Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

Вправи для повторення розділу 1

До § 1

343. Вершини: A, N, С, N. Сторони: AM, МС, CN, AN. Кути: ∠А, ∠М, ∠С, ∠N.

344. 1) Ні; 2) ні, тому що сума кутів чотирикутника 360°.

345. α = (360° - 40° - 80°) : 2 = 120°.

346. ABCD, BCDA, CDBA, DCBA, CBAD, BADC.

347. Дано: ABCD — чотирикутник, ∠А на 10° > ∠В, ∠А на 50° < ∠С, ∠А у 2 рази < ∠D.

Знайти: ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

Розв’язання. Сума кутів чотирикутника 360°. Нехай ∠А = х°, ∠В = (x + 10)°, ∠С = (x + 50)°, ∠D = (2х)°. x + x + 10 + x + 50 + 2x = 360; 5x + 60 = 360; 5x = 360 - 60; 5x = 300; x = 60. ∠А = 60°, ∠В = 70°, ∠С = 110°, ∠D = 120°.

Відповідь: 60°, 70°, 110°, 120°.

348. Якщо у чотирикутника всі сторони рівні, то і всі кути рівні, кожен з них 360° : 4 = 90°, тому сума двох сусідніх кутів 90° + 90° = 180°. Доведено.

До § 2

350. ∠2 = ∠1 = 105° як відповідні.

351. У чотирикутника суми сусідніх кутів рівні, тому він — паралелограм. Доведено.

352. За умовою: BC = AD, ∠1 = ∠2 як внутрішні різносторонні, тому ВС || AD. Маємо: у чотирикутника 2 протилежні сторони паралельні і рівні, отже, він — паралелограм. Доведено.

1) Коло (О; R1) — перетинає а у т. А і С.

2) Коло (О; R2) — перетинає b у т. В і D.

3) ABCD — шуканий паралелограм.

354. Ні, тому що у паралелограмі сума сусідніх кутів ∠A + ∠В = 180°, а у трикутнику ∠Е + ∠N + ∠М = 180°.

355. Дано: ABCD — паралелограм, N ∈ ВС, BN = NC, М ∈ AD, AM = MD.

Довести: AN ∩ ВМ = т. О, BO = MO, AO = NO.

Доведення. За умовою BN = AM, BN || AM, тому ABNM — паралелограм. AN і ВМ — його діагоналі, які в точці перетину діляться навпіл. AN ∩ ВМ, AO = NO, BO = МО. Доведено.

Через кожну з точок проводимо пряму, паралельну прямій, яка проходить через інші 2 точки, і добудовуємо до паралелограма. 3 паралелограми: ABD1C, ABCD2, АВ3ВС.

357. Дано: ABCD — паралелограм, ВК і ВН — висоти.

Довести: ∠HBK = ∠A.

Доведення. Сума кутів чотирикутника 360°, ∠BKD = ∠BHD = 90°, ∠D + ∠KBH = 180°, a ∠D + ∠A = 180° (як сусідні), тому ∠A = ∠KBD. Доведено.

358. Дано: ABCD — паралелограм, BL, DK — бісектриси.

Довести: BL || DK або BL збігається з DK.

Доведення. BL збігається з DK, якщо ABCD — квадрат або ромб; ∠B = ∠D, KBL || LDK, тоді ∠BKD = ∠BLD; у чотирикутника BKDL протилежні кути рівні, тоді він — паралелограм, тому BL || KD. Доведено.

359. Дано: ABCD — паралелограм, ВН і ВК — висоти, АВ = CD = 8 см, ВС = AD = 20 см.

Знайти: ВН і ВК.

Розв’язання. За доведеним у задачі № 356 ∠C = ∠A = ∠HBK, ВН і ВК — катети, які лежать проти кутів 30°,

Відповідь: 4 см, 10 см.

360. Дано: AD = 5 см, АВ = 3 см — сторони, ВН = 4 см — висота.

Побудувати: ABCD — паралелограм.

Побудова:

1) Пряма l.

2) ВН ⊥ l, Н ∈ l.

3) Коло (В, R = АВ = 3 см), A ∈ l.

4) AD = 5 см. AD ∈ l.

5) Коло (В, R = DC = АВ = 3 см).

6) Коло (В, R = DC = AD = 5 см).

7) ВС || АВ.

8) CD || АВ.

9) АВСD — шуканий паралелограм.

До § 3

362. З умови діагоналі чотирикутника рівні, отже, він — прямокутник.

363. Дано: ABCD — прямокутник, AN — бісектриса, AN ∩ CD = т. N.

Знайти: ∠AND.

Розв’язання. ∠A = 90°, AN — бісектриса, тому ∠NAD = 45°. ΔAND — прямокутний, рівнобедрений, ∠NAD = ∠DNA = 45°.

Відповідь: 45°.

364. 1) Дано: АВ — сторона, АС — діагональ.

Побудувати: прямокутник ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) АВ ∈ l.

3) ВС ⊥ АВ.

4) Коло (A; R = АС).

5) т. С — точка перетину кола і ВС.

6) CD || АВ.

7) AD ⊥ АВ (або AD || ВС).

8) ABCD — шуканий прямокутник.

2) Дано: ∠A, АС — діагональ.

Побудувати: ABCD — прямокутник.

Побудова:

1) Пряма l.

2) ∠A із стороною l.

3) На іншій стороні ∠A відкладаємо АС.

4) СВ ⊥ l.

5) AD || ВС.

6) CD || АВ.

7) ABCD — шуканий прямокутник.

3) Дано: АС = BD — діагоналі, АС ∩ BD = т. О, ∠O — кут між діагоналями.

Побудувати: прямокутник ABCD.

Побудова:

1) Будуємо рівнобедрений трикутник за половиною діагоналі і кутом між цими половинами (ΔАОВ).

2) На l відкладаємо ОС = АО.

3) На ВО відкладаємо DO = ВО.

4) ABCD — шуканий прямокутник.

365. Дано: ABCD — прямокутник, AM — бісектриса, AM ∩ DC = т. М, DM = 5 CM, МС = 2 см.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. ∠MAB = ∠DAM (AM — бісектриса), ∠DMA = ∠MAB — внутрішні різносторонні, тоді ∠DAM = ∠DMA, ΔADM — рівнобедрений, AD = DM = 5 см. DC = АВ = 7 см.

РABCD = 2(AD + DC), РABCD = 2 ∙ (5 + 7) = 24 CM.

Відповідь: 24 CM.

366. Дано: ABCD — прямокутник, AC ∩ BD = T. O, ОМ ⊥ AD, ON ⊥ AB, ON > ОМ на 2 CM. РABCD = 56 CM.

Знайти: АВ, BC, CD, AD.

Розв’язання. ОМ = 1/2AB, ON = 1/2AD.

AB + AD = 56 : 2 CM = 28 CM, OM + ON = 14 CM.

Нехай OM = x CM, ТОДІ ON = x + 2 CM. x + x + 2 = 14; 2x + 2 = 14; 2x = 14 - 2; 2x = 12; x = 6 CM. OM = 8 CM, AB = 12 CM = CD, ON = 8 CM, BC = AD = 16 CM.

Відповідь: 12 CM, 12 CM, 16 CM, 16 CM.

367. Дано: ABCD — прямокутник, AH ⊥ BD, BD = a CM, BH : HD = 2 : 3.

Знайти: AB.

Розв’язання:

Відповідь: 1/2a.

Дано: 1) ABCD - прямокутник, 2) AL, DK — бісектриси, BL = 7 CM, LK = 2 CM.

Знайти: PABCD.

Розв’язання. AL і DK — бісектриси, ∠LAD = ∠BAL, ∠CDK = ∠АDK, ∠LAB = ∠BLA, ∠KDA = ∠CKD як внутрішні різносторонні. ΔABL i ΔCKD рівнобедрені, прямокутні, BL = AB, KC = CD.

Відповідь: 38 CM, 46 CM.

До § 4

Відповідь: 72°, 108°.

372. Дано: ABCD — ромб, AM і AN — висоти.

Довести: AM = AN.

Доведення. Розглянемо ΔAMD і ΔAND прямокутні, AD = АВ як сторони ромба, ∠ADM = ∠ABN як суміжні з рівними, ΔADM = ΔABN за гіпотенузою і гострим кутом, тому AM = AN.

373.

Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то паралелограм — ромб. Діагоналі ділять ромб на 4 рівних трикутники;

374. Дано: ABCD — ромб, ВН — висота, ВН ∩ АС = т. К, ∠BKA = 40°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. У ΔАКН ∠KHA = 90°, ∠HKA = 40°, ∠HAK = 90° - 40° = 50°, ∠CAD = ∠HAK = 50° як вертикальні, ∠A = ∠C = 100°, ZB = ∠D = 180° - 100° = 80°.

Відповідь: 100°, 100°, 80°, 80°.

375. Дано: ABCD — ромб, AH = 10 CM — висота, РABCD = 80 см.

Знайти: 1) ∠A, ∠B, ∠C, ∠D; 2) ∠HAC.

Розв’язання. РABCD = 80 см, тоді AB = BC = CD = AD = 80 : 4 = 20 CM.

У ΔABH AH — катет, який дорівнює половині гіпотенузи, тому ∠B = ∠D = 30°, ∠A = ∠C = 150°, ∠HCA = 75°; ΔНАС (прямокутний) ∠HAC = 90° - 75° = 15°.

Відповідь: 1) 30°, 30°, 150°, 150°; 2) 15°.

376. Дано: АС — діагональ, АН — висота ромба.

Побудувати ромб ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) АС ∈ l.

3) Серединний перпендикуляр до АС.

4) Коло (А; R = AH), (С; R = АН).

5) Дотична до кола СВ.

6) Точка перетину дотичної і серединного перпендикуляра т. D.

7) Аналогічно будуємо у нижню півплощину ΔACD.

8) ABCD — шуканий ромб.

377. Дано: ABCD — прямокутник, ΔBKC, ΔCFD, ΔDMA, ΔАВР — правильні.

Довести: PKFM — ромб.

Доведення. PF || BC, KM || АВ, тому PF ⊥ КМ, КМ і PF — медіани, бісектриси і висоти правильних кутів, в точці перетину вони діляться навпіл, отже, у чотирикутника PKFM діагоналі перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл, тому він — ромб.

До § 5

Точкою перетину двох взаємно перпендикулярних діаметрів буде центр кола, а кінці діаметрів — вершинами квадрата.

381. Так.

ΔАВВ1 = ΔB1CC1 = ΔC1DD1 = ΔD1AA1 за двома катетами, тому А1В1 = B1C1 = C1D1 =A1D1, крім того ∠A1 = ∠B1 = ∠C1 = ∠D1 = 90°, отже, A1B1C1D1 він — квадрат.

До § 6

384. Основи: ML, NK CF, DH

Бічні сторони: MN, LK CD, FH

385. Ртрап = 3 ∙ 5 + 8 = 23 см.

386. Нехай ∠A = х°, ∠B = (х + 20)°. Їх сума 180°. х + x + 20 = 180; 2х + 20 = 180; 2х = 180 - 20; 2х = 160; х = 160 : 2; х = 80. ∠A = ∠D = 90°, ∠B = ∠C = 100°.

Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°.

387. Дано: ABCD — прямокутна трапеція, СН — висота, CD > СН у 2 рази.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. ∠C + ∠D = 180°, CD > СН у 2 рази, тому у ΔCHD ∠D = 30° (катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи), ∠C = 180° - 30° = 150°. Трапеція прямокутна, тому ∠A= ∠B = 90°.

Відповідь: 90°, 90°, 30°, 150°.

388. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, ∠A : ∠C = 4 : 5.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. У рівнобічній трапеції кути при основі рівні.

Нехай 1 частина х°, тоді ∠A = (4х)°, ∠C = (5x)°.

∠A + ∠C = 180°. 4х + 5х = 180; 9х = 180; х = 180 : 9; x = 20.

∠A = 4 ∙ 20° = 80°, ∠C = 5 ∙ 20° = 100°.

∠D = 80°, ∠B = 100°.

Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°.

389. Дано: ABCD — трапеція, СК = KD, ВК ∩ AD = М.

Довести: ΔВКС = ΔMKD.

Доведення. СК = KD — за умовою, ∠CKB = ∠MKD як вертикальна, ∠BCK = ∠KDM — внутрішні різносторонні, ΔВСК = ΔMKD за стороною і двома прилеглими кутами.

390. Розв’язання.

(катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи),

391. Розв'язання.

∠BCA = ∠CAD — внутрішні різносторонні, ∠CAD = ∠DCA, ΔACD — рівнобедрений, AD = CD = 10 CM. АВ = CD = 6 + 3 ∙ 10 = 36 CM.

392. Дано: ABCD — трапеція, ∠C = ∠D = 90°, ∠BDC = 45°, ∠ABD = 90°, AD = 10 см.

Знайти: ВС і CD.

Розв’язання. ABCD — прямокутний рівнобедрений, ∠BDC = ∠CBD — внутрішні різносторонні, тоді ΔABD (за умовою ∠ABD = 90°) — прямокутний, рівнобедрений, ВН — його медіана, бісектриса і висота, AH = HD = 5 см, ΔBHD - прямокутний рівнобедрений, ВН = CD = ВС = 5 см.

Відповідь: 5 см.

393. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD = 3 см, ВС = 5 см, ∠A = ∠D = 60°.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. Проведемо висоти ВН і СК, ВС = НК = 5 см, ΔАВН = ΔDCK за гіпотенузою і гострим кутом, AH = KD = 1/2АВ = 1,5 см, оскільки у ΔАВН ∠AHB = 90°, ∠ABH = 30°. РABCD = 2 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 1,5 ∙ 2 = 19 см.

Відповідь: 19 см.

394. Розв’язання. ∠A = ∠D, АС — бісектриса ∠A. Нехай ∠CAD = у, ∠D = х, тоді х = 2у (∠BAC = ∠CAD = у). ∠CAD = ∠BCA = у — внутрішні різносторонні.

∠C + ∠D = 180°.

x + х + у = 180; 2у + 2у + у = 180; 5у = 180; у = 180 : 5; у = 36. ∠D = 36°, ∠C = 180° - 36° = 144°, ∠A = ∠D = 36°, ∠B = ∠C = 144°.

Відповідь: 36°, 36°, 144°, 144°.

396. Дано: ABCD — трапеція, СЕ || АВ, РΔАВD = 56 см. ВС = 10 см.

Знайти: РΔECD.

Розв’язання. СЕ || АВ, тому АВСЕ — паралелограм, ВС = АЕ, АВ = СЕ, АВ + CD + ED = 56 - 2 ∙ 10 = 36 см, АВ = СЕ, тому РΔECD = 36 см.

До § 7

397. 1) ∠2 = 20°; 2) ∠1 = 50°.

398. 1) ∠2 = х°, ∠1 = (2х)°; ∠1 - ∠2 = 15°, 2х - х = 15°, х = 15°, ∠2 = 15°, ∠1 = 30°.

Відповідь: ∠2 = 15°.

2) ∠1 + ∠2 = 54°, х + 2х — 54; 3х = 54; х = 54 : 3; х = 18°. ∠2 = 18°, ∠1 = 2 ∙ 18° = 36°.

Відповідь: ∠2 = 18°.

Розв’язання. ∠АОС = 2∠В = 60°, АО = СО, ΔАОС — рівнобедрений, АО = ОС, ∠АОС — 60°, тому він рівносторонній. АС = АО = СО = 2 см.

∠BАК = ∠САК спираються на однакові центральні кути, а відповідно на рівні дуги, тому ∪ВК = ∪СК. Доведено.

Відповідь: 90°, 126°, 90°, 54°.

403. Дуга, яка стягує дану хорду MN.

До § 8

404. 1) АВ + CD = ВС + AD; 5 + 4 = 3 + 6; 9 = 9 правильно, так;

2) АВ + CD = ВС + AD; 3 + 8 = 7 + 10; 11 = 17 неправильно, ні.

405. 1) 2 + 10 = 7 + 5; 12 = 12, так;

2) 3 + 8 = 5 + 4; 11 = 9 неправильно, ні.

407. ∠ВАС = 360° - (100° + 80° + 30°) = 150°.

408. Дано: коло з центром в т. О, ABCD — вписаний чотирикутник, ∠А : ∠В : ∠С = 3 : 4 : 5.

Знайти: ∠А, ∠В, ∠С, ∠D.

Розв’язання. Чотирикутник вписаний у коло, тому ∠А + ∠C = ∠В + ∠D = 180°. 3х + 6х = 180; 9х = 180; х = 20°. ∠А = 3 ∙ 20° = 60°, ∠В = 4 ∙ 20° = 80°, ∠С = 6 ∙ 20° = 120°, ∠D = 360° - (60° + 80° + 120°) = 100°.

Відповідь: ∠D = 100°.

409. Розв’язання. АС — діаметр, тому ∠В = ∠D = 90°. BD — діаметр, у ABCD ∠С = 180° - (30° + 58°) = 92°. ∠С — вписаний, спирається на ∪BD, ∪BD = 184°, ∪ВС = 2 ∙ 30° = 60°, ∪CD = 2 ∙ 58° = 116°, ∪АВ = 180° - ∪CD = 180° - 116° = 64°, ∠ADB = 64° ; 2 = 32°.

У ΔАОВ ∠AOD = 180° - (58° + 32°) = 90°.

Відповідь: 90°.

410. Дано: ABCD — трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D < ∠C у 5 разів, AB = a CM.

Знайти: PABCD.

Розв’язання. ∠D = x°, ∠C = 5x°, їх сума 180°. x + 5x = 180; 6x = 180; x = 180 : 6; x = 30°. ∠D = 30°, ∠C = 150°. У ΔCHD (CH — висота трапеції) HC = 1/2CD, CD = 2HC = 2AB = 2a. Трапеція описана навколо кола, тому AB + CD = ВС + AD.

PABCD = 2(АВ + CD) = 2(a + 2a) = 6a.

Відповідь: 6a.

До § 9

411. B1B2 = B2B3.

412. На стороні АС ∠BAC відкладаємо 9 рівних відрізків, через ВС проводимо пряму, через кінці відрізків проводимо прямі, паралельні ВС. Ці прямі перетинають АВ у точках, які є точками поділу відрізка АВ.

413. За зразком № 412.

414. Медіани перетинаються і в точці перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини, тому СК — медіана — ділить АВ навпіл.

До § 10

420. Доведення. DE || АС, DE = 1/2AC = AE, EF || AD, EF = 1/2АВ = AD.

У чотирикутника DEFA протилежні стороні рівні і паралельні, отже, він паралелограм.

421. Дано: ΔАВС, MN, NP, МР — середні лінії, АС = 12 см, NP = 5 см, РΔMNP = 18 см.

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання. АВ = 2NP = 2 ∙ 5 = 10 см.

MN = 1/2АС = 6 см, МР = 18 - (6 + 5) = 7 см.

ВС = 2 ∙ МР = 2 ∙ 7 = 14 см.

Відповідь: 10 см, 14 см.

422. Дано: ΔАВС, MN, NP, МР — середні лінії, PMNCP = 22 см, РAMNP = 24 см, PBNPM = 26 см.

Знайти: РΔABC, РΔMNP.

Розв’язання. PMNCP = АС + ВС = 22 см. РAMNP = АС + АВ = 24 см. РMBNP = ВС + АВ = 26 см.

Знайдемо суми лівої і правої частин: 2АС + 2АВ + 2ВС = 22 + 23 + 26 = 72 см.

АС + АВ + ВС = 36 см. РΔABC = 36 см. РΔMNP = 36/2 = 18 см.

Відповідь: 36 см, 18 см.

423. Р, М, N — середини сторін шуканого ΔАВС. ΔPMN утворений середніми лініями ΔАВС. Скористаємося властивістю середньої лінії трикутника, т. Р — середина АВ, АВ || MN і АВ = 2MN. Із т. Р як центра будуємо коло R = MN, з т. М коло R = PN, а з т. N коло R = МР. Через точки перетину кіл проводимо шуканий ΔАВС.

424. Сторони чотирикутника — середні лінії трикутників, які утворені сторонами і діагоналями квадрата, MN = КР = NP = KM = 1/2d. Цей чотирикутник — квадрат, тому що його сторони рівні і взаємно перпендикулярні. PMNPK = 4 ∙ 1/2d = 2d.

Відповідь: 2d, квадрат.

До § 11

Відповідь: 14 см, 16 см, 18 см.

429. Дано: ABCD — трапеція, MN = 18 CM — середня лінія, KN > МК у 2 рази.

Знайти: BC, AD.

Розв’язання. MN — середня лінія трапеції, тоді МК — середня лінія ΔАВС, ВС = 2МК, KN — середня лінія ΔACD, AD = 2KN.

Нехай МК = х CM, KN = 2х, МК + KN = 18 см. х + 2х = 18; 3х = 18; х = 18 : 3; х = 6.

МК = 6 см, KN = 12 см, ВС = 6 ∙ 2 = 12 см, AD = 2 ∙ 12 = 24 см.

Відповідь: 12 см, 24 см.

430. Дано: ABCD — трапеція, MN — середня лінія, MN > ВС у 3 рази, MN < AD на 3 см.

Знайти: ВС, AD.

Розв’язання. Нехай ВС = х см,

Відповідь: 3 см, 15 см.

431. Дано: ABCD — трапеція, MN — середня лінія, АС ∩ MN = т. Р, BD ∩ MN = т. К.

МР : РК : KN = 2 : 3 : 2.

Знайти: ВС : AD.

Розв’язання. MN — середня лінія трапеції, МР — середня лінія ΔАВС, PN — середня лінія ΔACD.

За умовою МР : РК : KN = 2 : 3 : 2, тоді МР : PN = 2 : 5, ВС : AD = 4 : 10 = 2 : 5.

Відповідь: 2 : 5.

432. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, АС ⊥ BD.

Довести:

Доведення. AC ∩ BD = O, ΔAOD — рівнобедрений, прямокутний, ∠ODA = ∠OAD = 45°. Проведемо висоту ВН, ΔBHD — прямокутний, рівнобедрений, ∠BDH = ∠HBD = 45°, ВН = HD.

Проведемо висоту СК, НК = ВС, AH = KD (бо ΔАВН = ΔDCK).

Доведено.

433. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, AD = а см, АВ = CD = с см. ∠А = ∠D = 60°.

Знайти: середню лінію.

Розв’язання. Середня лінія

ВН і СК — висоти ΔАВН = ΔDCK за гіпотенузою і гострим кутом.

Середня лінія

Відповідь:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити