Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 5. Степінь з натуральним показником

152. 1) 96; 9 — основа, 6 — показник;

2) 2,47; 2,4 — основа, 7 — показник;

3) 0,35; 0,3 — основа, 5 — показник;

4) (-8)2; -8 — основа, 2 — показник;

5) (-0,6)2; -0,6 — основа, 2 — показник;

6) (-а)11; -а — основа, 11 — показник;

7) 731; 73 — основа, 1 — показник;

8) (3р)12; 3р — основа, 12 — показник.

157.

a

2

-2

10

-10

a2

4

4

100

100

a3

8

-8

1000

-1000

a4

16

16

10 000

10 000

0,1

-0,1

1/2

-1/2

0,01

0,01

1/4

1/4

0,001

-0,001

1/8

-1/8

0,0001

0,0001

1/16

1/16

158.

а

-6

6

-0,4

0,4

3

10а2

360

360

1,6

1,6

90

(10а)2

3600

3600

16

16

900

0,03

1/2

-1

0

0,009

10/4 = 5/2 = 2,5

10

0

0,09

25

100

0

159. 2,55 ∙ 104 км2 = 2,55 ∙ 10 000 = 25 500 км2 — площа Кримського півострова.

160. 1,495 ∙ 1011 = 1,495 ∙ 100 000 000 000 = 149 500 000 000 (м).

161. 1,49 ∙ 108 км2 = 1,49 ∙ 100 000 000 км2 = 149 000 000 км2;

3,61 ∙ 108 км2 = 3,61 ∙ 100 000 000 км2 = 361 000 000 км2.

162. 1) 82 - 11 = 64 - 1 = 63;

2) 0,324 = 0,3 ∙ 16 = 4,8;

3) (4,2 - 3,8)4 ∙ 252 = 0,44 ∙ 252 = 0,0256 ∙ 625 = 16;

4) (63 : 200 - 0,42) : 0,23 = (216 : 200 - 0,16) : 0,008 = (1,08 - 0,16) : 0,008 = 0,92 : 0,008 = 920 : 8 = 115.

163. 1) 43 + 35 = 4 ∙ 4 ∙ 4 + 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 64 + 243 = 307;

2) 0,63 - 0,43 = 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 - 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4 = 0,216 - 0,064 = 0,152;

3) 0,12- 54 = 0,12- 5- 5 -5- 5 = 0,12 -625 = 75.

164. 1) Якщо х = 0,1, то x2 - х3 = 0,12 - 0,13 = 0,01 - 0,001 = 0,009.

2) Якщо а = 0,4, то 15а2 = 15 ∙ 0,42 = 150,16 = 2,4.

3) Якщо х = 0,8, у = 0,6, то (х – y)5= (0,8 - 0,6)5 = 0,25 = 0,00032.

4) Якщо а = 0,6, b = 0,5, то а2b3 = 0,62 ∙ 0,53 = 0,36 ∙ 0,125 = 0,045.

5) Якщо х = 5, у = 3, то (х2 - у2) : (х - у) = (52 - 32) : (5 - 3) = (25 - 9) : 2 = 8.

6) Якщо х = 5, у = 3, то (х2 - у2) : х - у = (52 - 32) : 5 - 3 = (25 - 9) : 5 - 3 = 16 : 5 - 3 = 3,2 - 3 = 0,2.

7) Якщо х = 5, у = 3, то х2 – у2 : (х - у) = 52 - 32 : (5 - 3) = 25 - 9 : 2 = 25 - 4,5 = 20,5.

8) Якщо х = 5, у = 3, то х2 - у2 : х - у = 52 - 32 : 5 - 3 = 25 - 9 : 5 - 3 = 25 – 1,8 - 3 = 20,2.

165. 1) Якщо с = 2, то 16 - с2 = 16 - 22 = 16 – 4 = 12.

2) Якщо х = 0,125, то (16х)6 = (16 ∙ 0,125)6 = 26 = 64.

3) Якщо а = 10, b = 0,1, то а3b2 = 103 ∙ 0,12 = 1000 ∙ 0,01 = 10.

4) Якщо а = 3, то 4а4 - а = 434 - 3 = 481 - 3 = 324 - 3 = 321.

170. 1) 32 + 42 = 72 — неправильно, 9 + 16 ≠ 49;

2) 52 + 122 = 132 — правильно, 25 + 144 = 169;

3) 12 + 32 + 52 + 72 + 92 = 132 — неправильно, 1 + 9 + 25 + 49 + 81 ≠ 169; 165 ≠ 169;

4) (1 + 2 + 3)2 = 12 + 23 + 33 — неправильно, 361 + 4 + 9.

171. 12 + 22 + 42 + 62 + 82 = 112 — правильна рівність, бо 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121, 121 = 121.

172. 1) 0,33; 0,32; 0,3; 2) -0,4; (-0,4)3; (-0,4)2.

173. 1) (-4)7 ∙ (-12)9 > 0, бо (-4)7 < 0 і (-12)9 < 0;

2) (-5)6 ∙ (-17)11 < 0, бо (-5)6 > 0 і (-17)11 < 0;

3) (-14)4 ∙ (-25)14 > 0, бо (-14)4 > 0 і (-25)14 > 0;

4) (-7)9 ∙ 06 = 0.

174. 1) (-2)14 ∙ (-3)15 ∙ (-4)16 < 0, бо (-2)14 > 0 і (-4)16 > 0, а (-3)15 < 0;

2) (-5)17 ∙ (-6)18 ∙ (-7)19 > 0, бо (-5)17 < 0 і (-7)19 < 0, а (-6)18 > 0.

175. 16 = 42; 64 = 43; 256 = 46; 2) 0,09 = 0,32; 0,027 = 0,33; 0,00243 = 0,35.

176. 1) 10 000 = 104; 2) -32 = (-2)5; 3) 0,125 = 0,53; 4) -0,00001 = (-0,1)5; 5)

177. 1) (7 - 5)2 = 22 = 4; 2) 72 - 52 = 49 - 25 = 24; 3) (4 + 3)3 = 73 = 343 ; 4) 43 + 33 = 64 + 27 = 91.

178. 1) 53 + 82 = 125 + 64 = 189; 2) (9 - 8)3 = 13 = 1; 3) 2,52 + 0,252 = 6,25 + 0,0625 = 6,3125; 4) (7,8 + 8,2)2 = 162 = 256.

179. 1) 1 км = 1000 м = 103 м;

2) 1 км = 100 000 см = 105 см;

3) 1 км = 1 000 000 мм = 106 мм.

180. 1) 300 000 км/с = 3 ∙ 105 км/с;

2) 300 000 км/с = 300 000 000 м/с = 3 ∙ 108 м/с.

181. 1) 1 м2 = 100 дм2 = 102дм2;

2) 1 м2 = 10 000 см2 = 104 см2;

3) 1 м2 = 1 000 000 мм2 = 106 мм2.

182. 1) x4 = 16, x = 2, x = -2 — корені рівняння, бо 24 = 16 і (-2)4 = 16;

2) х5 = -243, х = -3 — корінь рівняння, бо (-3)5 = -243;

3) х2 + х = 2, х = -2 і х = 1 — корені рівняння, бо (-2)2 - 2 = 2 і 12 + 1 = 2;

4) х3 + х2 = 6х, х = 0, х = -3, х = 2 — корені рівняння, бо 03 + 02 = 6 ∙ 0; (-3)3 + (-3)2 = 6 ∙ (-3) і 23 + 22 = 6 ∙ 2.

183. 1) (2х - 3)2 = 0, 2х - 3 = 0, 2х = 3, х = 1,5;

2) (х + 4)4 = 0, х + 4 = 0, х = -4;

3) (6х - 1)5 = 0, 6х - 1 = 0, 6х = 1, х = 1/6.

184. 1) х10 = -1, коренів немає, бо х10 ≥ 0 при будь-якому х;

2) (х - 5)4 = -16, коренів немає, бо (х - 5)4 ≥ 0 при будь-якому х.

185. 8 < 3n < 85. Нерівність є правильною при n = 2, n = 3, n = 4.

8 < 32 < 85, 8 < 9 < 85; 8 < 33 < 85, 8 < 27 < 85; 8 < 34 < 85, 8 < 81 < 85.

186. 0,07 < 0,4m < 0,5. Нерівність є правильною при m = 1, 0,07 < 0,4 < 0,5; при m = 2, 0,07 < 0,42 < 0,5; 0,07 < 0,16 < 0,5.

187. х2 + (х - 1)2 набуває лише додатних значень, бо х2 набуває невід’ємних значень, а (х - 1)2 набуває лише додатних значень, і нуль при х = 1. Сума двох чисел, одне з яких невід’ємне, друге додатне, завжди додатна.

188. (х + 1)2 + |х| набуває лише додатних значень, бо (х + 1)2 набуває невід’ємних значень; |х| набуває невід’ємних значень при х = -1 (х + 1)2 = 0; |х| = 1; при х = 0 (х + 1)2 = 1; |х| = 0.

Сума (х + 1)2 + |х| найменшого значення 1 набуває при х = -1 і х = 0.

Сума (х + 1)2 + |х| завжди додатна.

189. 1) 2х2 + 5х + 2 = 0; при х — додатному 2х2 + 5х + 2 > 0, тому додатних чисел серед коренів рівняння немає.

2) х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 = 0; при х — додатному х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 > 0, тому серед коренів додатних чисел немає.

190. 1) х4 - 5х3 + 6х2 - 7х + 5 = 0.

Якщо х — від’ємне, то х4 > 0; -5х3 > 0; 6х2 > 0; -7х > 0. Тоді х4 - 5х3 + 6х2 - 7х + 5 завжди буде набувати додатного значення і не буде дорівнювати 0. Тому серед коренів рівняння не може бути від’ємного числа.

2) x8 + x4 + 1 = х7 + х3 + х.

Якщо х — від’ємне, то x8 + x4 + 1 — додатне, а х7 + х3 + х — від’ємне.

Оскільки додатне і від’ємне числа рівними бути не можуть, то корінь рівняння не може бути від’ємним.

191. 1) х2 + у2 = 0. Рівність правильна при х =0 і у = 0.

2) (х - 1)4 + (у + 2)6 = 0. Рівність правильна при х = 1 і у = -2.

192. х8 + (у - 3)2 = 0; х = 0; у = 3.

193. 1) х2 + 7. Вираз набуває найменшого значення 7 при х = 0.

2) (х - 1)4 + 16. Вираз набуває найменшого значення 16 при х = 1.

194. 1) 10 - х2. Вираз набуває найбільшого значення 10 при х = 0.

2) 24 - (х + 3)6. Вираз набуває найбільшого значення 24 при х = -3.

195. 1) 101101 + 103103.

101101 закінчується цифрою 1 (непарною); 103103 закінчується непарною цифрою; 101101 + 103103 закінчується парною цифрою, отже, ділиться на 2.

2) 167 + 158 - 119 ділиться націло на 10, бо 167 закінчується цифрою 6; 158закінчується цифрою 5; 119 закінчується цифрою 1. Тоді 167 + 158 закінчується цифрою 1, а 167 + 158 – 118закінчується цифрою 0.

3) 1010 - 7 ділиться націло на 3.

Запис 1010 складається з 1 і десяти нулів, тоді 1010 - 7 складається з дев’яти дев’яток і трійки, тому сума дев’яти дев’яток і трійки ділиться на 3.

4) 6n - 1 ділиться націло на 5, бо запис числа 6n закінчується цифрою 6, а запис 6n - 1 закінчується цифрою 5.

196. 1) 10100 + 8 ділиться націло на 9, бо запис числа 10100 + 8 включає одиницю, вісімку і нулі, тоді сума цифр цього числа ділиться на 9, бо дорівнює 9.

2) 111n - 6 ділиться націло на 5, бо запис числа 111n закінчується одиницею, а запис 111n — 6 закінчується п’ятіркою.

Вправи для повторення

198. 1) 400 : 100 15 = 60 кг міді містить сплав;

2) 400 + 25 = 425 кг маса сплаву;

3) 60 + 25 = 85 кг міді в сплаві;

4) міді містить новий сплав.

199. Нехай з другого мішка взяли х кг цукру, тоді з першого мішка взяли 3х кг цукру. В першому мішку залишилося (80 - 3х) кг цукру, а в другому мішку залишилося (60 - х) кг цукру. В другому мішку залишилося у 2 рази більше цукру, ніж у першому.

Тому: (80 - 3х) - 2 = 60 - х; 160 - 6х = 60 - х; -6х + х = 60 - 160; -5х = -100; х = -100 : (-5); х = 20 кг цукру взяли з другого мішка;

20 ∙ 3 = 60 кг цукру взяли з першого мішка.

коренів немає.

201. |a| = b2 ∙ (b - с). a — від’ємне, b — додатне, с = 0.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.