Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови

§ 22. Дотична до кола, її властивості

607.

Проведемо радіус ОР, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму m, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма m є дотичною до кола.

608.

Проведемо радіус ОМ, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму n, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма n є дотичною до кола.

609. 1)

Пряма a перетинає коло.

2)

Пряма a дотикається до кола.

3)

Пряма а не має з колом спільних точок.

610. 1) Пряма b не має з колом спільних точок.

2) Пряма b дотикається до кола.

3) Пряма b перетинає коло.

611. Оскільки KP — дотична до кола, то ОМ ⊥ KP, OMP = 90°, ∠OMK = 90°.

1) Якщо ∠NMP = 35°, то ∠OMN = ∠OMP - ∠NMP = 90° - 35° = 55°.

2) Якщо ∠ONM = 50°, то ∠KMN = ∠OMK + ∠OMN = 90° + 50° = 140°.

612. Оскільки KP — дотична до кола, то ОМ ⊥ KP, OMP = 90°, ∠OMK = 90°.

1) Якщо ∠OMN = 52°, то ∠NMP = ∠OMP - ∠OMN = 90° - 52° = 38°.

2) Якщо ∠KMN = 135°, то ∠OMN = ∠KMN - ∠OMK = 135° - 90° = 45°.

613.

OBA і ∆OCA — прямокутні, оскільки OBAB, ОС ⊥ AC.

OBA = ∆ОСА за двома катетами (OB = ОС як радіуси кола, AB = АС — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

З рівності трикутників маємо ∠BOA = ∠COA. Отже, ОА — бісектриса кута ВОС.

614.

∆QMP і ∆QNP — прямокутні, оскільки QMMP, QNNP.

QMP = ∆QNP за двома катетами (QM = QN — як радіуси кола, PM = PN— як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

З рівності трикутників маємо ∠MPQ = ∠NPQ. Отже, PQ — бісектриса кута MPN.

615. Оскільки МК — дотична до кола, то ОМ ⊥ МК, ∠OMK = 90°. ∆OMN — рівнобедрений, оскільки ОМ = ON — як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = (180° - ∠MON) : 2 = (180° - 82°) : 2 = 49°. ∠NMK= 90° - ∠OMN = 90° - 49° = 41°.

Відповідь: 41°.

616. Оскільки МК — дотична до кола, то ОМ ⊥ МК, ∠OMK = 90°. ∆OMN — рівнобедрений, оскільки ОМ = ON — як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = ∠OMK - ∠NMK = 90° - 53° = 37°. ∠NOM = 180° -∠OMN - ∠ONM = 180° - 37° - 37° = 106°.

Відповідь: 106°.

617.

МК і MN — дотичні. OKA MK, ON A MN. З прямокутного ∆OKM: оскільки ОМ = 2OK, TO KMO = 30°.

З прямокутного ∆ONM: оскільки ОМ = 2ON, то ∠OMN = 30°.

Отже, ∠KMN = ∠KMO + ∠OMN = 30° + 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

618.

ONM = ∆OKM за двома катетами (ON = OKяк радіуси кола, MN = МК — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°.

KMN - рівнобедрений, оскільки MN = МК, ∠MNK = ∠MKN = (180° - 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Отже, ∆KMN — рівносторонній і NK = NM = 7 см.

Відповідь: 7 см.

619. Нехай ∠A = 1/2∠DCB, тоді ∠B = 1/2∠DCB, оскільки зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Тоді, оскільки ∠B = ∠A, то трикутник ABC — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

620. З прямокутного ∆ABC: AB = 2АС = 2 x 6 = 12 (см) (за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°). ∠ABC — зовнішній кут трикутника ADB. ∠BAD + ∠D = ∠ABC (за властивістю зовнішнього кута трикутника). ∠BAD = 30° - 15° = 15°. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника ∆ABD — рівнобедрений (∠BAD = ∠D). Отже, BD = АВ = 12 см.

Відповідь: 12 см.

621.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити