Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 3. Функції

п. 24. Рівняння з двома змінними

909. Рівняннями з двома змінними є рівняння; 1), 3), 5), 6), 8), 9).

910. 1) 4x + 3y = 1; 4 ∙ (-2) + 3 ∙ 3 = 1 — правильна рівність, тому (-2; 3) — розв’язок даного рівняння.

2) x2 + 5 = у2; (-2)2 + 5 = 32 — правильна рівність, тому (-2; 3) є розв’язком даного рівняння.

3) ху = 6; -2 ∙ 3 = 6 — неправильна рівність, тому (-2; 3) не є розв’язком даного рівняння.

911. 1) х2 + 5y - 6 = 0:

(0; 1) — не є розв’язком рівняння, бо 02 + 5 1 – 6 = 0 — неправильна рівність;

(5; -4) — не є розв’язком рівняння, бо 52 + 5 ∙ (-4) - 6 = 0 — неправильна рівність;

(0; 1,2) — розв’язок рівняння, бо 0 + 5 ∙ 1,2 - 6 = 0 — правильна рівність;

(-1; 1) — розв’язок рівняння, бо (-1)2 + 51 - 6 = 0 — правильна рівність;

(1; -1) — не є розв’язком рівняння, бо 12 + 5(-1) - 6 = 0 — неправильна рівність.

2) xy + x = 0;

(0; 1) — розв’язок рівняння, бо 0 ∙ 1 + 0 = 0 — правильна рівність;

(5; -4) — не є розв’язком рівняння, бо 5 ∙ (-4) + 5 ≠ 0;

(0; 1,2) — розв’язок рівняння, бо 0 ∙ 1,2 + 0 = 0 — правильна рівність;

(-1; 1) — не є розв’язком рівняння, бо -11 + (-1) ≠ 0;

(1; -1) — розв’язок рівняння, бо 1 ∙ (-1) + 1 = 0 — правильна рівність.

912.2 - у + 1 = 0

1) А(-3; -17) — не належить графіку рівняння, бо 2 ∙ (-3)2 - (-17) + 1 ≠ 0;

2) В(2; 9)—належить графіку рівняння, бо 2 ∙ 22 – 9 + 1 = 0 — правильна рівність;

3) С(-2; 9) —належить графіку рівняння, бо 2 ∙ (-2)2 - 9 + 1 = 0 — правильна рівність.

4) D(-1; 4) — не належить графіку рівняння, бо 2 ∙ (-1)2 - 4 + 10.

913. ху - 12 = 0 не проходить через:

1) А(3;-4), бо 3 ∙ (-4) – 120;

2) В(-2; 6), бо -2 ∙ 6 - 12 ≠ 0;

3) С(7; 2), бо 72 – 120.

914. Графік рівняння:

1) 12x + 17у = 0 проходить через точку (0; 0), бо 12 ∙ 0 + 17 ∙ 0 = 0 — правильна рівність;

2) х2 - ху + 2 = 0 не проходить через точку (0; 0), бо 02 - 0 ∙ 0 + 2 ≠ 0;

3) х3 - 4у = у2 + 3у проходить через точку (0; 0), бо 03 - 4 ∙ 0 = 02 + 3 ∙ 0 — правильна рівність.

915. 1) x - у = 10; (10; 0), (15; 5), (-15; -25) — розв’язки рівняння;

2) х = 4у; (4; 1), (16; 4), (-24; -6) — розв’язки рівняння;

3) 2х2 + у = 20; (2; 12), (-5; -30), (0; 20) — розв’язки рівняння.

916. 1) x + y = 1; (0; 1), (0,1; 0,9), (-5; 6) - розв’язки рівняння;

2) 5x - у = 2; (0; -2), (4; 18), (-9; -47) — розв’язки рівняння.

917. 4x + 3у = 30; А(6; b) належить графіку рівняння, тоді

4 6 + 3 ∙ b = 30; 24 + 3b = 30; 3b = 30 - 24; 3b = 6; b = 6 : 3; b = 2; А(6; 2).

918. 7х - 5у = 47; B(а; -1); 7а - 5 ∙ (-1) = 47; 7а = 47 - 5; 7а = 42; а = 42 : 7; а = 6; B(6; -1).

919. 1) х + у = 2.

Точка перетину з віссю х: у = 0, х = 2; (2; 0);

Точка перетину з віссю у: х = 0, у = 2; (0; 2).

2) х2 - у= 1.

Точка перетину з віссю х: у = 0, х2 = 1; х = 1 або х = -1. Таких точок дві: (1; 0) і (-1; 0).

Точка перетину з віссю у: х = 0, у = -1; (0; -1).

3) х2 + у2 = 9.

Точка перетину з віссю х: у = 0, х2 = 9; х = 3 або х = -3; (3; 0) і (-3; 6).

Точка перетину з віссю у: х = 0, у2 = 9; у = 3 або у = -3; (0; 3) і (0;-3).

4) |х| - у = 5;

Точка перетину з віссю х: у = 0, |х| = 5; х = 5 або х = -5; (5; 0) і (-5; 0).

Точка перетину з віссю у: х = 0, у = -5; (0; -5).

920. 1) 2х - 3у = 6; (0; -2) — точка перетину з віссю у, (3; 0) — точка перетину з віссю х.

2) х2 + у = 4; х = 0; у = 4; (0; 4) — точка перетину з віссю у;

у = 0, тоді х = 2 або х = -2; (2; 0) і (-2; 0) — точки перетину з віссю х.

3) |х| + |у| = 7; (0; 7) і (0; -7) — точки перетину з віссю у; (7; 0) і (-7; 0) — точки перетину з віссю х.

921. 1) х = 1, у = 2; 3х - 2у = -1; 2) х = -3, у = 5; 4х + у = -7; 3) х = 10, у = 0; 2х + у = 20.

922. 1) А(-2; 2); 3х - у = -8; 2) B(4; -1); х - 2у = 6; 3) С(0; 0); 2х - 3у = 0.

923. M(6; -3). Через точку М проходять графіки рівнянь: х - у = 9; 2х + 3у = 3; -х + 3у = -15.

924. K(0; 4). Через точку К проходять графіки рівнянь: 3х + у = 4; х + 2у = 8; 5у - 2х = 20.

925. Графіку рівняння x4 - у = -2 не належать точки, що мають від’ємну ординату, бо тоді х4 - у набувало б тільки додатний результат і х4 - у ≠ -2.

926. Графіку рівняння х + у2 = -4 не належать точки, що мають додатну абсцису, бо тоді у2 ≥ 0, х > 0. Отже, х + у2 > 0 і не дорівнювало б -4.

927. 1) у2 = х2; рівняння має розв’язки, коли у = х або у = -х;

2) у2 = -х2; має розв’язок, лише коли х = 0 і у = 0;

3) ху = 0; рівняння має розв’язки (0; у) або (х; 0); (7; 0), (0; 5);

4) х2 + у2 = 25; рівняння має розв’язки (0; 5), (-3; -4);

5) х2 + у2 = -25; не має розв’язків, бо х2 ≥ 0 і у2 0, а - 25 < 0;

6) х2 - у2 = -9; рівняння має розв’язки, наприклад, (0; 3), (0; -3), (4; 5), (-4; 5), (4; -5);

7) |x| + |у| = 1; рівняння має розв’язки (0; 1), (0,2; -0,8);

8) |х| + |у| = 0; рівняння має розв’язок (0; 0);

9) |х| + |у| = -1; рівняння розв’язків не має, бо |х| ≥ 0, |у| ≥ 0, а - 1 < 0.

928. 1) х2 + у2 = 0; (0; 0) — розв’язок рівняння;

2) (х + 2)2 + (у - 3)2 = 0; (-2; 3) — розв’язок рівняння;

3) x4 + у6 = -4; рівняння розв’язків не має.

929. 1) х2 + (у - 2)2 = 0; (0; 2) — один розв’язок має дане рівняння;

2) (х + 3)2 + (у - 1)2 = 0; рівняння має один розв’язок (-3; 1);

3) 9х2 + 16у2 = 0; рівняння має один розв’язок (0; 0);

4) (х2 + у2)у = 0; рівняння має безліч розв’язків типу (х; 0), х — будь-яке число;

5) ху = 2; рівняння має безліч розв’язків;

6) |х + 1| + |у| = 0; рівняння має один розв’язок (-1; 0);

7) х2 + |у| = -100; рівняння не має розв’язків;

8) х + у = 2; має безліч розв’язків.

930. 1) (Х - 3)2 + (у + 4)2 = 0; 2) 7х2 + (у - 7)2 = -10; 3) х + 2у = 8; 4) 2х + у = у + 2х.

931. 1) Графік являє собою точку (1; -5);

2) графік являє собою точку (-9; 8);

3) розв’язком цього рівняння є будь-яка пара чисел, графіком є всі точки площини;

4) (х - 1)(у = 5) = 0; х = 1, у = -5. Графіком рівняння є дві прямі: х = 1 і у = -5.

932. 1) (х + 2)2 + у2 = 0; (-2; 0) — єдиний розв’язок.

2) |х| + (у - 3)2 = 0; х = 0, у = 3; (0; 3) — розв’язок рівняння.

3) ху = 0; х = 0, у = 0. Графіком рівняння є сукупність двох прямих: осей координат.

4) (х + 1)(у - 1) = 0; х = -1 або у = 1. Графіком рівняння є сукупність прямих х = -1 і у = 1.

5) ху - 2у = 0; у(х - 2) = 0; у = 0 і х = 2. Графіком рівняння є сукупність прямих х = 2 та у = 0.

933. 1) |х - 4| + |у - 4| = 0; х = 4, у = 4; (4; 4) — єдиний розв’язок;

2) (х - 4)(у - 4) = 0; х = 4 або у = 4;

3) ху + х = 0; х(y + 1) = 0; х = 0 або у = -1. Графіком є сукупність двох прямих х = - 0 і у = -1.

934. 1) 2х + 3у = 5, (1; 1) — розв’язок рівняння;

2) х + 5у = 16, (1; 3), (6; 2), (11; 1) — розв’язки рівняння.

935. |х| + |у| = 2. (0; 2); (0; -2); (1; 1); (-1; 1); (1; -1); (-1; -1); (2; 0); (-2; 0) - розв’язки рівняння.

936. х2 + у2 - 5; (1; 2); (1; -2); (-1; 2); (-1; -2) — розв’язки рівняння.

937. 29 = 2 ∙ 2 + 5 ∙ 5; 29 = 2 ∙ 7 + 5 ∙ 3; 29 = 2 ∙ 12 + 5 ∙ 1.

938. 24 = 2 ∙ 9 + 3 ∙ 2; 24 = 2 ∙ 6 + 3 ∙ 4; 24 = 2 ∙ 3 + 3 ∙ 6.

Запропонували: 9 задач з алгебри і 2 з геометрії, або 6 задач з алгебри і 4 з геометрії, або 3 задачі з алгебри і 6 з геометрії.

939. 1) х2 + у2 + 4 = 4y; х2 + (у2 - 4у + 4) = 0; х2 + (у - 2)2 = 0; (0; 2) — розв’язок рівняння.

2) х2 + у2 + 2х - 6у + 10 = 0; (х2 + 2х + 1) + (у2 – 6y + 9) = 0; (х + 1)2 + (у - 3)2 = 0; (-1; 3) — розв’язок рівняння.

3) х2 + у2 + х + у + 0,5 = 0; (х2 + х + 0,25) + (у2 + у + 0,25) = 0; (х + 0,5)2 + (у + 0,5)2 = 0; (-0,5; -0,5) — розв’язок рівняння.

4) 9х2 + у2 + 2 = бх; 9х2 - 6х + 1 + у2 = -2; (3х - 1)2 + у2 = -2; розв’язків немає.

940. 1) х2 + 10y + 30 = 10х - у2 - 20; х2 - 10х + 25 + у2 + 10у + 25 = 0; (х - 5)2 + (y + 5)2 = 0; (5; -5) — розв’язок рівняння.

2) 4х2 + у2 + 4х = 2у - 3; 4х2 + 4х + у2 - 2у + 3 = 0; (2х + 1)2 + (y - 1)2 = -1; розв’язків немає.

941. (0; 0), (1; 0), (-1; 0); (0;-2).

Якщо х = 0, то (у2 + у)2 = у2; (у2 + у)2 - у2 = 0; (у2 + у - у)(у2 + у + у) = 0; у(у2 + 2у) = 0; у = 0 або у(у + 2) = 0; у = 0 або у = -2; (0; -2), (0; 0).

Якщо у = 0, то (х2)2 = х2; (х2 - х)(х2 + х) = 0; х2(х - 1)(х + 1) = 0; х = 0, х = 1 або х = -1; (0; 0), (1; 0), (-1; 0).

942. Точки перетину з віссю х: у = 0; х2 = 25; х = 5 або х = -5; (5; 0); (-5; 0).

Точки перетину з віссю у: х = 0; y2/16 = 1; y2 = 16; у = 4 або у = -4; (0; 4); (0; -4).

Вправи для повторення

943. 1) 0,08 ∙ 150 = 12 (мл) — кислоти в розчині;

2) 150 + 90 = 240 (мл) — утворилося розчину після доливання води;

3) 12 : 240 ∙ 100 % = 5 % — концентрація кислоти в одержаному розчині.

944. 7 + 12 = 19 яблук червоних і жовтих разом.

Якщо витягнути 20 яблук, принаймні одне з них буде зеленим.

946. Нехай швидкість вантажного автомобіля х км/год, тоді швидкість легкового автомобіля 1,4х км/год.

За 3,5 год легковий автомобіль пройде 3,5 ∙ 1,4x км, а вантажний 3,5x км. За умовою

3,5 ∙ 1,4x - 3,5x = 77; 4,9x - 3,5x = 77; 1,4x = 77; x = 77 : 1,4; x = 55 км/год — швидкість вантажного автомобіля.

55 1,4 = 77 км/год — швидкість легкового автомобіля;

1,4 ∙ 55 ∙ 3,5 = 77 ∙ 3,5 = 269,5 км — відстань між містами.

947. (5n + 10)2 - (2n + 4)2 = 25n2 + 100n + 100 - (4n2 + 16n + 16) = 25n2 + 100n + 100 – 4n2 – 16n - 16 = 21n2 + 84n + 84.

Оскільки n — парне, то n = 2k і тоді 21 ∙ 4k2 + 84 ∙ 2k + 84 = 84k2 + 84 ∙ 2k + 84 = 84(k2 + 2k + 1) — ділиться націло на 84.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.