Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 17. Сума кутів трикутника

393. 1) Ні, бо 40° + 50° + 70° = 160°, а сума кутів трикутника дорівнює 180°.

2) Так, оскільки 80° + 30° + 70° =180°.

394. 1) Ні, оскільки 20° + 100° + 80° = 200° ≠ 180°.

2) Так, оскільки 40° + 50° + 90° = 180°.

395. Нехай ∠A — невідомий кут трикутника.

1) ∠A = 180° - (42° + 54°) = 180° - 96° = 84°.

2) ∠A = 180° - (7° + 95°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (89° + 87°) = 180° - 176° = 4°.

396. Нехай ∠3 — невідомий кут трикутника.

1) ∠3 = 180° - (14° + 39°) = 180° - 53° = 127°.

2) ∠3 = 180° - (29° + 106°) = 180° - 135° = 45°.

3) ∠3 = 180° - (5° + 92°) = 180° - 97° = 83°.

398. ∠3 = 180° - 125° = 55°.

399.A + ∠B + ∠C = 180°, ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 94° = 86°.

400. Нехай ∠1 = 64° ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.

401.

Нехай в ∆ABC АВ = ВС. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠ВАС = ∠BCA. АВ = АС, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює180°, то ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°.

Відповідь: 60°.

402.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, АС = AB, ∠ACB = ∠LABC = 70°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь: 40°.

403.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, АС = АВ, ∠ACB = ∠ABC = 45°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 90°.

404.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, АС = АВ, ∠CAB = 80°. ∠ACB = ∠ABC — як кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°. Отже, ∠ACB= ∠ABC = 100° : 2 = 50°.

Відповідь: 50°.

405.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, АС = AB, ∠CAB = 50°. ∠ACB = ∠ABC — як кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°. Отже, ∠ACB= ∠ABC = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 65°.

406. Рис. 299. ∠ABC = 70° (як вертикальний кут з кутом, який дорівнює 70°). ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (80° + 70°) = 180° -150° = 30°.

Рис. 300. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°). ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° - (75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.

407. Рис. 301. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°). ∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°.

Рис. 302. ∠NML = 180° - 140° = 40° (як суміжний кут з кутом, рівним 140°). ∠MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML)= 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.

408.

У ∆ABCA = 50°, ∠B = 70°. ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°. Оскільки CP — бісектриса кута С, то ∠ACP = ∠PCB = 60° : 2 = 30°.

Відповідь: 30°.

409.

У ∆ABCB = 65°, ∠ACP = 40°. Оскільки CP — бісектриса кута С, то ∠ACB = 2∠ACP = 2 х 40° = 80°. Отже, ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°.

Відповідь: 35°.

410.

У трикутнику MNLM + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°. ∠M + ∠N + ∠L = 180° — як сума кутів трикутника. ∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°, ∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°, ∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°.

Відповідь: 60°, 80°, 40°.

411.

У ∆ABCA + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° — як сума кутів трикутника. ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°, ∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°, ∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°.

412. Припустимо, що в трикутнику всі кути менші від 60°. Тоді сума кутів трикутника менша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не менший ніж 60°.

413. Припустимо, що в трикутнику всі кути більші за 60°. Тоді сума кутів трикутника більша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не більший за 60°.

414. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠A = 3х, ∠B = 4х, ∠C = 5х. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Складемо рівняння: 3х + 4х + 5х = 180°; 12х = 180°; х = 15°. Отже, ∠A = 3 х 15° = 45°, ∠B = 4 х 15° = 60°, ∠C = 5 х 15° = 75°.

Відповідь: 45°, 60°, 75°.

415. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х. Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 10х = 180°; х = 18°. Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 x 18° = 36°, 3 x 18° = 54°, 5 x 18° = 90°.

Відповідь: 36°, 54°, 90°.

416.

Нехай ∆KLM — рівнобедрений, ∠L = х, тоді ∠K = ∠M = х + 15°. Складемо рівняння: х + (х + 15°) + (х + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3х + 30° = 180°; 3х = 150°; х = 50°. Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

417.

Нехай ∆KLM — рівнобедрений, ∠K = ∠M = х, тоді ∠L = х + 24°. Складемо рівняння: х + х + (х + 24°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3х + 24° = 180°; 3х = 156°; х = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

418. Припустимо, що кути в основі рівнобедреного трикутника не гострі, тобто прямі або тупі. Тоді сума цих двох кутів дорівнює 180° або більша за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення є невірним. Кути в основі рівнобедреного трикутника гострі.

419. І випадок. Припустимо, що кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді сума кутів в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 180° -60° = 120°. Оскільки кути в основі рівні, кожен з них дорівнює 60°. Отже, всі кути трикутника по 60°, тобто трикутник — рівносторонній.

II випадок. Нехай кут в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді і другий кут в основі дорівнює 60°. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника кут у вершині дорівнює 180° - (60° + + 60) = 60°. Таким чином, всі кути трикутника по 60°, отже, трикутник — рівносторонній.

420. Нехай третій кут трикутника дорівнює х, тоді другий — х + 14°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 14° + 80° = 180°; 2х = 86°; х = 43°. Отже, третій кут дорівнює 43°, другий — 43° + 14° = 57°.

Відповідь: 57°, 43°.

421. Нехай один з кутів трикутника дорівнює х, тоді другий — 2x. 3а теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + 2х + 36° = 180°; 3х= 144°; х = 48°. Отже, один з кутів дорівнює 48°, другий — 48° х 2 = 96°.

Відповідь: 48°, 96°.

422. Розглянемо ∆АОВ і ∆DOC. ∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути). ∠A = 180° - (∠B + ∠AOB), ∠D = 180° - (∠C + ∠DOC). Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D. Отже, ∆АОВ = ∆ DOC за другою ознакою рівності трикутників.

423.

ВС = B1C1, ∠A = ∠A1,B = ∠B1. У ∆ABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B). У ∆A1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1). Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1. Отже, ∆ABC = ∆A1B1C1 за другою ознакою рівності трикутників (ВС = В1С1, ∠B = ∠B1 — за умовою, ∠C = ∠C1 — за розв’язанням).

424.

Нехай у ∆АВС ∠A = 46°, ∠C = 64°, АР — бісектриса ∠А, СК — бісектриса ∠C. Розглянемо ∆АОС. Оскільки АР — бісектриса ∠A, то ∠OAC = 46°/2 = 23°. Оскільки СК — бісектриса ∠C, то ∠OCA = 64°/2 = 32°. Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ОАС + ∠OCA + ∠AOC = 180°. Звідси ∠АОС = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°. Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать бісектриси кутів А і С, буде кут, суміжний з кутом АОС. Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 55°.

425.

Нехай у ∆ABCA = 70°, ∠B = 80°. ВМ ⊥ AC, AKBC.

У ∆ABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки ВМ — висота).

A + ∠ABM + BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.

З ∆АВК: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ ВС). За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°. Звідси ∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°.

Розглянемо ∆АОВ. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°. Звідси ∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.

Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, яким належать висоти, буде кут суміжний а кутом ВОА, це кут ∠AOM = 180° - 150° = 30°.

Відповідь: 30°.

426. 1) І випадок. Нехай кут 12° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі трикутника дорівнює 180° - 12° = 168°. Отже, кожен із кутів в основі дорівнює 168°: 2 = 84°.

Відповідь: 12°, 84°, 84°.

II випадок. Нехай кут 12° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 12°. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.

Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2) Один з кутів дорівнює 92°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 92°, 44°, 44°.

427. 1) І випадок. Нехай кут 28° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 28° = 152°, а кожен з кутів дорівнює 152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 28°, 76°, 76°.

II випадок. Нехай кут 28° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 28°, оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° =124°.

Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 106° = 74°, а кожен з кутів дорівнює 74° : 2 = 37° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні між собою).

Відповідь: 106°, 37°, 37°.

428. Нехай а ll b, с — січна. ∠DAB і ∠EBA — внутрішні односторонні кути, АС — бісектриса кута DAB, ВС — бісектриса кута АВЕ.

DAB + ∠EBA = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів).

Оскільки АС — бісектриса ∠DAB, то ∠BAC = 1/2∠DAB.

Оскільки ВС — бісектриса ∠EBA, то ∠ABC = 1/2∠EBA.

Отже, ∠BAC + ∠ABC = 1/2∠DAC + 1/2∠EBA = 1/2(∠BAD + ∠EBA) = 1/2 ∙ 180° = 90°.

З ∆ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°. Отже, бісектриси двох внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній перетинаються під прямим кутом.

429. І випадок. Кут у вершині удвічі більший за кут в основі. Нехай кут в основі дорівнює х, тоді кут при вершині дорівнює 2х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 2х = 180°;4x = 180°; х = 45°. Отже, кути в основі дорівнюють 45° кожен, кут у вершині — 2 x 45° = 90°.

Відповідь: 45°, 45°, 90°.

II випадок. Кут в основі рівнобедреного трикутника удвічі більший за кут у вершині. Нехай кут у вершині дорівнює х, тоді кожен з кутів в основі дорівнює 2х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: 2х + 2х + х = 180°; 5х = 180°; x = 36°. Отже, кут у вершині дорівнює 36°, а кожен з кутів в основі дорівнює 36° х 2 = 72°.

Відповідь: 72°, 72°, 36°.

430. І випадок. Нехай кут у вершині дорівнює х, тоді кут в основі дорівнює х + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + (х + 15°) + (х + 15°) = 180°; 3х + 30° = 180°; 3х = 150°; х = 50°. Отже, кут у вершині дорівнює 50°, тоді кожне з кутів в основі дорівнює 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут в основі трикутника дорівнює х, тоді кут у вершині дорівнює х + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + х + 15° = 180°; 3х = 165°; х = 55°. Отже, кожен з кутів в основі дорівнює 55°, тоді кут у вершині дорівнює 55° + 15° = 70°.

Відповідь: 55°, 55°, 70°.

431.

Нехай ∆KLM — рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°, KP — бісектриса ∠K, KP = 5 см. Оскільки KP — бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ∆КРМ. ∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°. Отже, ∠KPM = ∠LMK. За ознакою рівнобедреного трикутника ∆КРМ — рівнобедрений. КМ = KP = 5 см.

Відповідь: 5 см.

432.

PK = PLKL = 56 мм - 3 см 4 мм = 56 мм - 34 мм = 22 мм.

433.

1 = 3 — як вертикальні кути. ∠4 = 2 — як вертикальні кути. Якщо ∠1 = ∠2 (за умовою), то ∠3 = ∠4 — внутрішні різносторонні кути. За наслідком 1, якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні. Отже, m || n.

434. І випадок

BOC = ∠AOC - ∠AOB = 60° - 40° = 20°.

IІ випадок

∠ВОС = ∠AOC + ∠AOB = 60° + 40° = 100°.

435.

ABC = ∆ABD, оскільки AB = АС = СВ, AB = AD = DB. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тобто ∠CAB = ∠DAB = 60° (як кути рівностороннього трикутника). ∆CAD — рівнобедрений.

АО — бісектриса, проведена з вершини трикутника до основи. За властивістю бісектриси рівнобедреного трикутника, вона є і висотою, тобто AOCD, О є AB, отже, ABCD.

436.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити