Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 9. Додавання і віднімання многочленів

0у = 0; розв’язків немає.

313. 1) (а2 + b2 - с2) - (b2 + с2 - а2) + (с2 - а2) = а2- с2 — ТОТОЖНІСТЬ, бо а2 + b2 - с2 - b2 - с2 + а2 + с2 - а2 = а2 - с2; а2 - с2 = а2 - с2 — правильна рівність;

2) (4 - 3а2) - а2 + (7 + 2а2) - (-2а2 + 11) = 0 — тотожність, бо 4 - 3а2 - а2 + 7 + 2а2 + 2а2 - 11 = 0; 0 = 0 — правильна рівність;

3) (х3 + 4х2) - (х + 6) + (1 + х - х3) = 4х2 - 5 — тотожність, бо х3 + 4х2 - х - 6 + 1 + х - х3 = 4х2 - 5; 4х2 - 5 = 4х2 - 5 — правильна рівність.

314. 1) 4а2 - (6а2 - 2ab) + (3ab + 2а2) = 5аb — тотожність, бо 4а2 - 6а2 + 2ab + 3ab + 2а2 = 5аb; 5ab = 5ab — правильна рівність;

2) (9х6 - 4х3) - (х3 - 9) - (8х6 - 5х3) = х6 + 9 — тотожність, бо 9х6 - 4х3 - х3 + 9 - 8х6 + 5х3 = х“ + 9; х6 + 9 = x6 + 9 — правильна рівність.

315. 1) Якщо a = -3, то (5а3 - 20а2) - (4а3 - 18а2) = 5а3 - 20а2 - 4а3 + 18а2 = а3 - 2а2 = (-3)3 - 2 ∙ (-3)2 = -27 - 2 ∙ 9 = -27 - 18 = -45.

2) Якщо b = -1,5, с = 4, то 4b2 - (7b2 – 3bc) + (3b2 – 7bc) = 4b2 - 7b2 + 3bc + 3b2 - 7bc = -4bc = -4 ∙ (-1,5) ∙ 4 = 24.

316. а) Якщо а = -1, b = 5, то (5,7а2 - 2,1аb + b2) - (3,9аb - 0,3а2 + 2b2) = 5,7а2 - 2,1аb + b2 - 3,9аb + 0,3а22b2 = 6а2 - 6аb - b2 = 6 ∙ (-1)2 - 6 ∙ (-1) ∙ 5 - 52 = 6 + 30 - 25 = 11.

б) Якщо m = -2/3, n = 3/16, то

317. 1) 1,6 - 7a2 - (0,8 - 4a2) + (3a2 - 0,7) = 1,6 - 7a2 - 0,8 + 4a2 + 3a2 - 0,7 = 1,6 - 1,5 = 0,1. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної.

2) 3х2 - 9х - (8 - 5х2 - (9х - 8х2)) = 3х2 - 9х(8 - 5х2 - 9х + 8х2) = 3х2 - 9х - 8 + 5х2 + 9х +2 = -8. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної.

318. (2с2 - 3с) + 1,8 - с2 - (с2 - 3с - 2,2) = 2с2 - 3с + 1,8 - с2 - с2+ 3с + 2,2 = 4. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної, що входить до нього.

328. (9 – 18m) - (6n - 7) = 9 – 18n – 6n + 7 = -24n + 16 = 8 ∙ (-3n + 2) — кратне 8 при будь-якому значенні n, бо 8 кратне 8.

329. (6m + 8) - (3m - 4) = 6m + 8 – 3m + 4 = 3m + 12 = 3(m + 4) — кратне 3 при будь-якому значенні m.

330. (5n + 9) - (5 – 2n) = 5n + 9 - 5 + 2n = 7n + 4; при діленні на 7 дає остачу 4.

331. (16n + 8) - (7n + 3) = 16n + 8 – 7n - 3 = 9n + 5. При діленні значення виразу на 9 остача 5.

ділиться націло на 6, бо 6 ділиться на 6.

336. (16а – 6b) + (27b - 2а) = 16а – 6b + 27b - 2а = 14а + 21b = 7(2а + 3b) — ділиться націло на 7, бо 7 ділиться на 7.

337. 1) х2 - 6х + 14 = (х2 - 4х) - (2х - 14);

2) х2 - 6х + 14 = (х2- 4x + 8) - (2х - 6).

338. 3х2+ 10х - 5 = (4х2+ 15х) - (х2+ 5x + 5).

339. (2х4 + 4х -1) - (х2 + 8 + 9х) + (5х + х2 - 3х4) = 2х4 + 4х - 1 - х2 - 8 - 9х + 5х + х2 - 3х4 = -х4 - 9; набуває від’ємного значення при будь-якому значенні х, бо (-х4) завжди від’ємне. Найбільше значення виразу дорівнює -9 при х = 0.

340. (7y2 - 9у + 8) - (3у2 - 6у + 4) + 3у = 7у2 - 9у + 8 - 3у2 + 6y - 4 + 3у = 4у2 + 4; набуває додатного значення при будь- якому значенні у, бо у2 не може бути від’ємним при будь-якому у. Найменше значення цього виразу 4 при у = 0.

341. 1) n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2); ділиться націло на 5, бо 5 ділиться на 5;

2) 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1); ділиться на 6 націло;

3) 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2); ділиться націло на 8;

4) n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6; не ділиться націло на 4, бо 4n ділиться на 4, а 6 не ділиться націло на 4;

5) n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 15; 6n + 15 = 6n + 12 + 3 = 6(n + 2) + 3; цей вираз при діленні на 6 дає остачу 3;

342. 1) n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) кратне 3;

2) n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 = 7n + 21 = 7(n + 3); ділиться націло на 7;

3) 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(2n + 3); ділиться націло на 4;

4) 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2); ділиться націло на 10.

ділиться націло на 11;

ділиться націло на 99.

ділиться націло на 111;

ділиться націло на 9.

345. Якщо многочлени одночасно набувають від’ємних значень, то сума їх також від’ємна.

2 - 6ху - 7у2 + (-3х2 + 6ху + 8y2) = 5х2 - 6ху - 7у23x2 + 6ху + 8у2 = 2х2 + у2; набуває лише невід’ємних значень при будь-яких значеннях х і у.

Отже, многочлени не можуть набувати від’ємних значень.

346. 1) х2 - 2х + 1 - (х2 - 2х - 1) = 2;

2) х2 - (2х + 1) - (х2 - 2х) - 1 = -2;

3) х2 - 2х + 1 - (х2 - 2х) - 1 = 0.

347. х — дане число; х + 0,2х = 1,2х — число після І зміни;

1,2х - 0,2 1,2х = 1,2х - 0,24х = 0,96х — число після II зміни;

— на 4 % число зменшилось.

348. Нехай басейн заповнили за х годин, тоді перша труба за 1 годину заповнює 1/3 басейну, а за 2 години заповнює 2/3 басейну, друга труба за 1 годину заповнює 1/6 частину басейну, а за (х - 2) години (саме стільки годин працювала друга труба) заповнює басейну. Разом вони заповнюють цілий басейн. Тому 4 + х - 2 = 6; х = 4 год.

Відповідь: басейн було заповнено за 4 години.

349. Кількість дерев виражається числом, кратним 24 і 18. Це числа 72; 144; 216; 288; ... Якщо їх більше 100, але менше 200, то їх 144.

350. Нехай х км — відстань від села до станції, тоді пішохід потратив на цей шлях x/4 год, а велосипедист — x/10 год. За умовою 5x – 2x = 30; 3х = 30; х = 30 : 3; х = 10 (км) — відстань від села до станції.

359. 1) Якщо х = -1, то 3х(2х - 5) - 8х(4х - 3) = 6х2 - 15х - 32х2 + 24х = -26х2 + 9х = -26 ∙ (-1)2 + 9 ∙ (-1) = -26 - 9 = -35.

2) Якщо х = 7, то 2х(14х2 – х + 5) + 4х(2,5 + 3х - 7х2) = 28х3 - 2х2 + 10х + 10х + 12х2 – 28x3 = 10x2 + 20х = 10 ∙ 72 + 20 ∙ 7 = 490 + 140 = 630.

3) Якщо а = -3, b = 2, то 8аb2 – 2b3) - 7a(a2b – 3b3) = 8a3b - 16ab3 - 7a3b + 21ab3 = a3b + 5ab3 = (-3)3 ∙ 2 + 5 ∙ (-3) ∙ 23 = -27 ∙ 2 - 120 = -54 - 120 = -174.

360. 1) Якщо х = -1/9, то 6х(6х - 4) + 9х(3 - 4х) = 36х2 - 24х + 27х - 36х2 = 3x = 3 ∙ (-1/9) = -1/3.

2) Якщо m = -4, n = 0,5, то 2m(m - n) - n(3m - n) - n(n + 6) = 2m2 - 2mn – 3mn + n2 - n2 – 6n = 2m2 – 5mn6n = 2 ∙ (-4)2 - 5 ∙ (-4) ∙ 0,5 - 6 ∙ 0,5 = 32 + 10 - 3 = 39.

361. 1) 5х(3х - 2) - 15х(4 + х) = 140; 15X2 – 10X - 60х - 15х2 = 140; -70х = 140; х= 140 : (-70); х = -2;

2) 1,2х(4 + 5х) = 3х(2х + 1) - 9; 4,8х + 6х2 = 6х2 + 3х - 9; 4,8х + 6х2 - 6х2 - 3х = -9; 1,8х = -9; х = -9 : 1,8; х = -5;

3) 6х(7х - 8) - 2х(21х - 6) = 3 - 30х; 42х2 - 48х - 42х2 + 12х = 3 - 30х; -36х + 30х = 3; -6х = 3; х = 3 : (-6); х = -0,5;

4) 12х - 3х(6х - 9) = 9х(4 - 2х) + 3х; 12х - 18х2 + 27х = 36х - 18х2 + 3х; 39х - 18х2 - 36х + 18х2 - 3х = 0; 0х = 0; рівняння має безліч розв’язків;

5) 7х2 - х(7х - 5) - 2(2,5х + 1) - 3 = 0; 7х2 - 7х2 + 5х - 5х – 2 - 3 = 0; 0х = 5; рівняння коренів не має;

6) 8(х2 - 4) - 4х(3,5х - 7) = 20х - 6х2; 8х2 - 32 - 14х2 + 28х - 20х + 6х2 = 0; 28х - 20х = 32; 8х = 32; х = 32 : 8; х = 4.

363. 1) аb(b - с) + ас(с - b) - а(b2 – 3bс + с2) — тотожність; ab2 - аbс + ас2- abc - аb2 + 3abc - ас2 = abc; abc = аbс — правильна рівність;

2) 4а(а + b) - a(3а – 4b) – 8ab = а2 — тотожність; 4а2 + 4ab - 3а2 + 4аb - 8аb = а2; а2 - а2 — правильна рівність;

3) а(а + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + а(а + b) — тотожність; а2 + 2ab + ab + b2 = 2аb + b2 + а2 + аb; а2 + 3аb + b2 = а2 + 3аb + b2 — правильна рівність;

4) а(b + с - bс) - b(а + с - ас) = (а - b)с — тотожність; ab + ас - abcab - bc + abc = ас - bс; ас - bс = ас - bс — правильна рівність.

364. 1) а(а + b) - b(а - b) = а2 + b2 — тотожність; а2 + аb - ab + b2 = а2 + b2; а2 + b2 = а2 + b2 — рівність справедлива;

2) b(а - b) + b(b + с) = b(а + b) - b(b - с) — тотожність; аb - b2 + b2 + bс = ab + b2 - b2 + bс; ab + bc = ab + bс — правильна рівність.

365. 1) а(bс - 1) + b(ас - 1) + с(аb - 1) = аbс - а + abc - b + аbс - с = 3аbс - а - b - с = 3аbс - (а + b + с) = 3аbс - 0 = 3аbс, що й треба було довести;

2) с(аb - с) - b(ас - b) - а(bс - а) + аbс = аbс - с2 - аbс + b2 - аbс + а2 + аbс = -с2 + b2 + а2 = -с2 + (b2 + а2) = -с2 + с2 = 0, що й треба було довести.

366. х(12х + 11) - x2(x2 + 8) - x(11 + 4x - x3) = 12x2 + 11x - x4 – 8x2 – 11x - 4х2 + х4 = 0 при будь-якому значенні л. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної.

367. 6x(x - 3) – 9(2/3x2 – 2x + 7) = 6х2 – 18x – 6x2 + 18х - 63 = -63 при будь-якому x. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної.

368. 4(x2 – 2x + 4) - 0,5x(6x - 16) = 4x2 – 8x + 16 – 3x2 + 8x = x2 + 16; може набувати лише додатних значень, бо х2 — невід’ємне при будь-якому x і 16 — додатне число, а сума додатного і невід’ємного чисел — додатне число.

369. 3x2(3 – 4x) – 6x(1,5x – 2x2 + x3) = 9x2 – 12x3 – 9x2 + 12x3 – 6x4 = -6x4 — завжди від’ємне, або нуль при x = 0.

370.4(а + 3) - а3(21а + 7а2 - 3а5) = 7а5 + 21а4 - 21а4 - 7а5 + 3а8 = 3а8; набуває додатних значень або нуль (при а = 0). Отже, 3а8 — невід’ємне при будь-яких значеннях а.

378. x см — початкова ширина прямокутника, тоді 3x см — початкова довжина прямокутника. Його площа x ∙ 3x = 3x2 (см2). Якщо ширину зменшити на 6 см, то ширина буде дорівнювати (x - 6) см, площа прямокутника буде дорівнювати (x - 6) ∙ 3x см2. За умовою 3x2 - (x - 6) ∙ 3x = 144; 3x23x2 + 18x = 144; 18x = 144; x = 144 : 18; x = 8 (см) — початкова ширина прямокутника.

379. Нехай ширина прямокутника x см, тоді довжина прямокутника (x + 8) см. Його площа x(x + 8) см2. Якщо довжина збільшилася на 6 см, то довжина (x + 14) см і площа його x(x + 14) см2. Площа збільшилася на 72 см2, отже, x(x + 14) - x(x + 8) = 72; x2 + 14x - x2 - 8x = 72; 6x = 72; x = 72 : 6; x = 12 (см) — ширина даного прямокутника.

12 + 8 = 20 (см) — довжина даного прямокутника; Р = (12 + 20) ∙ 2 = 64 см.

380. Нехай за перший день турист пройшов x км, тоді за другий день він пройшов (x + 6) км, а за третій день — 5/13(x + x + 6) км.

За три дні турист пройшов 108 км.

Тому x + x + 6 + 5/13(x + x + 6) = 108;

13x + 13x + 78 + 5(2x + 6) = 1404; 26x + 78 + 10x + 30 = 1404; 36x = 1404 - 78 - 30; 36x = 1296; x = 1296 : 36; x = 36 (км) — пройшов турист за перший день.

36 + 6 = 42 (км) — пройшов турист за другий день;

5/13 ∙ (36 + 42) = 5/13 ∙ 78 = 30 (км) — пройшов турист за третій день.

381. Нехай І бригада виготовила x деталей, тоді II бригада виготовила (x + 12) деталей, а III бригада — 3/7(х + х + 12) деталей. Три бригади виготовили разом 80 деталей.

Отже, x + x + 12 + 3/7(x + x + 12) = 80; 7x + 7x + 84 + 3x + 3x + 36 = 560; 20x + 120 = 560; 20x = 560 - 120; 20x = 440; x = 440 : 20; x = 22 деталі виготовила I бригада; 22 + 12 = 34 деталі виготовила II бригада; 3/7 ∙ (22 + 34) = 24 деталі виготовила III бригада.

384. а = 3n + 1, де n — натуральне число; b = 9m + 7, де m — натуральне число.

4а + 2b = 4(3n + 1) + 2(9m + 7) = 12n + 4 + 18m + 14 = 12n + 18m + 18 = 3(4n + 6m + 6); ділиться націло на 3, бо 3 ділиться на 3.

385. m = 5а + 3, а — натуральне число; n = 3b + 2, b — натуральне число.

3m + 5n = 3(5а + 3) + 5(3b + 2) = 15а + 9 + 15b + 10 = 15а + 15b + 19; не ділиться націло на 15, бо 15а і 15b діляться на 15, а 19 не ділиться на 15.

386. Нехай площа Дністровського лиману x км2, тоді площа Дніпровсько-Бузького — км2, а площа лиману Сасик становить

За умовою задачі

9x + 20x + 0,256 ∙ 20x = 12283,2; 29x + 5,12x = 12283,2; 34,12x = 12283,2; x = 12283,2 : 34,12; x = 360 (км2) — площа Дністровського лиману;

— площа Дніпровсько-Бузького лиману;

0,256 ∙ 800 = 204,8 (км2) — площа лиману Сасик.

387. 1) сторінок книжки залишилося прочитати після першого дня;

2) сторінок книжки Василь прочитав за другий день;

3) сторінок книжки прочитав Василь за третій день;

4) сторінок у книзі.

388. 1) Кубик мас 6 граней, на яких З непарних і 3 парних числа. Тому ймовірність того, що випаде непарне число, дорівнює 3/6 , або 1/2.

2) Націло на 3 діляться числа 3 і 6. Тому ймовірність випадання числа, що ділиться на 3, дорівнює

3) Таких чисел 4: 1; 2; 4; 5. Тому ймовірність випадання числа, яке не ділиться на 3, дорівнює

389. Нехай х км — відстань, яку проїхав велосипедист. Тоді половину шляху x/2 км велосипедист їхав зі швидкістю а другу половину x/2 км велосипедист проїхав зі швидкістю Оскільки другу половину шляху велосипедист їхав зі швидкістю, яка більша на 3 км/год, ніж швидкість початкова, то 6х - 5х = 90; х = 90 (км) — шлях, який проїхав велосипедист.

390. Нехай дана умова буде виконана через x днів, тоді на І складі через x днів залишиться (184 – 15x) т добрива, а на II складі — (240 – 18x) т добрива.

За умовою 184 – 15x = 160 – 12x; -15x + 12x =160 - 184; -3x = -24; x = -24 : (-3); x = 8.

Відповідь: через 8 днів.


Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити