Розділ І. Цілі вирази

§ 1

1. Числові вирази: а) 7,2 : 3; б) 5; в) г) (18 - 3) : 5 = 3.

Вирази зі змінними: д) а - с; е) 15 - 8а; ж) abx².

Записи, що не є виразами: в) 2х = 3.

2. а) сума 5 та х; б) частка у та +; в) подвоєний добуток чисел а і b; г) частка виразу (аbс - 2) і 4; д) частка різниці а – 3 і а;

е) різниця між добутком 1/4 і z та числом 3,5; є) частка між різницею виразів b і с та числом 4; ж) частка між числом 37 та х.

Цілі вирази: а) 5 + х; б) у : 7; в) 2аb; г)

8. а) якщо b = -9, то 7b - 3 = 7 ∙ (-9) - 3 = -27 - 3 = -30;

б) 0,11 - 4с², якщо с = 0,2; 0,11 – 4 ∙ 0,2² = 0,11 - 4 ∙ 0,04 = 0,11 - 0,16 = -0,05;

в) якщо а = -3, b = 8, то 3а + b = 3 ∙ (-3) + 8 = -9 + 8 = -1;

г) аb - 4с, якщо а = -0,4; b = 7; с = 0,12; аb - 4с = -0,4 ∙ 7 – 4 ∙ 0,12 = -2,8 - 0,48 = -3,28.

9. а) якщо а = 4, то

б) якщо х = -3, то

10. а) -2а + 5,2, якщо а = 3, то -2 ∙ (-3) + 5,2 = -6 + 5,2 = -0,8;

б) якщо s = 2, то (1 - 4s)²= (1 - 4 ∙ 2)² = (-7)² = 49;

в) якщо у = 1,5, то 12(3у - 5) = 12 ∙ (3 ∙ 1,5 - 5) = 12 ∙ (4,5 - 5) = 12 ∙ (-0,5) = -6;

г) якщо х = 11, у = -5,5, то х - 2у = 11 - 2 ∙ (-5,5) = 11 + 11 = 22;

д) якщо а = 3,2; b = -7,7; с = 2,5, то 3(а + b) - 2с= 3 ∙ (3,2 - 7,7) - 2 ∙ 2,5 = 3 ∙ (-4,5) – 2 ∙ 2,5 = -13,5 - 5 = -18,5.

11.

а	-4	-1	0	0,5	2	3
4 - 3а	16	7	4	2,5	-2	-5

4 - 3 ∙ (-4) = 4 + 12 = 16; 4 - 3 ∙ (-1) = 4 + 3= 7; 4 – 3 ∙ 0 = 4;

4 – 3 ∙ 0,5 = 4 - 1,5 = 2,5; 4 – 3 ∙ 2 = 4 - 6 = -2; 4 – 3 ∙ 3 = 4 - 9 = -5.

12.

x	-5	-3	0	1	1,5	2,5
2x - 3	-13	-9	-3	-1	0	2

2 ∙ (-5) - 3 = -10 - 3 = -13; 2 ∙ (-3) - 3 = -6 - 3 = -9; 2 ∙ 0 - 3 = -3;

2 ∙ 1 - 3 = 2 - 3 = -1; 2 ∙ 1,5 - 3 = 3 - 3 = 0; 2 ∙ 2,5 - 3 = 5 - 3 = 2.

13.

x	5	7	1	-2	-4	10
у	2	-1	0	3	-0,5	-1
x - 2у	1	9	1	-8	-3	12

х - 2у

якщо х = 5, у = 2, то х - 2у = 5 – 2 ∙ 2 = 5 - 4 = 1;

якщо x = 7, у = -1, то x – 2y = 7 – 2 ∙ (-1) = 7 + 2 = 9;

якщо x = 1, y = 0, то 1 – 2 ∙ 0 = 1;

якщо x = -2, у = 3, то -2 – 2 ∙ 3 = -2 - 6 = -8;

якщо x = -4, у = -0,5, то -4 - 2 ∙ (-0,5) = -4 + 1 = -3;

якщо x = 10, у = -1, то 10 - 2 ∙ (-1) = 10 + 2= 12.

14.

b	-2	0	0,5	1	3	3,5
	-2,25	-1,25	-1	-0,75	0,25	0,5

якщо b = -2, то

якщо b = 0,5, то

якщо b = 1, то

якщо b = 3, то

якщо b = 3,5, то

15. Шлях, який проїде автомобіль за t годин із швидкістю 75 км/год. S = v ∙ t; S = 75t.

16. Маса завезеного на склад борошна; 50 ∙ n; якщо n = 48, то 50 ∙ n = 50 ∙ 48 = 2400 (кг).

17. 32k деталей виготовить робітник за k днів. Якщо k = 5, то 32 ∙ 5 = 160 (деталей).

18. Маса пшениці зібраної з двох ділянок: 38а + 42b.

19. Вартість тканини: 50а + 30b.

20. а) якщо а = 16,17; b = 6/7, то

б) якщо то

21. а) якщо то

б) якщо то

31. а) 100а + 10b; б) 500 + 10а + b.

32. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами а см; b см; с см.

36. n - k + 30; якщо n = 83, k = 35, то n - k + 30 = 83 - 35 + 30 = 78.

37. 4а - 25 ∙ n; якщо n = 3, а = 120, то 4 ∙ 120 – 25 ∙ 3 = 405.

38. 80 ∙ 2 + 2v; (160 + 2v) км — відстань між містами.

39. d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... n; d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120; d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040;

d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ... 10, добуток закінчується двома нулями;

d = 1 ∙ 2 ∙ 3 ... 100, добуток закінчується 24 нулями.

40. х² + 5; найменше значення виразу: 5; х² - 3; найменше значення виразу: -3.

41. Найбільше значення виразу 1 - а²; 1; найбільше значення виразу -3 - а²; -3.

42. 9n + 2; 23 числа.

43. m = 6n + 5.

44. х м² площа першої ділянки, 1,7x² площа другої ділянки: 1,7x - х = 350; 0,7x = 350; х = 350 : 0,7; x = 500.

500 м² площа першої ділянки; 850 м² площа другої ділянки; 500 + 850 = 1350 (м²) площа обох ділянок; 1350 ∙ 20 = 27000 г = 27 кг.

Відповідь: 27 кг.

47. Розкрийте дужки: а) 4 ∙ (а + 2b) = 4а + 8b;

б) (а + b - с)3 = 3а + 3b - 3с;

в) 5(а - 1) - (b - с) = 5а - 5 - b + с.

48. а) 2х + (у - 3); 2x - (-у + 3);

б) а – 3b + 4 = а + (-3b + 4); а – 3b + 4 = а - (3b - 4);

в) m + n - 7 - mn = m + n + (-7 - mn) = m + n - (7 + mn).

49. Після кожного ходу кількість букетів збільшується на 1. Усього є 32 троянди, то, маючи 2 букети, одержати 32 букети з однієї троянди можна за 32 - 2 = 30 (ходів). Парні ходи робить принц. Перемогла Попелюшка.

50. а) 5 + 6x = 6x + 5; тотожно рівні вирази;

б) а ∙ 5b = 5ab; тотожно рівні вирази;

в) а – b і b - а — не є тотожно рівними виразами.

51. а) аb + 2 = 2 + аb, так; б) а – 1 = -1 + а, так; в) 2(а - 3) = 2а - 3, ні.

52. a) x + 4x = 4x + x; б) x + 4x = 5x; в) x + 4x - 2 = 5x - 2.

53. -2b - (a – 3b) + 5a = -2b - a + 3b + 5a = -2b + 3b - a + 5a = (-2 + 3) ∙ b + (-1 + 5) ∙ a = b + 4a; винесення множника за дужки; розкриття дужок; зведення подібних доданків.

63. а) 4(1 - х) + 6х = 8; 4 - 4х + 6х = 8; -4х + 6х = 8 - 4; 2х = 2; х = 2 : 2; х = 1.

Відповідь: 1.

б) 7х - 2(х + 4) = -3; 7х - 2х - 8 = -3; 7х - 2х = -3 + 8; 5х = 5; х = 5 : 5; х = 1.

Відповідь: 1.

64. а) 5х + 3(х - 4) = 4; 5х + 3х - 12 = 4; 5х + 3х = 4 + 12; 8х = 16; х = 16 : 8; х = 2.

Відповідь: 2.

б) х - (8 - 3х) = 20; х - 8 + 3х = 20; 4х = 20 + 8; 4х = 28; х = 28 : 4; х = 7.

Відповідь: 7.

65. Нехай ширина прямокутника a см, тоді довжина (а + 3) см. Периметр прямокутника: 2а + 2(а + 3) = 2а + 2а + 6 = 4а + 6.

66. Периметр трикутника: b + b + 5 = 2b + 5 (см).

67. Нехай на одній полиці п книжок, тоді на другій полиці n ∙ 1,5 = 1,5n.

На обох полицях n + 1,5n = 2,5n (книжок).

68. На одній полиці k книжок, на другій k - 12. На обох полицях k + k - 12 = 2k - 12 (книжок).

69. Один робітник виготовляє за годину с деталей, а другий (с - 2) деталі. За 8 годин обидва робітники виготовлять 8 ∙ (с + с - 2) деталі; 8 ∙ (c + с - 2) = 8(2с - 2) = 16с - 16.

Відповідь: 16с - 16.

Тотожність доведено.

8b = 8b. Тотожність доведено.

Тотожність доведено;

Тотожність доведено.

Відповідь: 1.

Відповідь: 2.

Відповідь: -3.

Відповідь: 1/2.

78. Перший лижник пробіг а м, другий (а - b) м, а третій — 1200 м;

а + 1200 - (а - b) = а + 1200 - a + b = (1200 + b) м.

Відповідь: 1200 + b.

79. На першій полиці було х книжок, а на другій — 2х книжок. На першій полиці стало (х - 10) книжок, а на другій полиці стало (2х + 3) книжок.

х - 10 + 2х + 3 = (3х - 7) книжок стало на полицях.

Відповідь: 3х - 7.

80. а) (11m + 3n) - (7m + 7n) = 11m + 3n – 7m – 7n = 4m – 4n = 4(m - n) — ділиться на 4;

б) (10m + 3n + 2) + (2m – 7n + 6) = 10m + 3n + 2 + 2n – 7m + 6 = 12m – 4n + 8 = 4(3m - n + 2) ділиться на 4.

81. n, n + 1, n + 2 — три послідовні цілі числа;

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) ділиться на 3.

82. n, n + 1, n + 2, n + 3 — чотири послідовних цілих числа.

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 — не ділиться на 4.

83. Число 4n + 2 при діленні на 4 дає в остачі 2.

(4n + 2) + (4n + 2) = 8n + 4 = 4(2n + 1) їх сума ділиться на 4;

4n + 2 – 4n - 2 = 0 їх різниця ділиться на 4.

ділиться на 11.

ділиться на 9.

86. 3n + m — число дає в остачі т при діленні на 3.

6n + m — число дає в остачі т при діленні на 3.

6n + m - (3n + m) = 6n + m – 3n - m = 3n — ділиться на 3.

88. а) (х - 7)(х + 9) = 0; х - 7 = 0; х = 7 або х + 9 = 0; х = 0.

Відповідь: 7; -9.

б) |х| = 5; х = 5 або х = -5.

Відповідь: 5; -5.

в) |х + 5| = -2; коренів немає.

89. 69,6% = 0,696; 174 : 0,696 = 250 (т) маса літака.

90. Чоловік мав пройти відстань від станції до села за 1 годину 24 хвилини. З них він йшов пішки 24 хвилини, 5 хвилин їхав на автомобілі і прибув у село раніше на 55 хвилин.

Нехай швидкість пішохода х км/год, а швидкість автомобіля (х + 55) км годину. Відстань від станції до села Пішки він пройшов 2/5х км, на автомобілі проїхав 1/12(x + 55) км.

Рівняння: 24х + 5х + 275 = 84х; 29х - 84х = -275; 55x = 275; x = 275 : 55; x = 5.

5 км/год швидкість пішохода;

5 + 55 = 60 км/год — швидкість автомобіля.

Відповідь: 60 км/год.

91. Імовірність того, що серед вибраних куль є куля з номером 1 дорівнює 1/2.

92. а) (3 + 3) ∙ 3 = 18; б) 3³ : 3 = 27 : 3 = 9; в) 3 : 3 + 3 = 4; г) 3³ ∙ 3 = 27 ∙ 3 = 81; д) 3 ∙ (3 - 3) = 0.

93. 7 намист; чорні перлини можуть бути поруч, а можна ставити через одну, через 2, через 3 і т. д.

94. а) 2,5 - а; б) с³; в) 2(а + b); г) m² + n²; д) а - bс.

95. S/75 годин автомобіль був у дорозі.

96. 2а + 3b.

97. Площа першої ділянки: mn. Площа другої ділянки: (m + 5) ∙ (n - 2).

Якщо m = 50, n = 14, то (50 + 5) ∙ (14 - 2) = 55 ∙ 12 = 660 (м²).

106. За перший день магазин продав b кг цукру, за другий день (b + 58) кг, за третій день (b + 58 - 12) кг. Затри дні магазин продав: b + (b + 58) + (b + 58 - 12) = b + b + 58 + b + 58 - 12 = (3b + 104) кг цукру.

107. У 7-А класі n учнів, у 7-Б класі (n - 5) учнів, у 7-В класі (n + 3) учні. Кількість учнів у трьох класах: n + (n - 5) + (n + 3) = n + n - 5 + n + 3 = 3n - 2.

108. Мотоцикліст до зустрічі проїхав 54t км. Автомобіль до зустрічі проїхав 72(t - 0,5) км.

Відстань між містами: 54t + 72(t - 0,5) = 54t + 72t - 36 = 126t - 36.

109. Перший екскаватор вирив x м траншеї або 2/9 всієї траншеї.

Отже, вся траншея становить 9/2x м.

Другий екскаватор вирив (x + 20) м траншеї. Третій екскаватор вирив:

м траншеї.

110. 4n + 1; 4n + 3.

111. Три цілі числа при діленні на 3 дають різні остачі: 3n + 1; 3n + 2; 3n + 0.

3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 0 = 9n + 3 = 3(3n + 1) — ділиться на 3.

Завдання для самоперевірки № 1

Рівень 1

Рівень 2

якщо

Рівень 3

12. У першій книжці а сторінок; у другій книжці (а - b) сторінок. У третій книжці 2(а - b) сторінок. У трьох книжках а + (а - b) + 2(а - b) = а + а - b + 2а – 2b = (4а – 3b) сторінок.

Вирази тотожно рівні.

Рівень 4

15. На першій полиці а книжок, на другій — 3а книжок, на третій а + 3а - 17 = (4а - 17) книжок. На трьох полицях; а + 3а + (4а - 17) = а + 3а + 4а - 17 = (8а - 17) книжок.

16. а = 5n + 4; b = 4n + 2; 4а + 5b = 4(5n + 4) + 5(4n + 2) = 20n + 16 + 20n + 10 = 40n + 26 не ділиться на 10.

17. —трицифрове число;

ділиться на 3.