Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 20. Нерівність трикутника

495. 1) Трикутник зі сторонами 1 см, 2 см і 4 см не існує, оскільки не виконується нерівність трикутника 4 см > 1 см + 2 см.

2) Трикутник зі сторонами 7 дм, 6 дм, 5 дм існує, бо виконується нерівність трикутника 7 дм < 6 дм + 5 дм.

3) Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 7 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 7 см = 3 см + 4 см.

496. 1) Трикутник зі сторонами 2 дм, 5 дм і 7 дм не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 7 дм = 2 дм + 5 дм.

2) Трикутник зі сторонами 2 см, 3 см і 6 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 6 см > 2 см + 3 см.

3) Трикутник зі сторонами 5 дм, 2 дм і 4 дм існує, бо виконується основна нерівність трикутника 5 дм < 2 дм + 4 дм.

497. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 8,3 - 2,9 < а < 8,3 + 2,9, тобто 5,4 < а < 11,2. Оскільки а найбільше ціле число, що задовольняє умові 5,4 < а < 11,2, то а = 11 см.

Відповідь: 11 см.

498. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 4,5 - 2,9 < а < 4,5 + 2,9, тобто 1,6 < а < 7,4. Оскільки а — найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < а < 7,4, то а = 2 см.

Відповідь: 2 см.

499. 1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m. Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.

2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m. Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 7, 8 і 15, оскільки 15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.

3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m. Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника.

500. 1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 5, 1 і 4, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 5m = m + 4m, де 5m, m, 4m — довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 6 і 7, бо виконується нерівність трикутника 7m < 6m + 5m, де 5m, 6m, 7m — довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 8, 2, 11, бо не виконується нерівність трикутника 11m > 8m + 2m, де 8m, 2m, 11m — довжини сторін трикутника.

501. Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, тоді друга бічна сторона дорівнює 3 см, а основа дорівнює Р- (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см). Трикутника зі сторонами 3 см, 3 см і 6 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 6 см = 3 см + 3 см.

502. Бічною стороною даного рівнобедреного трикутника не може бути сторона, яка дорівнює 5 см, оскільки тобі б не виконувалася нерівність трикутника, оскільки 11 см > 5 см + 5 см. Отже, бічна сторона дорівнює 11 см, а основа 5 см i Р = 11 см + 11 см + 5 см = 27 см.

Відповідь: 27 см.

503. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 2,5 - 1,2 < а < 2,5 + 1,2; 1,7 < а < 3,7. Отже, а = 2 або а = 3.

Якщо а = 2, то Р = 2,5 + 1,2 + 2 = 5,7 (см).

Якщо а = 3, то Р = 2,5 + 1,2 + 3 = 6,7 (см).

Відповідь: 5,7 см або 6,7 см.

504. 1) Якщо одна із сторін трикутника дорівнює 14 см, то сума двох інших сторін дорівнює 30 см - 14 см = 16 см і виконується нерівність трикутника. Отже, одна із сторін трикутника може дорівнювати 14 см за умови, що ця сторона найбільша.

2) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 15 см, бо сума двох інших сторін дорівнює 30 см - 15 см = 15 см і не виконується нерівність трикутника, бо 15 см = 15 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 16 см, бо сума двох інших сторін дорівнює 30 см - 16 см = 14 см і не виконується нерівність трикутника, бо 16 см > 14 см (одна сторона більша суми двох інших).

505. 1) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 21 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 21дм = 19 дм і не виконується нерівність трикутника, бо 21 дм > 19 дм (одна сторона більша від суми двох інших).

2) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 20 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 20 дм = 20 дм і не виконується нерівність трикутника, бо 20 дм = 20 дм (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати 19 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 19 дм = 21 дм і виконується нерівність трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін).

506. Припустимо, що такий трикутник існує.

Тоді х см — довжина однієї сторони, (х - 2) см — довжина другої сторони, (х + 4) см — довжина третьої сторони.

Складемо рівняння: х + (х - 2) + (х + 4) = 20; 3х + 2 = 20; 3х = 18; х = 6. Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см.

Але трикутника з такими сторонами не існує, бо не виконується нерівність трикутника 10 см = 6 см + 4 см.

Відповідь: ні.

507. Припустимо, що такий трикутник існує.

Нехай х см — довжина однієї сторони, (х + 6) см - довжина другої сторони, (х - 1) см — довжина третьої сторони. Складемо рівняння: х + (х + 3) + (х - 1) = 23; 3X + 5 = 23; 3X = 18; X = 6.Але трикутника зі сторонами 6 см, 12 см і 5 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника 12 см > 6 см + 5 см.

Відповідь: ні.

508.

Нехай у ∆KLMK = х°, тоді ∠L = 3х°, ∠M = x° - 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + 3х + (х - 15°) = 180°; 5х = 195°; х = 39°. Отже, ∠K = 39°, ∠L = 3 х 39° = 117°, ∠M = 39° - 19° = 24°.

Відповідь: 39°, 117°, 24°.

509.

Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 — прямокутні. AB = A1B1, ВН ⊥ АС, В1К1A1C1. ВН = В1Н1. ∆АВН = ∆А1В1Н1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, ВН = В1Н1), тоді ∠A = ∠A1. ∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом ігострим кутом: АВ = А1В1,A = A1). 510. За кожний стрибок коник-стрибунець зміщується на парну кількість сантиметрів. Тому за кілька стрибків коник-стрибунець може знаходитися від початкової точки на відстані 2018 см і не може знаходитися на відстані 2017 см.

Домашня самостійна робота № 4 (§§ 17-20)

1. Сума кутів трикутника дорівнює 180°, отже, кути 50°, 60°, 70° можуть бути кутами трикутника.

Правильна відповідь В).

2. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона.

Правильна відповідь А).

3. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, отже, другий кут трикутника дорівнює 90° - 40° = 50°.

Правильна відповідь В).

4. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то сума двох інших кутів трикутника дорівнює 180° - 72°= 108°.

Правильна відповідь Б).

5.

Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС. ∠DBC = 140°. ∠A + ∠C = ∠DBC (оскільки зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним). Отже, ∠A = ∠C = 140° : 2 = 70° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Правильна відповідь Г).

6. Третя сторона трикутника не може дорівнювати 8 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 8 см > 2,7 см + 4,2 см.

Правильна відповідь Г).

7. Оскільки другий кут прямокутного трикутника дорівнює 60°, то менший катет лежить проти кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см.

Правильна відповідь Б).

8.

АК — бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°. СМ — бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = 30°.

З ∆АОС: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (25° + 30°) = 125°. Оскільки кутом між прямими є кут градусною мірою менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з кутом АОС, який дорівнює 180° - 125° = 55°.

Правильна відповідь Г).

9. Довжина однієї з його сторін не може бути 8 см, бо тоді не буде виконуватися нерівність трикутника, оскільки 16 см - 8 см = 8 см(одна сторона дорівнює сумі двох інших).

Правильна відповідь А).

10.

Нехай в ∆АВС АВ = ВС, АК — бісектриса, ∠KAC = 1/2∠BAC.

Нехай ∠KAC = х, тоді ∠A = 2х, ∠C = ∠A = 2х (як кути при основі рівнобедреного трикутника). Оскільки АК = АС, то ∆КАС — рівнобедрений з основою КС. ∠K = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника), ∠K = 2х.

За властивістю суми кутів трикутника маємо: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; x = 36°. Отже, ∠A = ∠C = 36° х 2 = 72°.

Правильна відповідь Б).

11. Нехай зовнішні кути трикутника дорівнюють 3х, 5х і 7х. Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, маємо: 3х + 5х + 7х = 360°; 15х = 360°; х = 24°. Отже, зовнішні кути дорівнюють 72°, 120°, 168°. Тоді найменший з внутрішніх кутів трикутника дорівнює: 180°-168° = 12°.

Правильна відповідь А).

12.

Нехай ∆АСВ — прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 60°, СМ — медіана.

CAB = 30°, СВ — менший катет, СВ = х см. АВ = 2х, СМ = 1/2АВ = х. Отже, СМ + СВ= 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см.

Правильна відповідь В).



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити