Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 14. Рівнобедрений трикутник

324. ТР — основа, TD і PD — сторони, ∠T = P.

325. Другий кут при основі рівнобедреного трикутника теж дорівнює 50° (згідно з теоремою 1).

326. У рівнобедреному трикутнику бічні сторони рівні, отже, третя сторона дорівнюватиме 7 см.

327. Оскільки у рівносторонньому трикутнику усі сторони рівні, то РABC = 3 х AB = 3 х 10 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

328. Оскільки у рівносторонньому трикутнику усі сторони рівні, то ВС = РABC : 3, ВС = 15 : 3 = 5(см).

Відповідь: 5 см.

329.

Нехай бічні сторони AB і ВС дорівнюють 9 см кожна, тоді основа АС = 9 - 2 = 7 (см). РABC = 9 + 9 + 7 = 25(CM).

Відповідь: 25 см.

330. У рівнобедреному трикутнику бічні сторони рівні, отже, кожна з них дорівнює 10 + 4 = 14 (см). Тоді периметр Р = 10 + 14 + 14 = 38 (см).

Відповідь: 38 см.

332.

Нехай в ∆АВС: АС — основа, AB = ВС = 7 см. РABC = 20 см. Отже, маємо Р = AB + ВС + АС. 20 = 7 + 7 + АС, АС = 20 - 14 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

333.

Нехай в ∆AMN: AM = AN = 7 дм (як бічні сторони). P∆AMN = 18 дм. Отже, AM + AN + MN = 18; 7 + 7 + MN = 18; MN = 18 - 14 = 4 (дм).

Відповідь: 4 дм.

334.

Нехай в ∆АСD: CD = 12 дм, РACD = 30 дм. РШ∆ACD = АС + AD + CD, 30 =АС + AD + 12, 30 = 2АС + 12 (оскільки АС = AD), 2АС = 18, АС = 9 (дм).

Відповідь: 9 дм.

335.

Нехай в ∆ABC: AB = ВС, АС = 5 см, PABC = 17 см. PABC = АВ + ВС + AC, 17 = AB + ВС + 5, 17 = 2АВ + 5 (оскільки АВ = ВС), 2АВ = 12, AB = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

336.

За умовою ∆АВС — рівнобедрений, отже, АС = СВ і ∠CAB = ∠CBA (за властивістю кутів рівнобедреного трикутника).

KAC iCAB — суміжні, ∠KAC + ∠CAB = 180°, ∠KAC = 180° - ∠CAB. ∠MBC і ∠CBA — суміжні, ∠MBC + ∠CBA = 180°, ∠MBC = 180° - ∠CBA. Оскільки ∠CAB = ∠CBA, то і ∠KAC = ∠MBC.

337.

За умовою ∆KLM — рівнобедрений з основою KL. Отже, за властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠MKL = ∠MLK. ∠MLK = ∠PLN — як вертикальні кути. Оскільки ∠MLK = ∠MKL, то ∠PLN =∠MKL.

338. 1) Так, оскільки у рівнобедреного трикутника дві сторони рівні.

2) Ні, оскільки у рівностороннього трикутника рівні всі три сторони, а у рівнобедреного обов'язково дві.

339.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, РABC = 14 см. AB + ВС = 14 - 6 = 8 (см), AB = ВС = 8 : 2 = 4 (CM). АС = РABC = (AB + ВС) = 14 - 8 = 6 (см).

Відповідь: 4 см, 4 см, 6 см.

340.

Нехай ∆АВС — рівнобедрений, AB = ВС, PABC = 44 см. Позначимо основу АС = х, тоді AB = х + 4, АС = х + 4. Складемо рівняння: (х + 4) + (х + 4) + х = 44; 3х + 8 = 44; 3х = 36; х = 12. Отже, АС = 12 см, AB = ВС = 12 + 4 = 16 (см).

Відповідь: 12 см, 16 см, 16 см.

341.

Нехай ∆АВС — рівнобедрений, AB = ВС, РABC = 35 дм. Позначимо основу АС = х, тоді AB = ВС = 2х. Складемо рівняння: х + 2х + 2х = 35; 5х = 35; х = 7. Отже, АС = 7 дм, AB = ВС = 7 х 2 = 14 (дм).

Відповідь: 7 дм, 14 дм, 14 дм.

342.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений (AB = ВС) з основою АС, то ∠BAC = ∠ВСА (за властивістю кутів рівнобедреного трикутника).

Розглянемо ∆СКА і ∆ALC: АС — спільна, КА = LC (за умовою), ∠КАС = ∠LCA. Отже, ∆СКА = ∆ALC (за двома сторонами і кутом між ними). Отже, AL = КС (як відповідні сторони).

343.

Нехай ∆АВС — рівнобедрений, AB = ВС, ∠КСА = ∠LAC.

Розглянемо ∆АОС. Оскільки ∠КСА = ∠LAC, то за теоремою 2∆АОС — рівнобедрений. Звідси ОА = ОС.

Розглянемо ∆КОА і ∆LOC. ∠КАО = ∠BAC - ∠LAC, ∠LCO = ∠ВСА - ∠КСА. Оскільки ∠BAC = ∠ВСА і ∠КСА = ∠LAC, то ∠КАО = ∠LCO.

∠КОА = ∠LOC — як вертикальні. Отже, ∆КОА = ∆LOC за стороною і прилеглими кутами. Звідси AK = CL.

344. Розглянемо ∆LCM і ∆МАК. СМ = АК (за умовою), LC = LB + ВС, МА = MC + АС, отже, LC = МА, оскільки MC = СВ за умовою, ВС = АС — як сторони рівностороннього ∆АВС.

LCM = ∠МАК — як кути, суміжні з рівними кутами.

LCM = ∆МАК за двома сторонами і кутом між ними. Звідси LM = КМ.

Аналогічно з рівності ∠МАК та ∠KBL отримаємо KM = KL. Маємо LM = KM = KL. Отже, ∆KLM — рівносторонній.

345. За умовою AB = ВС = АС, АР = ВК = LC, тоді РВ = АВ - АР, КС = ВС - BK, AL = AC - LC, PB = KC = AL. Оскільки ∆АВС — рівносторонній, то ∠А = ∠B = ∠С.

∆РВК = ∆KCL = ∆LAP — за двома сторонами і кутом між ними. Отже, PK = KL = LP, то ∆PKL — рівносторонній.

346. Припустимо, що обидва суміжні кути більші за 90°, або один з кутів більший за 90°, а другий дорівнює 90°. Тоді їх сума буде більшою за 180°, а це суперечить означенню суміжних кутів.

347. Оскільки ∆АОВ і ∆COD рівні, то рівні їхні відповідні кути і сторони, тобто BO = OD, ∠ABO = ∠CDO.

Розглянемо ∆КВО і ∆LDO. ∠KOB = ∠LOD — як вертикальні кути. ∆КВО = ∆LDO за стороною і прилеглими кутами. Отже, KO = OL, KB = DL.

348.

Нехай довжина відрізка ЛІС = х см, тоді ВК = (48 - х) см.

За умовою 5АК = 7ВК, отже маємо рівняння: 5х = 7(48 - х); 5х = 336 - 7х; 12х = 336; х = 28. Отже, АК = 28 см, ВК = 48 - 28 = 20 (см).

Відповідь: 28 см, 20 см.

349. 1) Конус, сукно; 2) сектор, корсет.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити