Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 3. Функції

п. 25. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

950. Лінійними рівняннями з двома змінними є рівняння:

1) 7x + 11y = 36; 3) 12x – 17y = 0.

951. 3x – 7y = 14:

(7; 1) — розв’язок рівняння, бо 3 ∙ 7 - 7 ∙ 1 = 14 — правильна рівність;

(0; -2) — розв’язок рівняння, бо 3 ∙ 0 - 7 ∙ (-2) = 14 — правильна рівність;

(8; 2) — не є розв’язком рівняння, бо 3 ∙ 8 - 7 ∙ 2 ≠ 14;

(-7;-5) — розв’язок рівняння, бо 3 (-7) - 7 ∙ (-5) = 14 — правильна рівність;

(10; 3) — не є розв’язком рівняння, бо 3 ∙ 10 – 7 ∙ 3 ≠ 14.

952. 1) 4x + 5y = 2; (3; -2) — розв’язок рівняння, бо 4 ∙ 3 + 5 ∙ (-2) = 2 — правильна рівність;

2) 3x – 2y = 5; (3; -2) — не є розв’язком рівняння, бо 3 ∙ 3 - 2 ∙ (-2) ≠ 5;

3) 0,2x - 0,5y = 1,6; (3; -2) — розв’язок рівняння, бо 0,2 ∙ 3 - 0,5 ∙ (-2) = 1,6 — правильна рівність.

953. 2x + 9y = 17, (-5; у) — розв’язок рівняння.

2 (-5) + 9y = 17; -10 + 9у = 17; 9у = 17 + 10; 9y = 27; y = 27 : 9; y = 3; (-5; 3).

954. 8x - 3у = 22, (x; 6) — розв’язок рівняння.

8x - 3 ∙ 6 = 22; 8x - 18 = 22; 8x = 22 + 18; 8x = 40; x = 40 : 8; x = 5; (5; 6).

955. 1) 4y – 2x = -4; М(1; 4) не належить графіку даного рівняння, бо 4 ∙ 4 – 214;

2) 6x + 11у = 50; М(1; 4) належить графіку даного рівняння, бо 6 ∙ 1 + 11 ∙ 4 = 50 — правильна рівність.

956. 3x + y = -1

1) М(-3; 10); 3 ∙ (-3) + 10 ≠ -1, тому графік даного рівняння не проходить через точку М(-3; 10);

2) N(4; -13); 34 = 13 = -1 — правильна рівність, тому графік даного рівняння проходить через точку N(4; -13);

3) К(0; -1); 3 ∙ 0 + (-1) = -1 — правильна рівність, тому графік даного рівняння проходить через точку К(0; -1).

957. 1) x + y = 12; y = 12 - x; (2; 10), (-4; 16), (0; 12) —розв’язки рівняння;

2) x – 7y = 5; 7y = x - 5; (0; -5/7), (5; 0), (12; 1) — розв’язки рівняння;

3) 2x + 8y = 16; 8у = 16 – 2x; (0; 2), (4; 1), (20; -3) - розв’язки рівняння;

4) -6x + 5y = 18; 5y = 18 + 6x; (2; 6), (-3; 0), (7; 12) — розв’язки рівняння.

958. 1) 4x - y = 7; y = 4x - 7; (0; -7), (4; 9);

2) -2x + у = 11; у = 2x + 11; (2; 15), (5; 21);

3) 5x – 3y = 15; 3y = 5x - 15; (0; -5), (3; 0), (6; 5);

959. 1) x - y = 10; (15; 5), (21; 11); (0; -10) — розв’язки рівняння;

2) 2y – 5x = 11; 2y = 5x + 11; (0; 5,5), (3; 13), (-1; 3) — розв’язки рівняння.

961. 1) х - у = 4, у = х - 4, (0; -4), (4; 0);

2) 4x + у = 3, у = -4x + 3, (0; 3), (3; -9), (-1; 7);

3) х - 5у = 5; 5у = х - 5; y = 1/5x - 1; (0; -1), (5; 0);

4) 3х + 2у = 6; 2у = 6 – 3x; у = 3 - 1,5x; (0; 3), (2; 0).

962. 1) x + y = -3; y = -x - 3; (0; -3), (-3; 0);

2) 6x + у = 0; у = -6x; (0; 0), (1; -6);

3) 2x - 3у = 9; 3у = 2x - 9; у = 2/3x - 3; (0; -3), (3; -1).

963. 1) 0х + 4у = 20; розв’язком є пари (х; 5), х — будь-яке число;

2) -3x + 0y = 27; розв’язком є пари (-9; y), y — будь-яке число.

964. 1) 4y = -8; y = -2;

2) 1,2x = 3,6; х = 3.

965. 1) -0,2x = 1; х = 1 : (-0,2); х = -5;

2) 0,5 у - 2; y = 2 : 0,5; у = 4.

966. 7y - 3х = 21

1) Пряма перетинає вісь х: у = 0, тоді 7 ∙ 0 - 3х = 21; -3х = 21; х = -7. (-7; 0) — точка перетину прямої з віссю х.

2) Пряма перетинає вісь у: х = 0, 7у – 3 0 = 21; 7y = 21; y = 21 : 7; y = 3. (0; 3) — точка перетину прямої з віссю у.

967. 0,3х + 0,2y = 6.

Пряма перетинає вісь х у точці (х; 0). 0,3х + 0,2 ∙ 0 = 6; х = 6 : 0,3; х = 20.

(20; 0) — точка перетину прямої з віссю х. Пряма перетинає вісь у у точці (0; у). 0,3 ∙ 0 + 0,2y = 6; у = 30.

(0; 30) — точка перетину прямої з віссю у.

968. Пара чисел (-2; 1) є розв’язком рівняння 5х + 4y = -6.

969. Пара чисел (3; 5) є розв’язком рівняння 3х - у = 4.

970. 7х + 8у = 30; х = у, 7х + 8х = 30; 15х = 30; х = 30 : 15; х = 2. Тоді (2; 2) — розв’язок рівняння.

971. -12х + 17y = -87; у = -х; -12х - 17х = -87; -29х = -87; х = -87 : (-29); х = 3, тоді y = -3. (3; -3) — розв’язок рівняння.

972. 2х + 7у = 16, (а; 2а) — розв’язок рівняння, тоді 2 ∙ а + 7 ∙ 2а = 16; 16а = 16; а = 1. (1; 2) — розв’язок рівняння.

973. 1) 3х + 5y = а; 3(-4) + 52 = а; а = -2.

2) ах + 5у = 18; а ∙ (-4) + 5 ∙ 2 = 18; -4а = 8; а = -2.

974. 11х - 13y = а + 4; (0; 0) — належить графіку рівняння. 11 ∙ 0 - 13 ∙ 0 = а + 4; а + 4 = 0; а = -4. Отже, при а = -4 графік рівняння проходить через початок координат.

975. 1) 4х - 9у = а; А(5; -3) лежить на графіку рівняння. 4 ∙ 5 - 9 ∙ (-3) = а; а = 47.

2) 6х - ау = 15; А(5; -3) лежить на графіку рівняння. 6 ∙ 5 + 3а = 15; 3а = -15; а = -5.

976. 1) ах + 4у = 0; А(12; -4); 12а - 16 = 0; 12а = 16;

2) ах + 4y = 0; В(0; 2); 0 ∙ а + 8 = 0; а ∙ 0 = -8; розв’язків немає, графік рівняння ах + 4у = 0 не проходить через точку В(0; 2).

3) ах + 4y = 0; O(0; 0); а ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 0; а — будь-яке число. Графік даного рівняння проходить через точку 0(0; 0) при будь-якому а.

977. 5х + bу = 0

1) М(-4; -10); 5 ∙ (-4) + b ∙ (-10) = 0; 10b = -20; b = -2.

2) N(0; 1); 5 ∙ 0 + b = 0; b = 0.

3) К(-2; 0); 5 ∙ (-2) + b 0 = 0; -10 + 0 = 0; немає розв’язку. Дана пряма не проходить через точку К(-2; 0) при жодному значенні b.

978. Графіком є та сама пряма, що й графік рівняння 2х - 5у = 3. Графіки таких прямих:

1) 4х - 10у = 6; 5) х - 2,5у =1,5.

979. 1) х + у = 9; 2) 4х + 3y = 250; 3) 2у - 5х = 1,2; 4) 0,12х + 0,2у = 9; 5) х - 8 = у + 8.

980. 1) 2а + b = 32; 2) 7y - 6х = 32; 3) 0,14х - 0,18y = 1,2.

981. 5y - х = 6;

А(9; 3) належить графіку даної прямої, бо 5 3 - 9 = 6 — правильна рівність;

3х – 7y = 6;

А(9; 3) належить графіку даної прямої, бо 3 9 - 7 3 = 27 - 21 = 6 — правильна рівність.

А(9; 3) належить і прямій 5у - х = 6, і прямій 3х - 7у = 6, тому А(9; 3) — спільна точка цих двох прямих, отже, прямі перетинаються в цій точці.

982. Точка В(-6; -12) лежить на прямій 4х - 3у = 12, бо 4 ∙ (-6) - 3 ∙ (-12) = 12 — правильна рівність, і на прямій 3х + 4у = -66, бо 3 ∙ (-6) + 4 ∙ (-12) = -66 — правильна рівність. Тобто точкаВ(-6; -12) — спільна точка прямих 4х - 3у = 12 і 3х + 4у = -66. Отже, ці прямі перетинаються в точці В(-6; -12).

983. 1) ах + by = с. Якщо графік прямої проходить через початок координат, то с = 0.

ах + by = 0. у = -a/bх. А(2; 8) лежить на прямій, тому 8 = -a/b2; -a/b = 4; а = -4b.

Якщо b = -2, то а = 8. 8х - 2у = 0.

2) ах + by = c, с = 0.

y = -a/bx; -a/b = y : х = 15 : (-6) =-2,5; b = -2; а = -5. -5х – 2y = 0.

984. Якщо графік прямої проходить через початок координат, то с = 0, тоді ах + by = 0. Графік проходить через точку С(8; -12), тоді 8а – 12b = 0; 8а = 12b; а = 12b/8; а = 1,5b. Якщо b = 4, то а = 6.

6х + 4y = 0 — шукане рівняння.

985. ах - 3у = 12; 3у = ах - 12;

Якщо пряма проходить через початок координат, то a/3 ∙ 0 - 4 = 0; рівняння не має розв’язку, тому пряма не проходить через початок координат ніколи, тобто не існує такого значення а, щоб пряма проходила через точку (0; 0).

986. Знайдемо точку перетину прямої 2х - 3у = -6 з віссю абсцис.

2х - 3 ∙ 0 = -6; 2х = -6; х = -3.

(-3; 0) — точка перетину прямих, тоді точка (-3; 0) належить прямій 4х + у = а, 4 ∙ (-3) + 0 = а; а = -12.

987. 9х + 7у = 35; (0; у) — лежить на прямій. 9 ∙ 0 + 7у = 35; 7у = 35; у = 5.

(0; 5) — точка перетину прямих, тоді 0 + b 5 = -20; 5b = -20; b = -4.

988. ах + by = 24; А(-6; 0); -6а + 0 ∙ 6 = 24; -6а = 24; а = -4;

ах + by = 24; В(0; 12); а ∙ 0 + 12b = 24; 12b = 24; b = 24 : 12; b = 2.

Отже, а = -4, b = 2 і -4х + 2у = 24 перетинає осі координат у точках А(-6; 0) і В(0; 12).

989. Графік рівняння х + у = 3 зображено на рисунку 54 в).

990. Графік рівняння х - у = -5 зображено на рисунку 55 в).

991. 1) 0х + y = -3, пряма d(56); 2) 2х - у = 1, пряма с(56); 3) 3х + 0у = 6, пряма b56); 4) х + 2у = 0, пряма а(56).

992. Графіку рівняння 13х + 17у = -40 не належить жодна точка, у якої координати — додатні числа, бо сума додатних чисел не може бути від’ємною.

993. 4х – 8y = 7; 8у = 4х - 7;

Обидві координатні точки прямої не можуть бути цілими числами.

994. 1) ах + bу = с.

А(-4; 0) — точка прямої, тоді -4а = с;

B(0; 2) — точка прямої, тоді 2b = с; 2b = -4а; b = -2а.

а = 4; b = -2 ∙ 4 = -8; с = 2b = 2 ∙ (-8) = -16. Отже, 4х 8y = -16, або х - 2у = -4 — шукане рівняння.

2) ах + by = с.

С(0; -3); -3b = с; D(5; 0); 5а = с; 5а = -3b; а = -0,6b.

Нехай b = 5, тоді а = -3, с = -15. -3х + 5у = -15.

995. ах + by = с; М(6; 0) і K(0; 6) — точки прямої.

6а + 0 ∙ b = с; с = 6а; 0 ∙ а + 6b = с; с = 6b. Звідси 6а = 6b, або а = b.

996. 56 а): (0; 3) і (-1; 0) — точки графіка ах + by = с.

a ∙ 0 + 3b = c, звідси c = 3b; -a + 0 ∙ b = c, звідси c = -a. Тоді -a = 3b, або a = -3b.

-3bx + by = 3b; -3х + у = 3 — шукане рівняння.

57 c): (4; 0) і (0; -2). 4а = с; -2b = с; 4а = -2b; b = -2а.

аx - 2аy = 4а; x 2y = 4 — шукане рівняння.

997. 58 b): у = 3;

58 m): (1; 0), (0; -3); а + 0 b = c; а = с; 0 ∙ а – 3b = с; с = -3b. Звідси а = -3b, тоді -3bх + bу = -3b; -3x + у = -3.

58 n): (0; 2), (3; 0) — точки прямої, тоді а ∙ 0 + b ∙ 2 = с; с = 2b; 3а + 0 ∙ b = c; с = 3а. Звідси 2b = 3а; b = 1,5а. ах + 1,5аy = 3а; x + 1,5у = 3, або 2х + 3у = 6.

998.- 6у = 3. Розв’язком рівняння є лише одна пара простих чисел (3; 2).

999. Нехай х деталей виготовила друга бригада, тоді перша бригада виготовила х + 0,8х = 1,8х деталей. За умовою задачі х + 1,8х = 840; 2,8х = 840; х = 300 деталей виготовила друга бригада, 540 деталей виготовила перша бригада.

1000. 4 екскаватори за 1 годину вириють 1/12 частину котловану, тоді 1 екскаватор за 1 год вириє частину котловану, а 6 екскаваторів за 1 год виконають частину роботи. Тоді весь котлован 6 екскаваторів вириють за годин, а 3 котловани 6 екскаваторів вириють за 3 ∙ 8 = 24 години.

ділиться націло на 15.

ділиться націло на 240.

1004. х2 + у2 = 18 і х + y = 0;

(3; 3) — є розв’язком першого рівняння і не є розв’язком другого;

32 + 32 = 18 — правильна рівність; 3 + 3 = 0 — неправильна рівність;

(-3; 3) — є розв’язком кожного з рівнянь;

(-3)2 + 32 = 18 — правильна рівність; -3 + 3 = 0 — правильна рівність;

(-3; -3) — є розв’язком першого рівняння і не є розв’язком другого рівняння;

(-3)2 + (-3)2 = 18 — правильна рівність, -3 - 3 = 0 — неправильна рівність.

1005. (-1; 1) і (2; 4) — розв’язки кожного з даних рівнянь.


Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити