прямі а і b паралельні на рис. 168, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (61° + 119° = 180°).

Правильна відповідь А).

6. Градусна міра одного з інших семи кутів може дорівнювати 145° (це буде кут суміжний до кута 35°).

Правильна відповідь B).

7.

CON =MOD = 20° (як вертикальні кути). ∠AON = ∠AOC + ∠CON = 90° + 20°= 110°.

Правильна відповідь В).

8.

∠1 + ∠2 = 180°, звідси ∠1 = 180° - ∠2.

∠3 + ∠4 = 180°, завіси ∠4 = 180° - ∠3.

∠1 + ∠4 = 180° - ∠2 + 180° - ∠3 = 360° - (∠2 + ∠3) = 360° - 175° = 185°.

Правильна відповідь Б).

9.

∠2 = ∠3 = 70° (як вертикальні кути).

∠1 = ∠2 = 70° (як відповідні кути). Отже, а || b згідно з ознакою паралельності прямих.

Розглянемо а || b і січну d. Кути 100° і х внутрішні односторонні кути, отже, їхня сума дорівнює 180°. Тоді 100° + х = 180°; х = 80°.

Правильна відповідь А).

10. Правильна відповідь В).

11.

Через т. Р проведемо пряму РК || ВА. Тоді ∠BPD = ∠BPK + ∠DPK.

Розглянемо ВА || РК і січну BP. ∠PBA + ∠BPK = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠BPK = 180° - ∠PBA = 180° - 100° = 80°.

Розглянемо РК || DC і січну PD. ∠DPK + ∠CDP = 180° (як внутрішні односторонні кути) ∠DPK = 180° - ∠CDP = 180°- 150° = 30°.

Отже, ∠BPD = 80° + 30° = 110°.

Правильна відповідь Б).

12. Нехай один із кутів дорівнює х, тоді другий — х + 60°. Суміжні кути відповідно дорівнюють 180° - x і 180° - (x + 60°) = 120° - x.

Складемо пропорцію:

960° - 8x = 900° - 5х; 3х = 60°; х = 20°. Отже, менший кут дорівнює 20°.

Правильна відповідь Г).

Завдання для перевірки знань № 2 (§§ 7-10)

1. Паралельні прямі зображені на рис. 178: m || n.

Перпендикулярні прямі зображені на рис. 176: а ⊥ b.

2.

N ∉ а, b ⊥ а, с ⊥ b.

3. 1) 1 і 2 — внутрішні різносторонні кути.

2) 1 і 3 — внутрішні односторонні кути.

3) 1 і 4 — відповідні кути.

4. 1) Прямі KL і МТ не перпендикулярні, оскільки ∠KOA + ∠AOM = 70° + 19° = 89°, а перпендикулярні прямі утворюють кут 90°.

2) Прямі KL і MN перпендикулярні, оскільки ∠KON = ∠KOB + ∠NOB = 121° = 21° = 90.

5.

6.

Нехай ∠1 = 78°, тоді ∠3 = ∠1 = 78° (як вертикальні кути), ∠5 = ∠1 = 78° (як відповідні кути), ∠7 = ∠5 = 78° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути), ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 78° = 102°.

∠4 = ∠2 = 102° (як відповідні кути).

∠6 = ∠2 = 102° (як відповідні кути).

∠8 = ∠6 = 102° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 78°, чотири кути по 102°.

7.

Оскільки ABCD, то ∠AOC = 90°. ∠AOK = ∠AOC - ∠KOC, ∠KOC = ∠DOL = 38° (як вертикальні кути). Отже, ∠AOK = 90° - 38° = 52°.

Відповідь: 52°.

8.

∠1 і ∠2 — внутрішні односторонні кути при прямих а і b і січній d. 1 + 2 = 40° + 140° = 180°. Згідно з наслідком 2 прямі a i b паралельні.

Розглянемо а || b і січну с. ∠5 = ∠3 = 130° (як внутрішні різносторонні кути).

∠5 + ∠4 = 180° (як суміжні кути). ∠4 = 180° - ∠5 = 180° - 130° = 50°.

Відповідь: 50°.

9.

Проведемо пряму PR || DC, тоді ∠BKD = ∠BKP + ∠DKP.

Розглянемо BA || PR i січну BK. ∠BKP = ∠KBA = 40° (як внутрішні різносторонні кути).

Розглянемо KR || DC і січну KD. ∠DKP = ∠KDC = 70° (як внутрішні різносторонні кути).

Отже, ∠BKD = 40° + 70° = 110°.

Відповідь: 110°.

10. Нехай один із внутрішніх односторонніх кутів дорівнює х, тоді другий — 4х. Оскільки їх сума дорівнює 180°, маємо: х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, один з кутів дорівнює 36°, другий — 4 х 36° = 144°.

Відповідь: 36°, 144°.

11.

Так, прямі c i d паралельні між собою.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити