Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» В. Кравчука 7 клас - 2015 рік

Розділ І. Цілі вирази

§ 3. Многочлени

220. а) с2 + 4с - 2, 2-га степінь; б) x + y + 1, 1 степінь; в) х - 1 степінь; г) bс + 3, друга степінь.

226. а) якщо а = 2, то 2а2 + 3а – 2 = 2 ∙ 22 + 3 ∙ 2 - 2 = 8 + 6 - 2 = 12;

б) якщо x = -1,1, то 3x - х2 + 1 + 2x2 3x = х2 + 1 = (-1,1)2 + 1 = 1,21 + 1 = 2,21;

в) якщо а = -0,5; 6 = 4, то 5ай - а2 + + 4ай + а2 = 9ай = 9 х (-0,5) х 4 = -18.

227. а) 4x2 + 9x – 4x + 2 = 4x2 + 5x + 2 = 4 22+ 5 ∙ 2 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28;

б) 2bс + 2,5bс - 3 – 5bс, якщо b = 1,5; с = -4;

-3 - 0,5bс = -3 - 0,5 ∙ 1,5с ∙ (-4) = -3 - 0,5 ∙ 1,5 ∙ (-4) = -3 + 3 = 0.

234. 4x2 + 2x + 11, не існують.

235. Нехай x = n, n — ціле число, при якому значення многочлена дорівнює нулю, тоді n5 – 6n2 + 1 = 0 правильна рівність, якщо n = 1, n = -1 рівність неправильна.

ділиться на 11.

238. а) 0,12 ∙ 20 = 2,4 (кг); 20 - 2,4 = 17,6 кг смажених зерен;

б) 22 : 0,82 = 25 (кг) свіжих зерен.

239. х км/год — швидкість човна у стоячій воді;

(x + 2,4) км/год — швидкість човна за течією;

(х - 2,4) км/год — швидкість човна проти течії;

2,5(х + 2,4) + 2(х - 2,4) = 84; 2,5х + 6 + 2х - 4,8 = 84; 4,5х = 82,8; х = 82,8 : 4,5; х = 18,4.

Відповідь: 18,7 км/год — власна швидкість човна.

240. Не зможе. Кількість стрибків непарна, кенгуру не зможе повернутися у початкову точку.

Відповідь: 4/5.

Відповідь: -2.

Відповідь: 1/2.

Відповідь: -0,8.

Відповідь: 2.

Відповідь: -1,75.

Відповідь: -1,2.

Відповідь: 4.

260. а) (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 6n + 12 = 6(n + 2) — ділиться на 6;

б) (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2) — ділиться на 8.

261. В класі дівчаті тих, хто розв’язав задачу порівну.

266. 4 : 0,16 = 25 (ц) цукру.

267. Нехай х — команда, яка програла найбільше матчів. Деяку команду у вона перемогла, команда у перемогла деяку команду z. Знайдеться матч, у якому перша перемогла другу, друга перемогла третю, а третя перемогла першу.

Відповідь: -1.

Відповідь: 2,5.

Відповідь: -0,75.

Відповідь: 6.

Відповідь: 1.

Відповідь: 2,4.

Відповідь: 5.

Відповідь: 0,7.

Відповідь: -15.

Відповідь: 2.

Відповідь: 3.

Відповідь: 2.

Відповідь: 1.

Відповідь: 1,5.

289. х + у = 10; ху + x2 = 15; x(x + у) = 15; х 10 = 15; x = 1,5; у = 10 - 1,5 = 8,5.

Відповідь: 1,5; 8,5.

290. Ширина прямокутника x см; довжина прямокутника 2,4x см. Площа прямокутника 2,4x2. Якщо ширина (x + 2) см, то площа (x + 2) ∙ 2,4x.

(x + 2) ∙ 2,4x - 2,4x2 = 24; 2,4x2 + 4,8x - 2,4x2 = 24; 4,8x = 24; x = 24 : 4,8; x = 5.

Ширина: 5 см; довжина 2,4 ∙ 5 = 12 (см); площа: 5 ∙ 12 = 60 (см2).

Відповідь: 60 см2.

291.

Перша ділянка

Друга ділянка

Третя ділянка

довжина

2x м

(2x + 4) м

2x м

ширина

x м

x м

(x + 4) м

площа

2x2 м2

x(2x + 4) м2

2x(x + 4) м2

x(2x + 4) + 40 = 2x(x + 4); 2x2 + 4x + 40 = 2x2 + 8x; 4x – 8x = -40; -4x = -40; x = 10.

Ширина: 10 м; довжина: 20 м; площа: 10 ∙ 20 = 200 м2.

Відповідь: 200 м2.

295. Хлопців було більше на 5, ніж дівчат. 50k : 10k = 5.

296. Після першого відливання і доливання води в 1 л суміші спирту. В банці залишилося:

297. Швидкість першого автомобіля х км/год, а швидкість другого автомобіля (х + 15) км/год.

1,5х = 1,2(х + 15); 1,5х = 1,2х + 18; 1,5х - 1,2х= 18; 0,3х = 18; х = 18 : 0,3; х = 60.

1,5 60 = 90(км) відстань між містами.

Відповідь: 90 км.

298. Швидкість фургона х км/год, швидкість автомобіля 1,2х км/год.

1,2х ∙ 2,5 = 2,5х + 30; 3х - 2,5х = 30; 0,5х = 30; х = 30 : 0,5; х = 60.

602,5 + 30 = 180 (км).

Відповідь: відстань між містами 180 км.

299. Нехай було х піратів, якби на 10 менше піратів, то їх було б (х - 10).

1,2(х - 10) = х; 1,2х - 12 = х; 1,2х - х = 12; 0,2х = 12; х = 12 : 0,2; х = 60.

Відповідь: 60 піратів.

300. a) (a - b)(2a + b); б) (2a + 3b)(2a – 3b).

301. За 3 задачі учень може отримати такі набори оцінок: 000; 100; 200; 020; 120; 220 ... 246. Кількість таких наборів 27, а учнів 28, отже, обов’язково знайдуться 2 учні, які одержать однакові оцінки.

Відповідь: 5.

Відповідь: 0,6.

Відповідь: 4.

Відповідь: 1.

Відповідь: 1,8.

Відповідь: 2.

Відповідь: -1.

Відповідь: 2.

Відповідь:

Відповідь: 4.

Відповідь: х — будь-яке число.

ділиться на 14.

ділиться на 10.

ліва частина і права рівні, тотожність доведено;

ліва частина і права — рівні вирази.

326. n; (n + 1); (n + 2) — три послідовні цілі числа;

Відповідь: 3; 4; 5.

327. Нехай ширина прямокутника x см, тоді довжина 1,8x см, а площа 1,8x2 см2. Якщо довжина прямокутника (1,8x + 3)см, а ширина (х - 2)см, то площа: (1,8x + 3)(x - 2) см2;

1,8x2 = (1,8x + 3)(x - 2) + 9; 1,8x2 = 1,8x2 - 3,6x - 6 + 9; 0,6x = 3; x = 3 : 0,6; x = 5.

Ширина 5 см, довжина 1,8 ∙ 5 = 9 (см).

Відповідь: 5 см; 9 см.

328. Ширина прямокутника x см, довжина (x + 4) см, площа x(x + 4) см2. Якщо довжина (x + 4 - 1) см = (x + 3) см, ширина (x + 2) см, то площа (x + 3)(x + 2).

(x + 3)(x + 2) = x(x + 4) + 10; x2 + 3x + 2x + 6 = х2 + 4x + 10; x = 4.

Ширина 4 см, довжина 8 см.

Відповідь: 4 см, 8 см.

Ліва частина дорівнює правій, тотожність доведена;

ділиться на 6;

ділиться на 4.

333. n; n + 1; n + 2; n + 3 — чотири послідовні цілі числа;

n(n + 3) = n2 + 3n; (n + 1)(n + 2) = n2 + 2n + n + 2 = n2 + 3n + 2; (n + 1)(n + 2) > n(n + 3).

Відповідь: більше на 2.

334. x м — довжина першої ділянки; (x - 2) м — довжина другої ділянки; у м — ширина першої ділянки; (у + 1) м — ширина другої ділянки; ху — площа першої ділянки; (x - 2)(у + 1) — площа другої ділянки.

(x - 2)(у + 1) = ху + x - 2у - 2; ху = ху + x - 2у - 2; х - 2у - 2 = 0; x = 2у + 2; x = 2(у + 1), що й треба довести.

335. Сума коефіцієнтів многочлена стандартного вигляду дорівнює значенню цього многочлена при x = 1.

336. 992 способами можна розсадити учнів за цими партами.

337. х км/год — швидкість течії. Швидкість човна за течією (х + 15) км/ год; швидкість човна проти течії (15 - x) км/год. 3(15 - x) км — відстань, яку пройшов човен проти течії; 2(х + 15) км — відстань, яку пройшов човен за течією.

3(15 - x) + 2(х + 15) = 72; 45 - 3х + 2х + 30 = 72; -х = -3; х = 3.

Відповідь: 3 км/год швидкість течії річки.

338. Від пристані А до В катер витратив t годин, а від В до A (t + 1/3) год. Нехай відстань між пристанями х км.

19,2 - 2,4 = 16,8 (км/год) — швидкість проти течії, 19,2 + 2,4 = 21,6 (км/год) швидкість за течією. x/16,8 годин витратив катер за течією, x/21,6 годин — витратив катер на шлях проти течії. Рівняння:

21,6 ∙ 3 ∙ х - 16,8 ∙ 3 ∙ x = 16,8 ∙ 21,6; 4,8x = 120,96; x = 120,96 : 4,8; x = 25,2.

Відповідь: 25,2 км.

341. Ні, не можна, при вказаних ходах парність кількості чисел, які стоять догори дном, не змінюється.

354. а) якщо x = 2,5, то x3 - 1,5x2 = x2(x - 1,5) = 2,52 ∙ (2,5 - 1,5) = 6,25 ∙ 1 = 6,25;

б) ху + у2 = у(х + у) = 10,3 ∙ (10,3 - 0,3) = 10,3 ∙ 10= 103.

355. а) якщо а = 1,4, то 2,4а2 - а3 = а2(2,4 - а) = 1,42 ∙ (2,4 - 1,4) = 1,96;

б) якщо m = 2,8; n = 7,2, то m2 + mn = m(m + n) = 2,8 ∙ (7,2 + 2,8) = 2,8 ∙ 10 = 28.

356. а) x2 – 5x = 0; x(x - 5) = 0; x = 0 або x - 5 = 0; x = 5.

Відповідь: 0; 5.

б) 5x2 + 15x = 0; 5x(x + 3) = 0; x = 0 або x + 3 = 0; x = -3.

Відповідь: 0; -3.

357. а) х2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0; x = -2.

Відповідь: 0; -2.

б) 4x – 2x2 = 0; 2x(2 - x) = 0; а = 0 або 2 - x = 0; x = 2.

Відповідь: 0; 2.

якщо x = 3, у = 0,5, то

364. a) 4у + 0,2у2= 0; y(4 + 0,2y) = 0; y = 0 a6o 4 + 0,2y = 0; 0,2y = -4; y = -4 : 0,2; у = -20.

Відповідь: 0; -20.

б) 0,6x2 - 0,24x = 0; x(0,6x - 0,24) = 0; x = 0 або 0,6x - 0,24 = 0; 0,6x = 0,24; x = 0,4.

Відповідь: 0; 0,4.

або

Відповідь: 0; 2/5.

365. a) 0,4x - 2x2 = 0; x(0,4 - 2x) = 0; x = 0; 0,4 - 2x = 0; 2x = 0,4; x = 0,2.

Відповідь: 0; -0,2.

б) 1,5x2 + 0,3x = 0; x(1,5 + 0,3) = 0; x = 0; 1,5x = -0,3; x = -0,2.

Відповідь: 0; -0,2.

Відповідь:

366. a) 198 - 197 = 197 ∙ (19 - 1) = 197 ∙ 18 — ділиться на 18;

б) 499 + 4910 = 499 ∙ (1 + 49) = 499 ∙ 50 — ділиться на 50;

в) 3 ∙ 76 - 75 = 75 ∙ (3 ∙ 7 - 1) = 75 ∙ 20 — ділиться на 20;

г) 310 + 2 ∙ 312 + 311 = 310 ∙ (1 + 2 ∙ 32 + 3) = 310 ∙ (1 + 18 + 3) = 310 ∙ 22 — ділиться на 22.

367. а) 119 + 118 = 118 ∙ (11 + 1) = 118 ∙ 12 — ділиться на 12;

б) 512 - 2 ∙ 510 = 510 ∙ (52 - 2) = 510 ∙ 23 — ділиться на 23.

369. a) 15 ∙ 167 - 414 = 15 ∙ 414 - 414 = 414 ∙ (15 - 1) = 414ділиться на 4;

б) 3 ∙ 215 + 212 - 214 = 212 ∙ (3 ∙ 23 + 1 - 22) = 212 (3 ∙ 8 + 1 - 4) = 212 21 — ділиться на 21.

ділиться на 1001.

372. 17500,16 = 280; 280 - 4 = 276(м).

Відповідь: 276 м.

373. х км — шлях, який мав проїхати автомобіль. x/70 годин витратив автомобіль, рухаючись із швидкістю 70 км/год. x/75 годин витратив автомобіль, рухаючись із швидкістю 75 км/год.

Відповідь: 350 км.

376.

Стовпців 10, сума чисел 10; в стовпці: 10 ∙ 10 = 100 сума всіх чисел.

Рядків 5, сума чисел в ряду 5 ∙ 30 = 150.

Відповідь: ні, не можна.

386. a) p3 + pq2 - p2q - q3 = p(p2 + q2) - q(p2 + q2) = (p2 + q2)(p - q); якщо p = 1,5; q = 0,5, TO (1,52 + 0,52) ∙ (1,5 - 0,5) = (2,25 + 0,25) ∙ 1 = 2,5;

б) 2а3 - 6аb + a2b – 3b2 = 2a(a2 – 3b) + b(a2 – 3b) = (a2 – 3b)(2a + b); якщо a = 8; b = 21, TO (82 - 3 ∙ 21) ∙ (2 ∙ 8 + 21) = (64 - 63) ∙ (16 + 21) = 1 ∙ 37 = 37;

в) 4X3 + 4x2y 4x2 + 3у3 + 3ху2 - 3у2 = 4x2(x + у - 1) + 3у2(х + у - 1) = (x + у - 1)(4x2 + 3y2); якщо x = 2/7; у = 5/7, то

387. а) 2а2 + ас - 2аc2 - с3 = а(2а + с) - с2(2а + с) = (2а + с)(а - с2); якщо а = 17, с = 4, то(2 17 + 4) (17 - 16) = 38 1 = 38;

б) m3 + m2n – 10m + n3 + n2m – 10n = m2(m + n) + n2(m + n) - 10(m + n) = (m + n)(m2 n2 - 10); якщо m = 1/3; n = 2/3, то

388. а3 - а2 + b3 - b2 + а2b + b2а = (а2 + b2) (а + b - 1).

389. x3 - x2 + 3x - 3 = x2(x - 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + 3), при x > 1 многочлен набуває додатніх значень.

390. 3x3 - 9x2 + 4x - 12 = 3x2(x - 3) + 4(х - 3) = (x - 3)(3х2 + 4). Якщо х > 3, то значення многочлена додатні. Якщо х < 3, значення многочлена від’ємні.

Відповідь: 1; 2.

Відповідь: -5; -3.

Відповідь: 0; -2.

Відповідь: 1; 2; 3; 4.

Відповідь: 1; 5.

396.

Було

Стало

І полиця

x кн..

x – 1/4x

II полиця

(95 - х) кн.

95 - х + 1/4х

Стало на 5 книжок більше.

Нехай на першій полиці було х книжок, а на другій (95 - х) книжок.

60 книг було на першій полиці спочатку, а 35 книг було на другій полиці спочатку.

Відповідь: 60 книг, 35 книг.

397.

Врожайність

Площа

Зібрали врожаю

Перша ділянка

(х - 1,5) т

63 га

63(x – 5)

Друга ділянка

x т

53 га

53х

В рази більше зібрано.

28 т врожайність картоплі на другій ділянці, а 26,5 т — врожайність картоплі на першій ділянці.

Відповідь: 28 т; 26,5 т.

398. а) сума чисел діб; б) різниця чисел а і b; в) різниця квадратів чисел а і b; г) добуток різниці чисел на їх суму.

399. Якщо розбити учнів на 5 пар, у кожній з них — два учні, які сидять один навпроти одного.

400. а) 4а2 - 3а + 1 + а2 - 5а + 7 = 5а2 - 8а + 8; друга степінь;

б) 2х3 + 2 - 2х3 + 5х - 3 + 3x2 = 3х2 + 5х - 1; друга степінь;

в) 3aba - 2а2b + b2а2 + ab =2b - 2а2b + b2а2 + 4а2b = 5а2b + а2b2; четверта степінь;

г) х2у - ху2 + 2х - 6ху ∙ (-х) - 3х = х2у - ху2 + 2х + 6х2у = 7х2у - ху2 + 2х; третя степінь.

ліва частина дорівнює правій; тотожність доведено;

тотожність доведено;

тотожність доведено;

тотожність доведено.

407. a) 4x(2x + 1) - 8x2 = -4; 8x2 + 4x - 8x2 = -4; 4x = -4; x = -1.

Відповідь; -1.

6) (x + 3)(x - 1) + 6 = x2; x2x + 3x - 3 + 6 = x2; 3x - x = 3 - 6; 2x = -3; x = -1,5.

Відповідь: -1,5.

408. (3n + 1)(2n - 1) + n + 7 = 6n2 – 3n + 2n - 1 + n + 7 = 6n2 + 6 = 6(n2 + 1) — ділиться на 6.

409. (5х + 1)(5х + 3) - 5х(5х + 4) = 25х2 + 15x + 5х + 3 - 25х2 - 20х = 3.

410. Довжина прямокутника x см.Ширина прямокутника (12 - х) см. Площа прямокутника х(12 - х) см2. Якщо довжина прямокутника (х + 3)см, а ширина прямокутника 12 - х - 2 = (10 - x) см, то площа прямокутника (х + 3)(10 - х) см2.

Рівняння: х(12 - х) = (х + 3)(10 - х) + 5; 12х - х2 = 10х - х2 + 30 - 3х + 5; 12х - 10х = 30 + 5; 5х = 35; х = 7.

Довжина прямокутника 7 см, ширина 5 см.

Відповідь: 7 см; 5 см.

Відповідь: 0,6.

б) (2|х| - 3)(3|х| + 2) = (2|х| + 1)(3|х| - 2). Нехай |х| = у, у ≥ 0.

Рівняння не має коренів.

Відповідь: -1.

415. а) у3 - 3у = 0; у(у - 3) = 0; у = 0 або у - 3 = 0; у = 0 або у = 3.

Відповідь: 0; 3.

б) х2 + 2х = 0; х(х + 2) = 0; х = 0 або х - 2 = 0; х = 0 або х = -2.

Відповідь: 0; -2.

в) 0,8х2 + 2х = 0; х(0,8х + 2) = 0; х = 0 або 0,8х + 2 = 0; 0,8х = -2; х = -2 : 0,8; х = -2,5.

Відповідь: 0; -2,5.

адже

Відповідь:

416. а) х2 - 5х + 6 = 0; х2 - 2х - 3х + 6 = 0; х(х - 2) - 3(х - 2) = 0; (х - 2)(х - 3) = 0; х - 2 = 0 або х - 3 = 0; х = 2 або х = 3.

Відповідь: 2; 3.

б) у2 + 4у + 3 = 0; у2 + у + 3у + 3 = 0; у(у + 1) + 3(y + 1) = 0; (у + 1)(y + 3) = 0; у + 1 = 0 або у + 3 = 0; у = -1 або у = -3.

Відповідь: -1; -3.

417. а) bс + с2 – 5b - 5с = с(b + с) - 5(b + с) = (b + с)(с - 5).

Якщо b = 3,6; с = 1,4, то (3,6 + 1,4) ∙ (1,4 - 5) = 5 ∙ (-3,6) = -18.

б) m2 - mn – 4m + 4n = m(m - n) - 4(m - n) = (m - n)(m - 4).

Якщо m = 12,5; n = 2,5, то (12,5 - 2,5) ∙ (12,5 - 4) = 10 ∙ 8,5 = 85.

в) 4ау - 4ах - 2х + 2у = 2а(у - х) + 2(у - х) = (у - х)(4а + 2).

Якщо а = -2; x = -0,01; у = -6,99, то (-6,99 - 0,01) ∙ (3 ∙ (-2) + 2) = -7 ∙ 6 = -42.

418. а) 314 - 312 = 312(32 - 1) = 312(9 - 1) = 312 ∙ 8 ділиться на 8;

б) 498 + 3 ∙ 715 - (72)8 + 3 ∙ 715 = 716 ∙ 3 ∙ 715 = 715(7 + 3) = 715 ∙ 10 ділиться на 10.

ділиться на 219.

420. Якщо х + y = 1, то

Відповідь: 1/2.

Завдання для самоперевірки № 3

Рівень 1

Рівень 2

10. Якщо а = 7,5, то 2,5а + а2 = а(2,5 + а) = 7,5 (2,5 + 7,5) = 7,5 10 = 75.

11. а) x - 2х2 = 0; х(1 - 2х) = 0; х = 0 або 1 - 2х = 0; -2х = 1; x = 1/2.

Відповідь: 0; 1/2.

б) 2х2 + 8х = 0; 2х(х + 4) = 0; 2х = 0 або х + 4 = 0; х = 0 або х = -4.

Відповідь: 0; -4.

Рівень 3

Відповідь: 3.

Відповідь: 0; 1.

ділиться на 8.

Рівень 4

Відповідь: -6.

Відповідь: 3/5; -3/5.

21. Нехай ширина другого прямокутника x CM, тоді довжина першого прямокутника (9 - х) см, а площа — х(9 - х) см2. Ширина другого прямокутника (х + 2) см, а довжина — 9 - (х + 2) = (7 - х) см. Площа другого прямокутника (х + 2)(7 - х) см2. Рівняння:

(х + 2)(7 - х) = х(9 - х) + 6; 7х - х2 + 14 - 2х = 9х - х2 + 6; 7х - 2х - 9х = 6 - 14; -4х = -8; х = -8 : (-4); х = 2.

2 см — ширина другого прямокутника;

9 – 2 = 7 (см) — довжина; площа — 2 ∙ 7 = 14 (см2).

4 см - ширина другого прямокутника; 5 см його довжина, а площа 4 ∙ 5 = 20 (см)2.

Відповідь: 14 см2; 20 см2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити