Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 19. Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

466. 1) PF — гіпотенуза, PL і LF — катети.

2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF — гіпотенуза.

467. На рис. 321 трикутники рівні за двома катетами. Оскільки АС = ML, СВ = LP, то ∆АСВ = ∆MLP.

На рис. 322 трикутники рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ∆NFE = ∆DKO.

468. На рис. 323 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, C = ∠B, то ∆СМК = ∆ВАР.

На рис. 324 трикутники рівні за катетом і гіпотенузою. Оскільки ED = CD, DF = QN, то ∆EDF = ∆LQN.

469. 1) Нехай ∠C = 17°, тоді ∠B = 90° - ∠C = 90° - 17° = 73°.

2)

Нехай ∠L = 83°, тоді ∠M = 90° - 83° = 7.

Відповідь: 1) 73°; 2) 7°.

470. 1)

Нехай ∠M = 79°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 79° = 11°.

2)

Нехай ∠R = 27°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 27° = 63°.

Відповідь: 1) 11°; 2) 63°.

471.

Нехай ∆ABC — прямокутний і рівнобедрений (∠B = 90°, BA = ВС).

A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90° і вони рівні, то ∠A = ∠C = 90°; 2 = 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

472.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, ∠A = 45°, тоді ∠C = 45° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠A + ∠B + ∠C =180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 90° = 90°. Отже, ∆ABC — прямокутний.

473.

1) Згідно з властивістю 3, катет прямокутного трикутника» що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Отже, ВС = 1/2AВ = 1/2 ∙ 12 = 6 (см).

2) AB = 2ВС = 2 x 3 = 6 (CM).

Відповідь: 1) 6 см; 2) 6 дм.

474. 1) Оскільки у прямокутнику ∆PFL

F = 90°, ∠L = 30°, то PF = 1/2PL = 1/2 ∙ 16 = 8 (дм).

475.

Нехай ∆ABC - даний трикутник, ∠ABK = 37°, ∠KBC = 62°. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 37° + 62° = 99°.

З прямокутного ∆ABK маємо: ∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 37° = 53°.

З прямокутного ∆СВК маємо: ∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 62° = 28°.

Відповідь: 99°, 53°, 28°.

476. Нехай ∆KLM — рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN — медіана рівнобедреного трикутника, то LN — бісектриса і висота ∆KLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 x 28° = 56°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠K + ∠M + ∠L = 180°, ∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 56° = 124°. ∠K = ∠M як кути в основі рівнобедреного трикутника. ∠K = ∠M = 124° : 2 = 62°. °56°, 62°, 62°.

477. ∆АВС = ∆KLC (оскільки ВС = CL за умовою, ∠BCA = ∠LCK — як вертикальні кути) за гіпотенузою і гострим кутом.

478. У прямокутних три кутниках MРК і MLKPMK = ∠LMK — за умовою, МК — спільний катет. Отже, ∆МРК = ∆MLK за катетом і прилеглим кутом.

479. 1)

Нехай в прямокутному ∆KLML = х°, тоді ∠K = х° + 28°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння: х + х + 28° = 90°, 2х = 90° - 28° = 62°; х = 62° : 2 = 31°. Отже, ∠L = 31°, ∠K = 31° + 28° = 59°.

Відповідь: 31°, 59°.

2)

Нехай в прямокутному ∆АВС ∠A = х°, ∠B = 5х°. Скільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: х + 5х = 90°; 6х = 90°; х = 15°. Отже, ∠A = 15°, ∠B = 15° х 5 = 75°.

Відповідь: 15°, 75°.

3)

Нехай в прямокутному ∆АВС градусна міра ∠A = 2х°, ∠B = 3х°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 2х + 3х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠A = 2 x18° = 36°, ∠B = 3 x 18° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

480. 1)

Нехай в прямокутному ∆АВС ∠A = х°, ∠B = 4х°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° х 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°.

2)

Нехай в прямокутному ∆АВС ∠A = x, тоді ∠B = х + 16°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: х + х + 16° = 90°, 2х = 74°, x = 37°. Oтже, A = 37°,B= 37° + 16° = 53°.

Відповідь: 37°, 53°.

3)

Нехай в прямокутному ∆ABCB = 5х, ∠A = 4х. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 5х + 4х = 90°; 9х = 90°; х = 10°. Отже, ∠B = 5 х 10° = 50°, ∠A = 4х 10° = 40°.

Відповідь: 50°, 40°.

481.

Нехай в прямокутному ∆KNM (∠M = 90°) МР — бісектриса, ∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26°.

З ∆КМР: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180° - (26° + 45°) = 109°. Тоді ∠MPK = 180° - ∠KPM = 180° - 109° = 71°. Отже, менший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 71°.

Відповідь: 71°.

482.

Нехай в прямокутному ∆АВС (C = 90°) СК — бісектриса. ∠ACK = ∠KCB = 90° : 2 = 45°.

З ∆СКВ ∠CKB = 180° - (∠KCB + ∠B) = 180° - (45° + 68°) = 67°(за теоремою про суму кутів трикутника). Тоді ∠CKA = 180° - ∠CKB = 180° - 67° = 113°. Отже, більший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 113°.

Відповідь: 113°.

483.

Нехай т. М розміщена всередині кута ABC, MBAB, MCAC, BM = CM. Доведемо, що т. M належить бісектрисі кута А, тобто ∠BAM = ∠CAM.

∆АВМ = ∆ACM за гіпотенузою і катетом (AM — спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

484.

Нехай в прямокутному ∆ABC (∠B = 90°) BDAC, ∠DBC = 32°.

ЗВDС: ∠C = 90° - ∠DВС = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°.

Відповідь: 58°, 32°.

485.

Нехай ∆ABC — прямокутний (∠C = 90°). CM і BN — бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45° ∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°.

З ∆СОВ за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°. Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°. Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 х 20° = 40°.

З ∆ABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

486.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, ∆A1B1C1 — рівнобедрений, A1B1 = B1C1, ВК ⊥ AC, B1K1A1C1.

ABK = ∆A1B1K1 (за гіпотенузою АВ = A1B1 і катетом ВK = B1K1). З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, АК = А1К1. Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = К1С1. Враховуючи, що АК = А1К1, маємо АС = А1C1.

Отже, ∆ABC = ∆A1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними (АВ = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, АС = A1C1 за доведенням).

487.

Нехай ∆ABC — прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, АВ + СВ = 30 см, СК — медіана. ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

Нехай ВС = х, тоді АВ = 2х (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: х + 2х = 30; 3х = 30; х = 10, тоді 2х = 2 х 10 = 20. Отже, АВ = 20 см. Оскільки ОК — медіана, проведена до гіпотенузи, то СК = 1/2AВ = 1/2 ∙ 20 = 10 (см).

Відповідь: 20 см, 10 см.

488.

Нехай ∆KMN — прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, МР = 4 см.

З ∆KMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки МР — бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30. Отже, ∆РКM - рівнобедрений, оскільки ∠К = ∠КМР, звідси РК = МР = 4 (см).

З ∆PMN: ∠PMN = 30°. Отже, РN = 1/2MР = 1/2 ∙ 4 = 2 (см). KN = РК + PN = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

489.

Нехай у прямокутному трикутнику AВС (C = 90°), ∠PAB і ∠ABK — зовнішні кути при вершинах гострих кутів. Нехай ∠PAB = х°, тоді ∠ABK = х° + 20°. ∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси ∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - х°. ∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси ∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (х° + 20°) = 160° - х°.

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2х = 250°; х = 125°. Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°.

Відповідь: 55°, 35°.

490.

Нехай у прямокутному ∆KLM (∠M = 90°) ∠NKP і ∠KLP — зовнішні кути, ∠NKP = 2х°, ∠KLP = 3х°. ∠MKL = 180° - 2x°. ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутій). ∠MKL + ∠KLM = 90°, отже, 180° - 2х + 180° - 3х = 90°; 5х = 270°; х = 54°. Отже, ∠MKL = 180° - 2 x 54° = 180° - 108° = 72°, ∠KLM = 180° - 3 х 54° = 180° - 162° = 18°.

Відповідь: 72°, 18°.

491.

Нехай СМ - медіана, РACM = РCMB. Оскільки РACM = АС + CM + AM, РCMB = ВС + CM + MB і ці периметри рівні, то АС + CM + АМ = ВС + СМ + MB. Звідси АС + AM = ВС + MB. Враховуючи, щоAM = MB, матимемо АС = ВС. Отже, у трикутника ABC хоча б дві сторони рівні, а отже, рівні і хоча б два кути.

492.

Нехай в ∆ABCA = х°, ∠B = х° + 20°, ∠C = 3х°.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 20° + 3х = 180°; 5х = 160°; x = 32°. Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 х 32° = 96°.

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

493.

Нехай у ∆АВС AB = ВС = x см, тоді АС = (х + 3) см. За умовою задачі маємо: х + 3 + 4 = х + х; х + 7 = 2x; х = 7. Отже, AB = ВС = 7 см, АС = 7 + 3 = 10 (см).

PABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24(см).

Відповідь: 24 см.

494.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити