Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 16. Третя ознака рівності трикутників

377. У трикутників ABC і CDA AB = АС, ВС = AD за умовою. АС — спільна сторона. Отже, ∆ABC = ∆СDA за третьою ознакою рівності трикутників.

378. У трикутників ACD і ABD АС = BD, CD = BD за умовою, AD — спільна сторона, отже, ∆ACD = ∆ABD за третьою ознакою рівності трикутників.

379. MK = ML, KN = NL — за умовою, MN — спільна сторона ∆MKN і ∆MLN. Отже, ∆MKN = ∆MLN за трьома сторонами. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠K = ∠L.

380. РК = ML, PM = KL — за умовою, КМ — спільна сторона ∆РМК і ∆LKM. Отже, ∆РМК і ∆LKM за трьома сторонами. У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠PKM = ∠LMK.

381. З’єднаємо точку В і точку С. Отримаємо два трикутники: ∆АВК iCBK. AB = ВС, AK = КС за умовою, ВК — спільна сторона ∆АВК і ∆СВК. Отже, ці трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠ABK = ∠CBK. Отже, ВК — бісектриса кута ABC.

382.

З’єднаємо т. М і т. L. Отримаємо два трикутники: ∆MPL і ∆MKL. MP = МК, PL = LK — за умовою, ML — спільна сторона ∆MPL і ∆MKL.

MPL = ∆MKL за третьою ознакою рівності трикутників. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠PML = ∠KML. Отже, ML — бісектриса кута РМК.

383. AB = CD, AC = BD за умовою, DA — спільна сторона ∆CDA і ∆BAD. ∆CDA = ∆BAD — за третьою ознакою рівності трикутників. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠BDA = ∠CAD.Ці кути є кутами ∆DAO, тоді за ознакою рівнобедреного трикутника ∆DAC — рівнобедрений.

384. АО = OB, CO = OD за умовою.

DOB = ∠COA — як вертикальні кути. Отже, ∆DOB = ∆СОА за першою ознакою рівності трикутників. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому OB = СА. DA = DO + ОА, СВ = СО + ОB,DA = СВ, оскільки DO = СО, ОА = OB. AB — спільна сторона ∆ABC і ∆BAD.

Отже, ∆ABC = ∆BAD за третьою ознакою рівності трикутників.

385.

У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тобто якщо ABMN, ВС ≠ NP, АС ≠ МР, то ∆ABC ≠ ∆MNP.

386.ABC і ∆MNP — рівнобедрені. AB = MN = 5 см, ВС = NP =7 см. AB і ВС та МN і NP — це відповідно основи і бічні сторони у рівнобедрених трикутниках. Якщо AB і MN — бічні сторони, то АС і МР теж відповідно бічні сторони, які дорівнюють 5 см. Аналогічно, якщо ВС і NP — бічні сторони, які дорівнюють 7 см. Отже, маємо трикутники, у яких відповідні сторони рівні. Тому ∆ABC = ∆MNP.

387.

∆АСК = ∆АВК за третьою ознакою рівності трикутників (оскільки AB = АС, ВК = КС за умовою, АК — спільна сторона). ∠CAK = ∠BAK, оскільки у рівних трикутників відповідні кути рівні. От же,AN — бісектриса трикутника ABC. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є висотою, тобто ANCB. Оскільки К є AN, то АК ⊥ СВ.

388.

∆DPN =DPM за третьою ознакою рівності трикутників (оскільки DM = DN, MP = PN за умовою, DP — спільна сторона). ∠NDP = ∠MDP, оскільки у рівних трикутників відповідні кути рівні. Отже,DP — бісектриса трикутника DMN. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною, тобто NK = МК.

389.

За допомогою шаблона у 10° відкладемо 9 кутів так, щоб одна із сторін кута була стороною наступного кута.

390.

Нехай ∠KAC = х, тоді ∠BAK = 126° - х. Складемо рівняння: 4(126 - х) = 5х; 504 - 4х = 5х; 9х = 504; x = 56. Отже, ∠КАС = 56°, ∠BAK = 126° - 56° = 70°.

Відповідь: 56°, 70°.

391.

Домашня самостійна робота № З (§§ 11-16)

1. РKLM = КМ + ML + KL = 4 + 7 + 10 = 21 (см).

Правильна відповідь Б).

2. У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠B = ∠T.

Правильна відповідь Б).

3. ABC = ∆A1B1C1 за другою ознакою рівності трикутників.

Правильна відповідь Б).

4. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює: (17 - 5) : 2 = 12 : 2 = 6(см).

Правильна відповідь Г).

5.KOL = ∠MON як вертикальні кути, отже, ∆KOL = ∆MON за другою ознакою.

6.

Оскільки ∠A = ∠B, то ∆ABC — рівнобедрений. СА = СВ, отже, CL — медіана, проведена до основи AB трикутника ABC, тому CL — бісектриса і висота.

Правильна відповідь В).

7. Нехай одна із сторін трикутника — х см, друга — 2х см, третя — (х + 2) см. Складемо рівняння: x + 2х + (х + 2) = 22; 4x + 2 = 22; 4х = 20; х = 5. Отже, одна із сторін трикутника дорівнює 5 см, друга — 10 см, третя — 7 см.

Правильна відповідь Г).

8.

Оскільки ∆KLM = ∆MLK, то KL = ML, LM = LK, МК = КМ. Отже, РKLM = 6 + 6 + 5 = 17 (см).

Правильна відповідь А).

9.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то твердження: ∠ABC = ∠BKA — неправильне.

Правильна відповідь А).

10.

Оскільки ∆ABC = ∆ВСА, то відповідні сторони трикутників рівні.

Правильна відповідь Г).

11.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то СК — є ще й медіаною, отже, АК = КВ.

PACK = АС + СK + АК, 30 = АС + АК + СК, СК = 30 = (АС + АК).

PABC = АС + СВ + АК + КВ = 2(АС + АК), 36 = 2(АС + АК), АС + АК =18. Отже, СК = 30 - 18 = 12 (см).

Правильна відповідь Г).

12.

Оскільки у ∆АВС AB =АС, то трикутник ABC — рівнобедрений. рис. Оскільки ВМ = MC, то AM — медіана, отже, і бісектриса. ∠MBA = ∠MCA, а твердження, що ∠MBA = ∠MCA — неправильне.

Правильна відповідь Б).

Завдання для перевірки знань № 3 (§§ 11-16)

1.

Вершини: М, N, К. Сторони: MN, NK, КМ. Кути: ∠M, ∠N, ∠K,

2.KNM — прямокутний; ∆ABC — гострокутний; ∆QRP — тупокутний.

3.CDM — рівносторонній; ∆АВК — рівнобедрений; ∆PMF - тупокутний.

4.

Оскільки ∆АВС = ∆KMF, то відповідні сторони рівні. Отже, KM = AB = 5 см. MF = ВС = 4 см, АС = KF = 7 см.

5. MKL = ∆NKL за двома сторонами і кутом між ними (МК = KN, ∠LKM = ∠LKN — за умовою, LK — спільна сторона).

6. 12 см + 3 см = 15 см — бічна сторона трикутника. Р =15 + 15 + 12 = 42 (см).

7.BCD = ∆ADC (АС = BD, ВС = AD — за умовою, CD — спільна сторона ∆BCD і ∆ADC) за третьою ознакою рівності трикутників.

8. Нехай перша сторона трикутника дорівнює х см, тоді друга — 2х см, третя — (3 + х) см. Складемо рівняння: х + 2х + 3 + х = 23; 4х = 20; х = 5. Отже, одна сторона трикутника дорівнює 5 см, друга — 2 х 5 = 10 см, третя — 3+ 5 = 8 см.

9.

Оскільки ∆KML — рівнобедрений, МК = ML. Оскільки МР — медіана, проведена до основи, KP = PL. РMKP = МК + КР + МР, МК + КР = РMKP - МР = 24 - 8 = 16 (дм). PKML = МК + ML + KP + PL = 2(МК + KP) = 2 х 16 = 32 (см).

10. Оскільки ∆ANP = ∆АМВ, то AN = АМ — як відповідні сторони. ∠NAC = ∠MAC — як відповідні кути. ∆ANC = ∆АМС за першою ознакою рівності трикутників (AN = МА, ∠NAC = ∠MAC, АС — спільна сторона). З рівності трикутників ANC і АМС випливає рівність NC = MC.

11. Оскільки ∆MKL = ∆KLM, то МК = KL, KL = LM, LM = МК (як відповідні сторони). Тобто ∆MKL — рівносторонній.

Нехай МК = х, тоді РKML = 3 х МК = 3 x x. Складемо рівняння: 3х - х = 10; 2х = 10; x = 5. Отже, сторона трикутника дорівнює 5 см, тоді PKML = 3 х 5 = 15 см.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити