Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

§ 11. Середня лінія трапеції, її властивості

Середня лінія трапеції — відрізок, який з’єднує середини бічних сторін. MN — середня лінія.

Властивості середньої ліні: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі:

320. Дано: ΔABCD — трапеція, MN = 20 см — середня лінія. 1) AD > ВС на 8 см; 2) ВС < AD у 4 рази; 3) AD : ВС = 3 : 2.

Знайти: ВС, AD.

Розв’язання.

1) Нехай ВС = х см,

2) нехай ВС = х см,

Відповідь: 1) 16 см, 24 см; 2) 16 см, 24 см; 3) 24 см, 16 см.

321. Дано: ABCD — трапеція, MN = 16 CM — середня лінія. 1) ВС < AD на 2 см; 2) AD > ВС у 3 рази; 3) ВС : AD = 3 : 5.

Знайти: ВС, AD.

Розв’язання. Середня лінія дорівнює півсумі основ.

1) Нехай ВС = х см, тоді

2) нехай ВС = х см;

3) нехай одна частина х см, тоді

Відповідь: 1) 15 см, 17 см; 2) 8 см, 24 см; 3) 24 см, 40 см.

322. Дано: ABCD — трапеція, MN — середня лінія, в BD ∩ MN = т. К.

Довести: ВК = KD.

Доведення. MN — середня лінія трапеції, AM = MB, CN = ND, MN || AD, тоді MK — середня лінія ΔABD, тому ВК = KD. Доведено.

323. Дано: ABCD — трапеція, АВ = 7 см, CD = 9 см, MN = 7 см — середня лінія.

Знайти: РАВСD.

Розв’язання.

Відповідь: 36 см.

324. Дано: ABCD — трапеція, АВ = 10 см, CD = 12 см, РАВСD = 52 см.

Знайти: MN.

Розв’язання. PABCD = АВ + CD + ВС + AD;

Відповідь: 20 CM.

325. 1) Hi; 2) ні; 3) ні; ні.

326. Дано: ABCD — трапеція, EF — середня лінія, BD ∩ EF = т. N; EN = 5 CM; NF = 3 CM.

Знайти: BC, AD.

Розв’язання. EF — середня лінія ABCD, EF || BC, EF || AD, тоді N — середина BD. EN — середня лінія ΔABD, AD = 2 ∙ EN = 2 ∙ 5 = 10 CM, NF — середня лінія ΔBCD, BC = 2 ∙ NF = 2 ∙ 3 = 6 см.

Відповідь: 6 CM, 10 CM.

327. Дано: ABCD — трапеція, MN — середня лінія, MN ∩ AC = T. K, BC = 12 CM, AD = 18 CM.

Знайти: MK, KN.

Розв’язання. MN — середня лінія ABCD, MN || BC, MN || AD, тоді MK — середня лінія ΔABC, KN — середня лінія ΔACD.

Відповідь: 6 CM, 9 CM.

328. Дано: ABCD — трапеція, ВС = 12 см, AD = 30 CM, АЕ = ЕВ, AT = ТЕ, ТК || AD, EN || AD.

Знайти: EN, ТК.

Розв’язання. Е — середина АВ, EN || AD, тоді EN — середня лінія ABCD.

Т — середина AE, ТК || AD, ТК — середня лінія AEND,

Відповідь: 25,5 см.

329. Дано: ABCD — трапеція, М ∈ АВ, AM = MB, N ∈ MB, MN = NB, MK || AD, NL || AD, MK = 12 CM, NL = 8 см.

Знайти ВС і AD.

Розв’язання. NL — середня лінія трапеції MBCK,

ВС = 16 - 12; ВС = 4 см; МК — середня лінія трапеції ABCD,

Відповідь: 20 см.

330. Дано: ABCD — трапеція, AB = CD, ВH ⊥ AD, АH = 3 см, HD = 7 см.

Знайти: середню лінію.

Розв’язання. Проведемо СK ⊥ AD. ΔАВH = ΔDCK за гіпотенузою і гострим кутом, KD = АН = 3 см, ВС = НК = 7 - 3 = 4 см.

Середня лінія середня лінія

Відповідь: 7 см.

331. Дано: ABCD — трапеція, AB = CD, BC = 6 см, ВK ⊥ AD, AK = 4 см.

Знайти: середню лінію.

Розв’язання. Проведемо СH ⊥ AD, ΔАВK = ΔDСH за гіпотенузою і гострим кутом, АK = HD = 4 см, КН = BC = 6 см, AD = 6 + 8 = 14 см. Середня лінія середня лінія

Відповідь: 10 см.

332. Дано: пряма l, AD = 7 см, AM = MB, МN = 5 см.

Знайти: ВС.

Розв’язання. Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра, проведеного від цієї точки до прямої, тому АD ⊥ l, MN ⊥ l, ВС ⊥ l, отже, BN || MN || АD, отже, MN — середня лінія трапеції ABCD.

Відповідь: 3 см.

333. Дано: пряма а, МР ⊥ а, МР = 10 CM, NL ⊥ а, NL = 16 см. К ∈ MN, NK = KM, KR ⊥ а.

Знайти: KR.

Розв’язання. За умовою МР і NL — відстані від М і N до l відповідно, тому МР || NL, К — середина MN, KR ⊥ а, KR — середня лінія трапеції NMPL,

Відповідь: 13 см.

334. Дано: ABCD — трапеція, ВС = 6 см, AD = 14 см, MN — середня лінія, MN ∩ АС = Р, MN ∩ BD = Q.

Знайти: МР, PQ, QN.

Розв’язання. MN — середня лінія трапеції ABCD, тому MP — середня лінія ΔАВC, MP = 1/2ВС = 3 см; QN — середня лінія ΔBCD, QN = 1/2ВС = 3 см; MQ — середня лінія ΔABD, МQ = 1/2AD = 7 см.

PQ = MQ - МР = 7 - 3 = 4 см.

Відповідь: 3 см, 4 см, 3 см.

335. Дано: ABCD — трапеція, MN — середня лінія, АС ∩ MN = т. Р, BD ∩ MN = т. Q, МР = QN = 7 см, PQ = 8 см.

Знайти: ВС, DA.

Розв’язання. MN — середня лінія трапеції ABCD, МР — середня лінія трапеції ABCD, МР — середня лінія ΔABC, тоді ВС = 2МР = 2 ∙ 7 = 14 см. PN = PQ + QN = 7 + 8 = 15 см, PN — середня лінія ΔАСD, AD = 2PN = 2 ∙ 15 = 30 см.

Відповідь: 14 см, 30 см.

336. Дано: ABCD — трапеція, ∠А = 90°, ∠C = 135°, АВ = 6 см, АС ⊥ CD.

Знайти: середню лінію.

∠C = 135°, АС ⊥ CD за умовою, тоді ∠ACB = 45°, ΔABC — прямокутний, рівнобедрений, АВ = ВС = 6 см. Проведемо СН ⊥ AD, ΔАСН і ΔCHD — прямокутні, рівнобедрені, АН = СН = HD = 6 см, оскільки АН = ВС = 6 см. AD = 12 см, середня лінія середня лінія

Відповідь: 9 см.

337. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, АС — бісектриса ∠C, MN — середня лінія, АС ∩ MN = т. К, МК = 4 см, KN = 6 см.

Знайти: PABCD.

Розв’язання. MN || ВС, MN || AD, MN — середня лінія трапеції ABCD, тому МК — середня лінія ΔАВС, KN — середня лінія ΔACD. ВС = 2МК, ВС = 2 ∙ 4 = 8 см; AD = 2KN, AD = 2 ∙ 6 = 12 см. ∠CAD = ∠BCA як внутрішні різносторонні, a ∠ACD = ∠ACB, оскільки АС — бісектриса ∠C, ΔACD — рівнобедрений, AD = CD = 12 см. Трапеція рівнобічна, тому АВ = CD = 12 см. РABСD = 8 + 3 ∙ 12 = 44 см.

Відповідь: 44 см.

338. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, MN — середня лінія, MN ∩ АС = т. К, МК = 3 см, KN = 7 см.

Знайти: PABCD.

Розв’язання. MN — середня лінія трапеції ABCD, МК — середня лінія ΔАВС, ВС = 2МК, ВС = 2 ∙ 3 = 6 см, KN — середня лінія ΔАСD, AD = 2 ∙ KN, AD = 2 ∙ 7 = 14 см. ∠CAD = ∠BCA — внутрішні різносторонні, ∠BAC = ∠CAD, оскільки АС — бісектриса ∠A, ∠BAC = ∠BCA, тому ΔАВС — рівнобедрений, АВ = ВС = 6 см, АВ = CD = 6 см. РABCD = 3 ∙ 6 + 7 = 25 см.

Відповідь: 25 см.

339. Розв’язання.

Якщо чотирикутник вписаний у коло, то сума його протилежних кутів 180°, тому ∠N = 180° - 119° = 61°, ∠M = 180° - 37° = 143°.

Відповідь: 61°, 143°.

340. Розв’язання.

Якщо коло вписане у чотирикутник, то суми його протилежних сторін рівні.

АВ + CD = ВС + AD = 2а.

РABCD = 4а см.

Відповідь: 4а см.

341. Розв’язання.

Проведемо висоту СH.

У ΔDСH ∠CHD = 90°, ∠HCD = 30°, тоді HD = 1/2CD, HD = 4 см.

AH = 14 - 8 = 6 см, BC = AH = 6 CM.

Відповідь: 6 CM.

342. Розгортки квадрата

Домашня самостійна робота № 2

1 — Б; 2 — В; 3 — Б; 4 — Г; 5 — Б; 6 — А; 7 — В; 8 — Г; 9 — В; 10 — Б; 11 — А; 12 — Г.

Завдання для перевірки знань до § 6-11

Основи: МК, ЕР.

ME, КР — бічні сторони.

9. ∠CAD = ∠ВСА — внутрішні різносторонні, ∠CAD = ∠DCA.

У ΔACD AD = CD, AD = 2 ∙ KN, AD = 2 ∙ 9 = 18 CM, BC = 2 ∙ MK, BC = 2 ∙ 7 = 14 CM. AB = CD = 18 CM.

РABCD = 3 ∙ 18 + 14 = 68 CM.

За умовою ВК = KL = LM = MD.

AM ∩ ВС = F, AL ∩ ВС = Е, АК ∩ ВС = Р, BP = PE = EF = ЕС.

CF : FB = 1/4 : 4.

DK ⊥ АВ, DK < АВ на 15 см, DK = КВ = 1/4АВ, 4DK = АВ.

Нехай DK = х см, АВ = 4х.

4х – х = 15; 3х = 15; х = 15 : 3; х = 5.

DK = 5 см, АВ = 4 ∙ 5 = 20 см.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити