Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» В. Кравчука 7 клас - 2015 рік
Розділ І. Цілі вирази
§ 1
1. Числові вирази: а) 7,2 : 3; б) 5; в) г) (18 - 3) : 5 = 3.
Вирази зі змінними: д) а - с; е) 15 - 8а; ж) abx2.
Записи, що не є виразами: в) 2х = 3.
2. а) сума 5 та х; б) частка у та +; в) подвоєний добуток чисел а і b; г) частка виразу (аbс - 2) і 4; д) частка різниці а – 3 і а;
е) різниця між добутком 1/4 і z та числом 3,5; є) частка між різницею виразів b і с та числом 4; ж) частка між числом 37 та х.
Цілі вирази: а) 5 + х; б) у : 7; в) 2аb; г)
8. а) якщо b = -9, то 7b - 3 = 7 ∙ (-9) - 3 = -27 - 3 = -30;
б) 0,11 - 4с2, якщо с = 0,2; 0,11 – 4 ∙ 0,22 = 0,11 - 4 ∙ 0,04 = 0,11 - 0,16 = -0,05;
в) якщо а = -3, b = 8, то 3а + b = 3 ∙ (-3) + 8 = -9 + 8 = -1;
г) аb - 4с, якщо а = -0,4; b = 7; с = 0,12; аb - 4с = -0,4 ∙ 7 – 4 ∙ 0,12 = -2,8 - 0,48 = -3,28.
9. а) якщо а = 4, то
б) якщо х = -3, то
10. а) -2а + 5,2, якщо а = 3, то -2 ∙ (-3) + 5,2 = -6 + 5,2 = -0,8;
б) якщо s = 2, то (1 - 4s)2= (1 - 4 ∙ 2)2 = (-7)2 = 49;
в) якщо у = 1,5, то 12(3у - 5) = 12 ∙ (3 ∙ 1,5 - 5) = 12 ∙ (4,5 - 5) = 12 ∙ (-0,5) = -6;
г) якщо х = 11, у = -5,5, то х - 2у = 11 - 2 ∙ (-5,5) = 11 + 11 = 22;
д) якщо а = 3,2; b = -7,7; с = 2,5, то 3(а + b) - 2с= 3 ∙ (3,2 - 7,7) - 2 ∙ 2,5 = 3 ∙ (-4,5) – 2 ∙ 2,5 = -13,5 - 5 = -18,5.
11.
а |
-4 |
-1 |
0 |
0,5 |
2 |
3 |
4 - 3а |
16 |
7 |
4 |
2,5 |
-2 |
-5 |
4 - 3 ∙ (-4) = 4 + 12 = 16; 4 - 3 ∙ (-1) = 4 + 3= 7; 4 – 3 ∙ 0 = 4;
4 – 3 ∙ 0,5 = 4 - 1,5 = 2,5; 4 – 3 ∙ 2 = 4 - 6 = -2; 4 – 3 ∙ 3 = 4 - 9 = -5.
12.
x |
-5 |
-3 |
0 |
1 |
1,5 |
2,5 |
2x - 3 |
-13 |
-9 |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
2 ∙ (-5) - 3 = -10 - 3 = -13; 2 ∙ (-3) - 3 = -6 - 3 = -9; 2 ∙ 0 - 3 = -3;
2 ∙ 1 - 3 = 2 - 3 = -1; 2 ∙ 1,5 - 3 = 3 - 3 = 0; 2 ∙ 2,5 - 3 = 5 - 3 = 2.
13.
x |
5 |
7 |
1 |
-2 |
-4 |
10 |
у |
2 |
-1 |
0 |
3 |
-0,5 |
-1 |
x - 2у |
1 |
9 |
1 |
-8 |
-3 |
12 |
х - 2у
якщо х = 5, у = 2, то х - 2у = 5 – 2 ∙ 2 = 5 - 4 = 1;
якщо x = 7, у = -1, то x – 2y = 7 – 2 ∙ (-1) = 7 + 2 = 9;
якщо x = 1, y = 0, то 1 – 2 ∙ 0 = 1;
якщо x = -2, у = 3, то -2 – 2 ∙ 3 = -2 - 6 = -8;
якщо x = -4, у = -0,5, то -4 - 2 ∙ (-0,5) = -4 + 1 = -3;
якщо x = 10, у = -1, то 10 - 2 ∙ (-1) = 10 + 2= 12.
14.
b |
-2 |
0 |
0,5 |
1 |
3 |
3,5 |
|
-2,25 |
-1,25 |
-1 |
-0,75 |
0,25 |
0,5 |
якщо b = -2, то
якщо b = 0,5, то
якщо b = 1, то
якщо b = 3, то
якщо b = 3,5, то
15. Шлях, який проїде автомобіль за t годин із швидкістю 75 км/год. S = v ∙ t; S = 75t.
16. Маса завезеного на склад борошна; 50 ∙ n; якщо n = 48, то 50 ∙ n = 50 ∙ 48 = 2400 (кг).
17. 32k деталей виготовить робітник за k днів. Якщо k = 5, то 32 ∙ 5 = 160 (деталей).
18. Маса пшениці зібраної з двох ділянок: 38а + 42b.
19. Вартість тканини: 50а + 30b.
20. а) якщо а = 16,17; b = 6/7, то
б) якщо то
21. а) якщо то
б) якщо то
31. а) 100а + 10b; б) 500 + 10а + b.
32. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами а см; b см; с см.
36. n - k + 30; якщо n = 83, k = 35, то n - k + 30 = 83 - 35 + 30 = 78.
37. 4а - 25 ∙ n; якщо n = 3, а = 120, то 4 ∙ 120 – 25 ∙ 3 = 405.
38. 80 ∙ 2 + 2v; (160 + 2v) км — відстань між містами.
39. d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... n; d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120; d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040;
d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ... 10, добуток закінчується двома нулями;
d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ... 100, добуток закінчується 24 нулями.
40. х2 + 5; найменше значення виразу: 5; х2 - 3; найменше значення виразу: -3.
41. Найбільше значення виразу 1 - а2; 1; найбільше значення виразу -3 - а2; -3.
42. 9n + 2; 23 числа.
43. m = 6n + 5.
44. х м2 площа першої ділянки, 1,7x2 площа другої ділянки: 1,7x - х = 350; 0,7x = 350; х = 350 : 0,7; x = 500.
500 м2 площа першої ділянки; 850 м2 площа другої ділянки; 500 + 850 = 1350 (м2) площа обох ділянок; 1350 ∙ 20 = 27000 г = 27 кг.
Відповідь: 27 кг.
47. Розкрийте дужки: а) 4 ∙ (а + 2b) = 4а + 8b;
б) (а + b - с)3 = 3а + 3b - 3с;
в) 5(а - 1) - (b - с) = 5а - 5 - b + с.
48. а) 2х + (у - 3); 2x - (-у + 3);
б) а – 3b + 4 = а + (-3b + 4); а – 3b + 4 = а - (3b - 4);
в) m + n - 7 - mn = m + n + (-7 - mn) = m + n - (7 + mn).
49. Після кожного ходу кількість букетів збільшується на 1. Усього є 32 троянди, то, маючи 2 букети, одержати 32 букети з однієї троянди можна за 32 - 2 = 30 (ходів). Парні ходи робить принц. Перемогла Попелюшка.
50. а) 5 + 6x = 6x + 5; тотожно рівні вирази;
б) а ∙ 5b = 5ab; тотожно рівні вирази;
в) а – b і b - а — не є тотожно рівними виразами.
51. а) аb + 2 = 2 + аb, так; б) а – 1 = -1 + а, так; в) 2(а - 3) = 2а - 3, ні.
52. a) x + 4x = 4x + x; б) x + 4x = 5x; в) x + 4x - 2 = 5x - 2.
53. -2b - (a – 3b) + 5a = -2b - a + 3b + 5a = -2b + 3b - a + 5a = (-2 + 3) ∙ b + (-1 + 5) ∙ a = b + 4a; винесення множника за дужки; розкриття дужок; зведення подібних доданків.
63. а) 4(1 - х) + 6х = 8; 4 - 4х + 6х = 8; -4х + 6х = 8 - 4; 2х = 2; х = 2 : 2; х = 1.
Відповідь: 1.
б) 7х - 2(х + 4) = -3; 7х - 2х - 8 = -3; 7х - 2х = -3 + 8; 5х = 5; х = 5 : 5; х = 1.
Відповідь: 1.
64. а) 5х + 3(х - 4) = 4; 5х + 3х - 12 = 4; 5х + 3х = 4 + 12; 8х = 16; х = 16 : 8; х = 2.
Відповідь: 2.
б) х - (8 - 3х) = 20; х - 8 + 3х = 20; 4х = 20 + 8; 4х = 28; х = 28 : 4; х = 7.
Відповідь: 7.
65. Нехай ширина прямокутника a см, тоді довжина (а + 3) см. Периметр прямокутника: 2а + 2(а + 3) = 2а + 2а + 6 = 4а + 6.
66. Периметр трикутника: b + b + 5 = 2b + 5 (см).
67. Нехай на одній полиці п книжок, тоді на другій полиці n ∙ 1,5 = 1,5n.
На обох полицях n + 1,5n = 2,5n (книжок).
68. На одній полиці k книжок, на другій k - 12. На обох полицях k + k - 12 = 2k - 12 (книжок).
69. Один робітник виготовляє за годину с деталей, а другий (с - 2) деталі. За 8 годин обидва робітники виготовлять 8 ∙ (с + с - 2) деталі; 8 ∙ (c + с - 2) = 8(2с - 2) = 16с - 16.
Відповідь: 16с - 16.
Тотожність доведено.
8b = 8b. Тотожність доведено.
Тотожність доведено;
Тотожність доведено.
Відповідь: 1.
Відповідь: 2.
Відповідь: -3.
Відповідь: 1/2.
78. Перший лижник пробіг а м, другий (а - b) м, а третій — 1200 м;
а + 1200 - (а - b) = а + 1200 - a + b = (1200 + b) м.
Відповідь: 1200 + b.
79. На першій полиці було х книжок, а на другій — 2х книжок. На першій полиці стало (х - 10) книжок, а на другій полиці стало (2х + 3) книжок.
х - 10 + 2х + 3 = (3х - 7) книжок стало на полицях.
Відповідь: 3х - 7.
80. а) (11m + 3n) - (7m + 7n) = 11m + 3n – 7m – 7n = 4m – 4n = 4(m - n) — ділиться на 4;
б) (10m + 3n + 2) + (2m – 7n + 6) = 10m + 3n + 2 + 2n – 7m + 6 = 12m – 4n + 8 = 4(3m - n + 2) ділиться на 4.
81. n, n + 1, n + 2 — три послідовні цілі числа;
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) ділиться на 3.
82. n, n + 1, n + 2, n + 3 — чотири послідовних цілих числа.
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 — не ділиться на 4.
83. Число 4n + 2 при діленні на 4 дає в остачі 2.
(4n + 2) + (4n + 2) = 8n + 4 = 4(2n + 1) їх сума ділиться на 4;
4n + 2 – 4n - 2 = 0 їх різниця ділиться на 4.
ділиться на 11.
ділиться на 9.
86. 3n + m — число дає в остачі т при діленні на 3.
6n + m — число дає в остачі т при діленні на 3.
6n + m - (3n + m) = 6n + m – 3n - m = 3n — ділиться на 3.
88. а) (х - 7)(х + 9) = 0; х - 7 = 0; х = 7 або х + 9 = 0; х = 0.
Відповідь: 7; -9.
б) |х| = 5; х = 5 або х = -5.
Відповідь: 5; -5.
в) |х + 5| = -2; коренів немає.
89. 69,6% = 0,696; 174 : 0,696 = 250 (т) маса літака.
90. Чоловік мав пройти відстань від станції до села за 1 годину 24 хвилини. З них він йшов пішки 24 хвилини, 5 хвилин їхав на автомобілі і прибув у село раніше на 55 хвилин.
Нехай швидкість пішохода х км/год, а швидкість автомобіля (х + 55) км годину. Відстань від станції до села Пішки він пройшов 2/5х км, на автомобілі проїхав 1/12(x + 55) км.
Рівняння: 24х + 5х + 275 = 84х; 29х - 84х = -275; 55x = 275; x = 275 : 55; x = 5.
5 км/год швидкість пішохода;
5 + 55 = 60 км/год — швидкість автомобіля.
Відповідь: 60 км/год.
91. Імовірність того, що серед вибраних куль є куля з номером 1 дорівнює 1/2.
92. а) (3 + 3) ∙ 3 = 18; б) 33 : 3 = 27 : 3 = 9; в) 3 : 3 + 3 = 4; г) 33 ∙ 3 = 27 ∙ 3 = 81; д) 3 ∙ (3 - 3) = 0.
93. 7 намист; чорні перлини можуть бути поруч, а можна ставити через одну, через 2, через 3 і т. д.
94. а) 2,5 - а; б) с3; в) 2(а + b); г) m2 + n2; д) а - bс.
95. S/75 годин автомобіль був у дорозі.
96. 2а + 3b.
97. Площа першої ділянки: mn. Площа другої ділянки: (m + 5) ∙ (n - 2).
Якщо m = 50, n = 14, то (50 + 5) ∙ (14 - 2) = 55 ∙ 12 = 660 (м2).
106. За перший день магазин продав b кг цукру, за другий день (b + 58) кг, за третій день (b + 58 - 12) кг. Затри дні магазин продав: b + (b + 58) + (b + 58 - 12) = b + b + 58 + b + 58 - 12 = (3b + 104) кг цукру.
107. У 7-А класі n учнів, у 7-Б класі (n - 5) учнів, у 7-В класі (n + 3) учні. Кількість учнів у трьох класах: n + (n - 5) + (n + 3) = n + n - 5 + n + 3 = 3n - 2.
108. Мотоцикліст до зустрічі проїхав 54t км. Автомобіль до зустрічі проїхав 72(t - 0,5) км.
Відстань між містами: 54t + 72(t - 0,5) = 54t + 72t - 36 = 126t - 36.
109. Перший екскаватор вирив x м траншеї або 2/9 всієї траншеї.
Отже, вся траншея становить 9/2x м.
Другий екскаватор вирив (x + 20) м траншеї. Третій екскаватор вирив:
м траншеї.
110. 4n + 1; 4n + 3.
111. Три цілі числа при діленні на 3 дають різні остачі: 3n + 1; 3n + 2; 3n + 0.
3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 0 = 9n + 3 = 3(3n + 1) — ділиться на 3.
Завдання для самоперевірки № 1
Рівень 1
Рівень 2
якщо
Рівень 3
12. У першій книжці а сторінок; у другій книжці (а - b) сторінок. У третій книжці 2(а - b) сторінок. У трьох книжках а + (а - b) + 2(а - b) = а + а - b + 2а – 2b = (4а – 3b) сторінок.
Вирази тотожно рівні.
Рівень 4
15. На першій полиці а книжок, на другій — 3а книжок, на третій а + 3а - 17 = (4а - 17) книжок. На трьох полицях; а + 3а + (4а - 17) = а + 3а + 4а - 17 = (8а - 17) книжок.
16. а = 5n + 4; b = 4n + 2; 4а + 5b = 4(5n + 4) + 5(4n + 2) = 20n + 16 + 20n + 10 = 40n + 26 не ділиться на 10.
17. —трицифрове число;
ділиться на 3.